مذكرة ( أبو يوسف ) في الوحدة الأولى و ايضا الثانية - جـديـدة [الأرشيف]

عمروعبده

20-02-2012, 06:27 PM

الدرس الأول :
مجموعة الأعداد الصحيحة صص

تذكر أن :

ط = c 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ..............d مجموعة الاعداد الطبيعية
ع = c 1 ، 2 ، 3 ، ...................d مجموعة أعداد العد
ف = c 1 ، 3 ، 5 ، ..................d مجموعة الأعداد الفردية
ز = c 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، ..............d مجموعة الأعداد الزوجية
ف e ط ، ز e ط ، ع e ط ، ف بلآ ز= ط ، ع بلآ c0d = ط
الصفر عدد طبيعي زوجى
3+5 ممكنة في ط لأن 3+5 = 8 g ط
3-5 غير ممكنة في ط
المجموعة ط تشبه الشعاع

في حياتنا اليومية نحتاج لمزيد من الأعداد الأكثر والأوسع من الأعداد الطبيعية مثل :
1- درجة حرارة بعض المدن الأقل من الصفر ( تحت الصفر )
2- سحب مبلغ من رصيد أحد الأشخاص من البنك
3- امكانية إيجاد قيمة 3 - 5
4- التعبير عن ارتفاع مدينة تحت سطح البحر
مجموعة الأعداد الصحيحة:
هى امتداد أو توسيع للأعداد الطبيعية في الاتجاه المقابل
خط الأعداد الصحيحة
file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.jpg
* ملحوظات هامة على خط الأعداد الصحيحة :
1) صص + = c 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، .........d
مجموعة الاعداد الصحيحة الموجبة
2) صص - = c -1 ، -2 ، -3 ، -4 ، -5 ، ........ d
تسمى الاعداد الصحيحة السالبة أعداد العد
3) الصفر عدد صحيح غير سالب وغير موجب
4) جميع الأعداد بعد نقطة الصفر ( و ) جهة اليمين موجبة
5) جميع الأعداد قبل نقطة الصفر ( و) جهة اليسار سالبة
6) مجموعة الأعداد الصحيحة
صص = c .......... ، 3 ، 2 ، 1 ، 0-1 ، -2 ، -3 ، ...... d
7) مجموعة الأعداد الصحيحة مجموعة غير منتهية
8) لا يوجد أكبر عدد صحيح موجب
9) لا يوجد أصغر عدد صحيح سالب
10) العدد 1 هو اصغر عدد صحيح سالب
11) العدد -1 هو أكبر الأعداد الصحيحة السالبة
12) الصفر أكبر من أي عدد صحيح سالب
13) الصفر أصغر من أي عدد صحيح موجب
14) +7 تعني موجب 7 ،7 تعنى موجب 7 ايضا
أي أن إذا لم نكتب إشارة (+) للعدد فيكون العدد موجب
15) جميع الأعداد الصحيحة الموجبة معكوسات للأعداد الصحيحة السالبة أي أن معكوسات الأعداد ( 1،2،3 ) هى ( -1 ، -2 ، -3)
16) معكوس الصفر هو الصفر.
17)
هام جدا :
(1)صص = صص + بلآ c0d بلآ صص- (2) صص +e طe صص
(3) صص + بلا صص - = Z
(4) كل عدد طبيعي هو عدد صحيح وليس العكس
مجموعة الأعداد اصحيحة الغير سالبة = صص + بلآ c0d = ط
مجموعة الأعداد اصحيحة الغير موجبة = صص - بلآ c0d
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــ
تمرين 1

1 ) أكمل باستخدام (موجبة - سالبة - الصفر )
الحركة للخلف تمثلها
الحركة جهة اليسار تمثلها أعداد
الانخفاض عن مستوى سطح البحر يمثله أعداد
اضافة درجات للتلميذ المتفوقين تمثلها أعداد
سحب نقود من رصيد الأشخاص في البنك تمثلها أعداد
س 2 مثل الأعداد التالية على خط الأعداد الصحيحة
-4 ، 8 ، صفر ، 6 ، -1
س 3) حدد على خط الأعداد العدد ومعكوسه
أ ) 7 ب ) -12 جـ ) 3
اكتب معكوس كلمن الأعداد التالية
أ ) 17 ب ) -30 جـ ) 55
س 4 ) ضع العلامة المناسبة ( ) أو ( )
(‌أ) 7 g صص +
(‌ب) -5 g صص -
(‌ج) -9 g صص
(‌د) -11 h صص -
(‌ه) الصفر h صص +
س 5 ) ضع كلمة ( صواب أو خطأ أمام كل عبارة مما يلي مع ذكر السبب
(‌أ) الصفر أصغر عدد صحيح سالب
(‌ب) صص + صلا صص - = c 0 d
(‌ج) c- 8 ، -13 d g صص
(‌د) ط = c 0 d بلآ ع
(‌ه) كل عدد ومعكوسه على خط الأعداد الصحيحة لهما نفس القيمة المطلقة
(‌و) مجموعة الأعداد الصحيحة الغير موجبة = صص - بلآ c 0 d
س6 ) اختر الاجابة الصحيحة مما بين القوسين
(‌أ) صص + بلآ c 0 d = ........ ( صص + ، صص - ، ط ، Z )
(‌ب) c - 1 ، 3 d ............... صص ( h ، g ، e ، f )
(‌ج) 53 ......... صص ( h ، g ، e ، f )
(‌د) -5 ........... صص ( h ، g ، e ، f )
(‌ه) صص - بلا ط = ............. ( صص + ، صص - ، ط ، Z )
س7 ) حدد قيمة العدد الصحيح س فيما يلي :
(‌أ) |س|= 4
(‌ب) - |س| = -8
(‌ج) |-5|=س
(‌د) -|-9| =س
(‌ه) |-س|=8
س8 ) أكتب بطريقة السرد كل مجموعات الأعداد التالية :
(‌أ) مجموعة الأعداد الصحيحة الأكبر من -3 وأصغر من 6
(‌ب) مجموعة الأعداد الصحيحة الأكبر من -4
(‌ج) مجموعة الأعداد الصحيحة الأكبر من 14
(‌د) مجموعة الأعداد الصحيحة الأقل من 2
(‌ه) مجموعة الأعداد الصحيحة الأقل من 3 والأكبر من -5
(‌و) مجموعة الأعداد الصحيحة بين -5 ، 5
س9 ) أوجد قيمة ص التي تجعل العبارات التالية صحيحة
(‌أ) -2 g c 1 ، 4 ، -3 ، ص d
(‌ب) ص h c 6 ، 7 ، 9 d
(‌ج) ص c 3 ، 4 ، -8 d بلا c 9 ، 4 ،-13 d
(‌د) c 15 ، ص ، -1 d بلآ c 10 ، 6 ،-99 d
= c 15 ، 10 ،-99 ، -1 ، -8 ، 6 d
س10 ) أوجد قيمة ص التي تجعل العبارات التالية صحيحة
(‌أ) |-58 | = ..................
(‌ب) - | -44| = ...............
(‌ج) |-3| + |14| = ................
(‌د) |-8| × |-5| = .....................
(‌ه) |-14| - |7| = ..................
(‌و) |-12| ÷ |3| = ...................
س10 ) أوجد القيمة المطلقة للأعداد التالية :
- 77 ، 75 ، -8 ، صفر -154
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــ

الدرس الثاني
ترتيب الأعداد الصحيحة المقارنة بينها

نستخدم خط الأعداد في مقارنة الأعداد الصحيحة للتعرفِ على الأكبر والأصغر .
عرفت سابقاً أن الصفر على خط الأعداد يمثل نقطة مرجعية ، ولعلك لاحظت أن :
file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image003.gifجميع الأعداد الصحيحة السالبة تقعُ على اليسارِ ِ.
file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif
file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image003.gifجميعَ الأعدادِ الصحيحة الموجبة تقعُ على اليمين من الصفر .
file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image005.gif
1) الصفر أكبر من أيِّ عددٍ صحيح سالب .
2) والصفر أصغر من أيٍِّ عددٍ صحيح موجب .
3) أي عدد صحيح موجب أكبر من أي عدد صحيح سالب .
4) وأي عدد صحيح سالب أصغر من أي عدد صحيح موجب .
أولاً : أيهما أكبر +5 أم +2
لاحظ أن (+5) تقع على اليمين من +2 على خط الأعداد في وضع أفقي
file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif +5 > +2
ثانياً : أيهما أكبر ـ3 أم ـ5
لاحظ أن ـ3 تقع على اليمين من ـ5 على خط الأعداد في وضع افقي .
file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image007.gif ـ3 > ـ5

الترتيب التصاعدي :
مثال1 :لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ3 ، +4 ، 0 ، ـ5 ، +6
لاحظ أن ـ5 يقع أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليمين منه العدد ـ3 ثم الصفر ثم +4 وأخيراً +6 .
file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.gif
الجواب الترتيب التصاعدي 6 ، 4 ، 0 -3 ، -5
الترتيب التنازلي :
مثال1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +2 ، +4 ، ـ1 ، ـ3 ، 0
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تنازليا ، أي من الأكبر إلى الأصغر :
العدد +4 يقع أقصى اليمين بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليسار العدد +2 ثم الصفر ثم ـ1 وأخيراً في أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد العدد ـ3 .
file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image009.gif

الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي
4 ، 2 ، 0 ، ـ1 ، ـ 3
+4 > +2 > 0 > -1 > -3
file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image011.gifمثال 2 :
لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ4 ، +2 ، ـ 2 ، 0 ، +4

لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تنازلياً ، أي من الأكبر إلى الأصغر .
العدد +4 يقع في اليمين بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في
يليه مباشرة إلى اليسار منه العدد +2 ثم الصفر ثم ـ2 واخيراً يقع العدد
ـ4 في اليسار بالنسبة لباقي هذه الأعداد .
\ الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي :
+4 ، +2 ، 0 ، ـ2 ، ـ4
تمرين 2

س1) رتب الأعداد التالية تصاعديا
(‌أ) -4 ، -9 ، 2 ، -6 ، -8
(‌ب) -33 ، -18 ، 0 ، 3 ، -7
(‌ج) -2 ، -5 ، -9 ، -11 ، 4
(‌د) -1 ، -8 ، 1 ، -6 ، صفر ، -2
س 3) رتب الأعداد التالية تنازليا :
(‌أ) -3 ، -7 ، 9 ، 7 ،
(‌ب) 1 ، -8 ، 100 ، 65 ، -56
(‌ج) 5 ، -2 ، -9 ، -52 ، 77
(‌د) 1 ، -66 ، 5 ، -94 ، -8
س 3 ) ضع علامة > أو < أو =
(‌أ) -5 ............ 6
(‌ب) 7 ......... -7
(‌ج) |9| ............15
(‌د) - |7| ........8
(‌ه) 5 × |- 9| ............. 45
(‌و) |-17| ...........17+1
س4) اكتب الأعداد الصحيحة المحصورة
بين كل عددين مما يلي
أ) 4 ،8 ب) -3 ، 7 ج) -8، صفر
د) -8 ، -5 هـ) 6،11 و) -7 ، 2

س5) أكتب العدد الصحيح السابق
والتالي لكل عدد مما يلي :
(‌أ) -63
(‌ب) 23
(‌ج) أصغر عدد موجب
(‌د) -|-5|
(‌ه) |-66|
(‌و) أكبر عدد سالب
س 6 ) اكتب الأعداد الصحيحة المحصورة بين
كل عددين صحيحين مما يلي :
(‌أ) -5 ، - 9
(‌ب) 8 ، -8
(‌ج) الصفر ، 7
(‌د) - 6، الصفر
(‌ه) -11 ، -19
(‌و) -3 ، 8
س 7 ) حدد المقدار الثابت الذي تتزايده الأعداد الصحيحة فيما يلي : ثم أكمل بثلاثة أعداد تليها مباشرة :
(‌أ) -15 ، -14 ، -13 ، -12 ، ........ ، ........ ، ........
(‌ب) - 8 ، - 6 ، -4 ، - 2 ، ........ ، ........ ، ........
(‌ج) - 40 ، -35 ، - 30 ، - 25 ، ........ ، ........ ، ........
(‌د) - 17 ، -14 ، - 11 ، - 8 ، ........ ، ........ ، ........
س8 ) أكتب مجموعة الأعداد التالية بطريقة السرد ومثلها على خط الأعداد :
(‌أ) مجموعة الأعداد الصحيحة الأقل من 5 والأكبر من -2
(‌ب) مجموعة الأعداد الصحيحة الأكبر من -4 والأقل من 4
(‌ج) مجموعة الأعداد الصحيحة بين -7 و الصفر
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــ
الدرس الثالث
جمع وطرح الأعداد الصحيحة

عملية الجمع ممكنة دائما في صص

جمع عددين صحيحين موجبين = عددا صحيحا موجبا

3+4 موضحا الناتج على خط الأعداد
نبدأ من الصفر ونتحرك يمينا 3 وحدات لنتمثل العدد ( 3 )
نبدأمن العدد ( 3 ) ونتحرك يمينا 4 وحدات لتمثل العدد 4 فتصل للعدد 7 وعلى هذا يكون 3 + 4 = 7

جمع عددين صحيحين موجبين = عددا صحيحا موجبا

الإشارة (+) نتحرك جهة اليمين على خط الاعداد
الإشارة ( - ) نتحرك جهة اليسار على خط الأعداد
مثال : أوجدد ناتج ( -2 ) + ( -1 )موضحا الناتج على خط الأعداد

نبدأ من الصفر ونتحرك إلى اليسار بمقدار القيمة المطلقة للعدد ( -2) أي وحدتين
نبدأ من (-1) ونتحرك إلى اليسار بمقدار القيمة المطلقة للعدد (-3) أي 3 وحدات فتصل للعدد (-5) وعلى هذا يكون (-2) +(-1) = -4

حاصل جمع عددين صحيحين أحدهما موجب والآخر سالب = عددا صحيحا قد يكون موجبا أو سالبا

مثال :
أوجد ناتج 7 +(-3) موضحا الناتج على خط الاعداد .
نبدأ من الصفر نتحرك جهة اليمين 7 وحدات لتصل إلى العدد (7)
نبدأ من العدد (7) ونتحرك جهة اليسار 3 وحدات لنصل إلى العدد (4) وعلى هذا يكون 7 + (-3) = 4
خواص عملية الجمع فيصص
1 - خاصية الانغلاق 2- خاصية الابدال
3 - خاصية الدمج ( التجميعية ) 4 - العنصر المحايد لعملية الجمع
5- المعكوس الجمعي ( النظير الجمعي )

1 - خاصية الانغلاق
لكل أ 1، ب g صص فإن أ + ب g صص
3 + (-4)= -1 g صص
(-7) +(-5) =-12 g صص
4 +(-1) = 3 g صص

2- خاصية الابدال
1- (+4) + (+5) = +9 وكذلك (+5) + (+4) = +9
\ (+4) + (+5) = (+5) + (+4)

2- (-2) + (-3) = -5 وكذلك (-3) + (-2) = -5
\ (-2) + (-3) = (-3) + (-2)

3- (-7) + (+4) = -3 وكذلك (+4) + (-7) = -3
\ (-7) + (+4) = (+4) + (-7)

4- (-3) + (+8) = +5 وكذلك (+8) + (-3) = +5
\ (-3) + (+8) = (+8) + (-3)

ماذا تستنتج ؟؟
لكل عددين صحيحين أ ، ب يكون : أ + ب = ب + أ
أ + ب = ب + أ
لكل عددين صحيحين أ ، ب

3 - خاصية الدمج ( التجميعية ) :
ادرس الأمثلة التالية :
أولاً :
1. ( (+3) + (+4) ) + (-2) = (+7) + (-2) = +5
2. (+3) + ( (+4) + (-2) ) = (+3) + (+2) = +5
3. ( (+3) + (-2) + (+4) = (+1) + (+4) = +5
ماذا تُلاحظ ؟؟

ثانياً :
1. ( (-4) + (-5) + (+3) = (-9) + (+3) = -6
2. (-4) + ( (-5) + (+3) = (-4) + (-2) = -6
3. (-5) + ( (+3) + (-4) = (-5) + (-1) = -6
ماذا تُلاحظ ؟؟
لأي ثلاثة أعدادٍ صحيحة أ ، ب ، جـ يكون :
(أ + ب) + جـ = أ + (ب + جـ)

كون عملية الجمع إبدالية وتجميعية على مجموعة الأعداد الصحيحة ، يتيح لنا إمكانية جمع أي ثلاثة أعداد صحيحة أو أكثر وذلك بجمع أي عددين منها ثم إضافة الناتج إلى العدد الثالث وهكذا ........

مثل : أوجد ناتج (+17) + (-7) + (-12)
الحل :
(+17) + ( (-7) + (-5) = (+17) + (-12) = +5
مثل : أوجد ناتج (+5) + (-4) + (-9) + (+6) + (-2)
الحل :
( (+5) + (-4) ) + ( (-9) + (+6) ) + (-2)
(+1) + (-3) + (-2) = (+1) + ( (-3) + (-2) )
= +1 + (-5) = -4
لابد من تنفيذ العملية داخل الاقواس أولا
لابد أن تتساوى نواتج العمليات الثلاثة في الدمج
العنصر المحايد لعملية الجمع
أولاً : لاحظ العمليات التالية
7 + 0 = 7 0 + 7 = 7
(-3) + 0 = -3 0 + (-3) = -3
5 + 0 = 0 + 5 = 5
(-2) + 0 = 0 + (-2) = -2 .. وهكذا

لأي عددٍ صحيحٍ أ يكون : 0 + أ = أ + 0 = أ
نُسمي الصفر هنا العنصر المحايد لعملية الجمع على خط الأعداد الصحيحة .

ثانياً :
درست أن لكل عدد صحيحٍ معكوساً ((+5) « ه(-5)) وعرفت أن العدد ومعكوسه يقعان على البعد نفسه من النقطة المرجعية التي تمثل الصفر على خط الأعداد . وعرفت أن للعدد ومعكوسه القيمة المطلقة نفسها

الآن ، ادرس العمليات التالية :
1. (+5) + (-5) = 0 (-2) + (+2) = 0
|+5| = 5 وكذلك |-5| = 5
\ العدد الصحيح + معكوسه = صفر

المعكوس الجمعي ( النظير الجمعي )
يُسمى العدد الصحيح النظير الجمعي لمعكوسه .
يُسمى معكوس العدد الصحيح النظير الجمعي لذلك العدد .
مثل :
النظير الجمعي للعدد +4 هو -4 النظير الجمعي للعدد -6 هو +6 وهكذا
نقول :
النظير الجمعي للعدد +7 هو –(+7) والنظير الجمعي للعدد -5 هو –(-5)
وبالمثل :
- (-12) يدل على النظير الجمعي للعدد -12
- (+9) يدل على النظير الجمعي للعدد +9
تذكر أن النظير الجمعي للعدد الصحيح هو معكوس ذلك العدد .
وتذكر أن العدد الصحيح + معكوسه = صفراً
تمرين 3

س1) أكتب المعكوس الجمعى لكل مما يلي :
(‌أ) - 18 ، - 5 ، 2 ، -19 ، - 6
(‌ب) - | -11| ، -2 + 6
(‌ج) 5 + ( -7) ، -3 +7
س 3) رتب الأعداد التالية تنازليا :
(‌أ) 3 +8 ............ صص
(‌ب) -2+6 ............ صص
(‌ج) 4÷ 2 ............ صص
(‌د) | -7| +(-4) ........... صص
(‌ه) c -8 ،-6 ،-15 ، 9 d ............ صص
(‌و) 6 ÷ 8 ............ صص
س 3 ) أكتب مجموعة الأعداد الصحيحة المعبرة عن كل حالة مما يلي :
(‌أ) س > -2
(‌ب) س< 4
(‌ج) 5 > س > 9
(‌د) -7 < س < -2
س4) استخدم خط الأعداد لتمثيل عمليات الجمع الآتية :
أ) 5 + 3 ب) -3 +6 ج) - 7 + 7 د) - 9 + ( -5 )
س5) أوجد ناتج ما يلي :
(‌أ) - 4 + ( -6 )
(‌ب) - 5 + 3
(‌ج) 9 + ( -8 )
(‌د) 7 + ( -6 )
(‌ه) صفر + ( -5)
(‌و) - 37 + 12
(‌ز)11 + ( -34 )
(‌ح) -12 + 4 + ( -2)
(‌ط) -17 + 5+ (-3)
س 6 ) استخدم خواص عملية الجمع في لايجاد ناتج ما يلي مع ذكر الخاصية المستخدمة :
(‌ز) - 13 + 8 + 15
(‌ح) - 33 +54 + 17
(‌ط) - 350 +250 + 120
(‌ي) 335 + 160 + ( -80)
(‌ك) 200+ (- 130 ) + 450 )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـ
ثانيا طرح الأعداد الصحيحة

لكل أ ، ب ، يكون
أ - ب = ج g صص
مثل : 7-3 = 7 + (-3) = 4
مثال: أوجد ناتج ما يلي ثم مثل العملية على خط الاعداد :
أ ) 5-3 ب ) -7-2 ج) 2- (-4)
5- 3=2
- 7 - 2 = -9
2 - (-4) = 2 + 4 = 6

لاحظ :
+ + يعطي + مثل + (+5) = +5
- - يعطي + مثل - (-5) = +5
- + يعطي - مثل - (+5) = -5
+ - يعطي - مثل + (-5) = -5
وهذا يعني أن :
دخول إشارة ( سالب ) على العدد بغير إشارته
دخول إشارة ( موجب) على العدد لا يغير إشارته
أوجد ناتج الطرح فيما يلي :
أ ) 12 -7 ب ) -9 -3 ج) 8-14
د) -9-(-4) هـ) 7- (-3)
الحل :
أ ) 5 ب ) -12 جـ )-6 د) -5 هـ) 10

عملية الطرح ممكنة في صص دائماومغلقة ولكن ليست إبدالية وليست دامجة وليس لها عنصر محايد
تمرين 4

س1) استخدم خط الأعداد لتمثيل عمليات الطرح التالية :
(‌أ) 5 - 1
(‌ب) -7 - 3
(‌ج) 8 - _ -4)
(‌د) -9 - ( -2 )
س 3) ضع الرمز المناسب ( h أو g أو e أو f ) فيما يلي :
(‌أ) -18 - 15 ............ صص
(‌ب) c3 ، -3 d ............ صص
(‌ج) 4- 28 ............ صص
(‌د) | -7| - (-11) ......... صص
(‌ه) c -8 ،-66 ،-5 d ............ صص
س 3 ) أوجد ناتج الطرح فيما يلي :
(‌أ) 24 - 17
(‌ب) - 39-17
(‌ج) - 100-88
(‌د) 28 - ( 33)
(‌ه) 50 - ( + 17)
(‌و) 98 - ( -40 )
(‌ز)37 -55
س4) ضع علامة ( ) أو ( ) :
(‌أ) 9 - 5 = 9 + ( -5 ) ( )
(‌ب) عملية الجمع دامجة في صص ( )
(‌ج) - 5 + ( -8) = ( -7 ) + ( -3 ) ( )
(‌د) 10 -0 = 0 - 10 ( )
(‌ه) ( 2 - 6 ) - 7 = 2 - ( 6 - 7 ) ( )
س5) تحقق من خاصية انغلاق الجمع والطرح على مجموعات الأعداد التالية :
(‌أ) ع = c -2 ، 0 ، 2 d
(‌ب) ل = c -1 ، -2 ، 2 ، 1 d
س 6 ) استخدم خواص عملية الجمع في لايجاد ناتج ما يلي مع ذكر الخاصية المستخدمة :
أودع عمار بالبنك مبلغا من المال قدره 9330 ثم سحب منه مبلغا قدره 1366 جنيها ثم قام بإيداع مبلغ آخر قدره 3220 جنيها كم رصيده بالبنك
غواصة على عمق 75 مترا تحت سطح البحر ارتفعت 35 مترا استخدم العملية الحسابية المناسبة لحساب العمق الجديد للغواصة
سجل ميزان الحرارة درجة الحرارة بمدينة العريش الساعة الثالثة بعد منتصف الليل - 2 5 م بينما في فترة الظهيرة سجلت درجة الحرارة 15 5 م احسب الزيادة في درجة الحرارة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـ
الدرس الرابع :
ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة

أولا : ضرب الأعداد الصحيحة :
قاعدة الاشارات في الضرب
( + ) × ( + ) = ( + ) مثال: 6 × 3 = 18
( - ) × ( - ) = ( + ) مثال: -7 × - 8 = 56
( - ) × ( + ) = ( - ) مثال: - 5 × 2 = - 10
( + ) × ( - ) = ( - ) مثال: 8 × -9 = -72
خواص عملية الضرب في صص
عملية الضرب في
ممكنة دائما ومغلقة وابدالية ودامجة ولها عنصر محايد هو الواحد

1 - خاصية الانغلاق
لكل أ ، ب g صص فإن أ × ب = ج g صص
3 × (-4)= - 12 g صص

(-7) × (-4) =- 28 g صص
- 4 × 5 = 20 g صص
2- خاصية الابدال
عملية الضرب ابدالية في صص لأن
لكل أ ، ب يكون أ × ب = ب × أ
1- 5 × 6= 30 وكذلك 6 × 5 = 30
(- 2 ) × (-3 ) = 6 وكذلك (-3 ) ×(- 2 ) = 6

ماذا تستنتج ؟؟
لكل عددين صحيحين أ ، ب يكون : أ + ب = ب + أ
أ × ب = ب × أ
لكل عددين صحيحين أ ، ب

3 - خاصية الدمج ( التجميعية ) :
عملية الضرب دامجة في صص لأن
لكل أ ، ب ، ج g صص فإن
أ × ب × ج = ( أ × ب ) × ج = أ × ( ب ×ج )
-3 ×4 ×5 = ( (-3 ×4) × 5 = -3 × ( 4×5)
-12×5 = (-12) × 5 = -3 × (20)
- 60 = -60 = -60
4 - العنصر المحايد الضربي :
لعملية الضرب في صص محايد ضربي هو الواحد الصحيح لأن
أولاً : لاحظ العمليات التالية
لكل أ g صص فيكون أ × 1 = 1 × أ = أ

مثال : 7× 1 = 7 1 × 7 = 7
5 - التوزيع :
هى عملية توزيع الضرب على الجمع في صص حيث أن
لكل أ ، ب ، ج g صص فإن
أ × ( ب +ج ) = أ × ب + أ × ج
مثال أوجد ناتج
3 × ( -2 +5 )
الحل 3×-2 + 3×5 = -6 + 15 = 9
تمرين 4

س1) أوجد ناتج ما يلي :
(‌أ) - 5 × 9 = .....................
(‌ب) 8 × -6 = ......................
(‌ج) -7 ×-8 = .....................
(‌د) 3 × صفر = .................
(‌ه) 7 × - ( -8 ) = ..............
(‌و) ( -4 ) × ( -3) = .................
(‌ز) - ( -2) × 54 = ..................
(‌ح) -8(44) = ......................
(‌ط) - ( -4) ( -4) = ...................
(‌ي) ( -9) × ( -3) × 1 = ...........
(‌ك) 25 - ( -20 ) = ...................
(‌ل) - 725 ) × ( -5) = ................
س 3) أكمل :
(‌أ) - 7 × 6 = ...........
(‌ب) عدد موجب × عدد سالب = عدد ...........
(‌ج) عدد سالب × عدد سالب = عدد ................
(‌د) من خواص عملية الضرب في صص ...........
(‌ه) 8 × .............= 7 × .............. خاصية ................
س 3 ) أوجد الناتج بطريقتين مختلفتين مع ذكر الخاصة
المستخدمة في كل حالة
(‌أ) 6 × ( 5 +4 )
(‌ب) 11 × 6 + 11 ×4
س 4 ) ناتج الطرح فيما يلي :
(‌أ) المحايد الجمعي في صص هو .........
(‌ب) المعكوس الجمعى للعدد -9 هو ..................
(‌ج) المحايد الضربي في صص هو .....................
(‌د) 6 × 5× -9 = ( ..... × ...... ) × -9
(‌ه) - 5 × ............ = 15
(‌و) 11 × ........= -55
س 5) استخدم خاصية التوزيع في إيجاد ناتج كل مما يأتي :
(‌أ) -15 ( 2+2 )
(‌ب) -8 × ( 4 + ( -6) )
(‌ج) a4 + ( -2) b × -9
(‌د) a (-2))+ (-3 ) b×-4
(‌ه) 33 × -5 +33 ×3
(‌و) 5 × ( - 9- صفر )
(‌ز) ( - 4) × 25 + ( -3 ) × 4
(‌ح) 75 × ( -4) +75 × 4
(‌ط) ( -55)× 99 -55

ثانيا : قسمة الأعداد الصحيحة

قاعدة الاشارات في القسمة
( + ) ÷ ( + ) = ( + ) مثال: 6 ÷ 3 = 2
( - ) ÷ ( - ) = ( + ) مثال: - 18 ÷ - 3 = 6
( - ) ÷ ( + ) = ( - ) مثال: - 60 ÷ 2 = - 30
( + ) ÷ ( - ) = ( - ) مثال: 36 ÷ - 6 = -6
ملحوظات هامة على عملية القسمة في صص
عملية القسمة في صص ليست ابدالية لأن
1
6 ÷ 2 = = 3 g صص بينما 2÷ 6= ــــــــ h صص
2
عملية القسمة في صص ليست إبدالية لأن :
10 ÷ 2{ 2 ÷ 10
عملية القسمة في صص ليست دامجة
عملية القسمة في صص لها عنصر محايد
قسمة أي عدد صحيح على ( الصفر ) غير ممكنة .
تمرين 5

س1) أوجد ناتج ما يلي :
1) - 63 ÷ 3 = .....................
2) ( -64) ÷ ( -8 ) = ......................
3) 150 ÷ (- 25 ) = .....................
4) 49 ÷ ( -7 ) =.................
5) 33 ÷ ( 3+8 ) = ..............
6) 81 ÷ 9 = .................
7) (-20) ÷ (-5 ) = ..................
8) 270 ÷ ( -7) = ....................
س 3) أكمل :
(‌أ) قسمة عدد صحيح أو عدد طبيعي على العدد صفر تكون .........
(‌ب) .................. × - 5 = -30
(‌ج) (- 7 ) × .......42
(‌د) (- 8 ) × .......... = -32
(‌ه) .............× 23 = -23
س 3 أوجد قيمة س في كل حالة مما يأتي :
(‌أ) 19 × س = -19
(‌ب) -14 × س = -70
(‌ج) 8 × س = - 64
(‌د) س × 10 10× 7
(‌ه) 4س× 6 = 120
(‌و) س × ( 4 × -6 ) = ( 7×4 ) × -6
(‌ز) - 29 × 13 = 13 × س
س 3 ) إذا كان هـ = 4 ، ع = 2 ، و = -1 احسب قيمة كل من :
(‌أ) هـ + ع + و
(‌ب) 2 هـ ع - و
(‌ج) ( هـ ÷ ع ) + و
(‌د) 3 هـ ب ÷ و
س4) إذاكانت س = 6 ، ص = -2 ، ع = -3 احسب قيمة كلمن :
(‌ي) ( س ÷ ص ) × ( س ÷ ع )
(‌ك) س + ص -2ع
(‌ل) 2ص ع ÷ س
(‌م) ( 3ص +س ) ÷ ع

[ ملخص الاشارات في الاعداد الصحيحه ]
العمليه
أمثله
الخلاصه
ملاحظات

الجمع
(+4) +(+5) = +9
(-4) +(-5) = -9

(+4) +(-5) = -1
(-4) +(+5) = +1
file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image012.gif(+) + (+) = +
(-) + (-) = -

file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image013.gif(+) + (-) =
(-) + (+) =
اذا اتفق العددان في الاشاره فاننا نجمع العددين ونضع اشارتهم .
اذا كان العددين مختلفين في الاشارة ناخذ الفرق بين العددين ونضع اشارة العدد الذي قيمته المطلقه اكبر.

الطرح
(+6) - (+8) =
(+6) - (-8) =
(-6) - (+8) =
(-6) - (-8) =
(+6) + (-8) = -2
(+6) + (+8) = +14
(-6) + (-8) = -14
(-6) + (+8) = +2
نحول عملية الطرح إلى عملية جمع المعكوس .
ثم نكمل عملية الجمع باستخدام قاعدة اشارات الجمع السابقه .

الضرب
(+3) × (+7) = +21
(-3) × (-7) = +21

(+3) × (-7) = -21
(-3) × (+7) = -21

file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image014.gif(+) × (+) = +
(-) × (-) = +

file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image015.gif(+) × (-) = -
(-) × (+) = -

اذا اتفق العددان في الاشاره فاننا نضرب العددين ونضع الاشاره الموجبه .

اذا كان العددين مختلفين في الاشارة فاننا نضرب العددين ونضع الاشاره السالبه .

القسمه
(+24) ÷ (+6) = +4
(-24) ÷ (-6) = +4

(+24) ÷ (-6) = -4
(-24) ÷ (+6) = -4

file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image014.gif(+) ÷ (+) = +
(-) ÷ (-) = +

file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image015.gif(+) ÷ (-) = -
(-) ÷ (+) = -

اذا اتفق العددان في الاشاره فاننا نقسم العددين ونضع الاشاره الموجبه .

اذا كان العددين مختلفين في الاشارة فاننا نقسم العددين ونضع الاشاره السالبه .

الدرس الخامس
الضرب المتكرر

الضربالمتكرر هو تكرار ضرب العدد في نفسه عدد من المرات
مثال : 6× 6× 6 هو تكرار العدد في نفسه 3 مراتويمكن أن تكتب على الصورة
file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image017.jpg

وعلى هذا يكون 6 3 = 6×6×6= 216
أمثلة
أ ) 7 5 ب ) ( -3) 2 ج ) ( -4) 3
الجواب :
أ ) 16807 ب ) 9 ج ) -64
لاحظ أن :
إذا كان الأساس عددا سالبا مرفوعا لأس زوجى كان الناتج عددا موجبا كما في ( ب )
إذا كان الأساس عددا سالبا مرفوعا لأس فردي كان الناتج عددا سالبا كما في ( ج )
file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image019.jpg
مثال : ( -7) 3 ÷ 7
الحل
-(7) 3 ÷ 7 = - 7 3 - 1 = -7 2 = - 49
في حالة القسمة إذا تساوت الأسس أي أن م=ن يكون
file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image021.jpg
وعلى هذا يكون :
file:///C:/DOCUME%7E1/abdo/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image023.jpg
تمرين 6

س1) أوجد قيمة كل مما يلي :
(‌أ) - ( 1 ) 7 = .....................
(‌ب) 7 3 = ......................
(‌ج) (- 3) 3 × ( 2 ) 3 = .....................
(‌د) ( 2 × 3 ) 2 =.................
(‌ه) ( -1 ) 4 + ( -2 ) 3
(‌و) 5 + ( -5 ) 3
(‌ز)2 3+ ( -2 ) 2
س 2) ضع العلامة المناسبة ( ) أو ( )
(‌أ) ( -1 ) إذا كان ن عدد طبيعي فردي
(‌ب) 3 3 = 3× 3 × 3
(‌ج) 2 3 × 2 = 2 4
(‌د) 2 3 + 3 3 = 5 6
(‌ه) ( -3 ) 3 < ( -3 ) 8
س 3 رتب تنازليا :
(‌أ) 3 4 ، ( -3 ) 3، ( -1 )5 ، 3 4
(‌ب) ( -5 ) 3، ( 5 )2 ، 3 5 ، 4 2
س 4 ) رتب تصاعديا :
(‌أ) ( -2 ) 5 ، 3 3 ، ( -1 ) 9 ، 4 3
(‌ب) 2 2، ( -4 )2 ، ( - 5 ) 4 ،( -3 ) 2
س 5) ضع العلامة المناسبة ( < أو > أو = ) :
(‌أ) ( -1 ) 7 ............ (-1 ) 9
(‌ب) (-3 ) 4 ............ ( 3 ) 8
(‌ج) 5 3 ............ 4 × 5
(‌د) 10 3 ............ -1000
س 5) إذاكان س = -1 ، ص = 2 أوجد قيمة :
(‌أ) 4س 7
(‌ب) س2 ص2
(‌ج) س2 + ص2 + س ص
(‌د) 3 ص+ ص2
(‌ه) س2 + س3
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـ

القواعد الأساسية
المستخدمة في الضرب المتكرر ر

في حالة الضرب المتكرر إذا كانت الأساسات متساوية نجمع الاسس بمعنى أن
إذا كان أ g صص ، أ { صفر فإن :
أ م × أ ن = أ م - ن حيث م ، ن g صص
مثال :
أ ) ( -9) 3 × 9 2
لاحظ ( -9) 3 = - ( 9) 3 إذن - ( 9) 3 × 9 2 = -9 3+2
= - 9 5 = - 59049
في حالة القسمة إذا كانت الأساسات متساوية نطرح الاسس بمعنى
إذا كان أ g صص ، أ { صفر فإن :
أ م
أ ن = أ م - ن حيث م ، ن g صص
تمرين 7

س1) ضع العلامة ( / ) أو ( × ) :
(‌أ) 3 4 ÷ 3 4 = 3 صفر ( )
(‌ب) إذا كانت أ = 2 فإن أ 3 × أ = 2 3 ( )
(‌ج) 2 + 2 4 = 2 4 ( )
(‌د) (- 1) 3 ×معكوس جمعي للعدد ( - 1 ) 4 ( )
(‌ه) إذا كانت أ > ب فإن أ 2 > ب 2 ( )
(‌و) 8 3 × 8 صفر = 8 3 ( )
س 2) أوجد ناتج ما يلي :
(‌أ) 3 7 ÷ 3 6
(‌ب) ( - 4 ) 6 ÷ 4 3
(‌ج) ( 3 5 × 3 4 ) ÷ 3 6
(‌د) ( 2 7 × 2 3 ) ÷ 2 10
(‌ه) 8 صفر ÷ ( - 8 ) صفر
(‌و) ( 6 8 ÷ ( -9 ) 3
(‌ز) ( -3 ) 5 ÷ ( 3 × 3 2 )
س 3 اختر الاجابة الصحيحة مما بين القوسين :
(‌أ) 2 3 × 2 3 × 2 3 = ( 2 9، 8 2 ، 24 ، 27 )
(‌ب) ثلث العدد 3 9 = ( 3 3، 3 8 ، 3 6 ، 6 )
(‌ج) -1) 6 .......... ( -5 ) صفر ( { ، > ، < ، = )
(‌د) أ 3 × أ 3 × 2 3 = ( أ 9، أ ، 1 ، 4 )
(‌ه) 2 0 + 3 0 = ( 5 ، 2 صفر ، 5 0 )
س 4 ) أوجد ناتج :
(‌أ) ( -2 ) 5 ، 3 3 ، ( -1 ) 9 ، 4 3
(‌ب) 2 2، ( -4 )2 ، ( - 5 ) 4 ،( -3 ) 2
س 5) ضع العلامة المناسبة ( < أو > أو = ) :
(‌أ) ( -1 ) 7 ............ (-1 ) 9
(‌ب) (-3 ) 4 ............ ( 3 ) 8
(‌ج) 5 3 ............ 4 × 5
(‌د) 10 3 ............ -1000
س 6) إذاكان س = -1 ، ص = 2 أوجد قيمة :
(‌أ) 4س 7
(‌ب) س2 ص2
تمارين 8 - الأنماط العددية :

النمط :
هو تتباع من الاعداد وفقا لقاعدة معينة
وصف النمط :
يقصد به اكتشاف قاعدة النمط والتعبير عنها لفظيا
س1) أكمل الأنماط العددية التالية بكتابة ثلاثة أعداد متتالية :
(‌أ) 3 ، 5 ، 8 ، 12 ، 20 ، .......................
(‌ب) 1 ، 4 ، 10 ن 20 ن ..........................
(‌ج) 6 ، 14 ، 22 ، 30 ، 38 ....................
(‌د) 1 ، 0.6 ن 0.4 ، 0.3 ، ......................
(‌ه) 1 ، 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، ......................
(‌و) 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، .........................
(‌ز)1 ، 5 ، ، 10 ، 16 ، .........................
س 2) اكتشف قاعدة النمظ العددي واكتب العدد الناقص في كل خالة :
(‌أ) 2 ، 6 ، ............ ، 14 ، 18 ، .........
(‌ب) 7 ، ..... ، 15 ، 19 ، 23 ، ........
(‌ج) 1.5 ، ........ ، 2.5 ، ......... ، 3.5 ، ..............
(‌د) 128 ، 64 ، ............. ، 16 ، 8 ، ......... ، .............
(‌ه) ..........، 15 ، 12 ، 9 ، ....... ، ...............
(‌و) 8 ، 88 ، ........ ، .......... ، 88888
(‌ز)0.6 ، 1 ، ............ ، 1.8 ، 2.2 ، ..............
س 3 اكتب النمط الذي يمثل كل قاعدة مما يلي :
(‌أ) كل عدد يزيد عن سابقه بمقدار 3
(‌ب) كل عدد ينقص 5 عن سابقه
1
4

(‌ج) كل عدد يزيد عن سابقه
(‌د) كل عدد ينقص 4 عن سابقه
(‌ه) كل عدد ثلاثة أمثال العدد السابق له
س 4 ) أوجد ناتج :
تستصلح شركة أراضى بصحراء مصر 6 أفدنة في اليوم الواحد لتصبح صالحة ومجهزة للزراعة كم يوما يلزم الشركة لاستصلاح ما يقرب من 50 فدانا ؟ اكتب النمط العددي المعبر عن ذلك وصفه
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـ
اختبار الوحدة الأولى

س 1 اختر الاجابة الصحيحة مما بين القوسين :
(‌أ) 4 9 × 4 5 = (4 9 ، 4 59 ، 4 4 ، 4 )
(‌ب) 5 ÷ صفر = ( 4 ، صفر، 1 ، غير ممكنة )
(‌ج) المحايد الجمعى للأعداد الصحيحة هو ......... ( صفر ، 1 ، -1 ، غير ذلك )
(‌د) العالم بليز باسكال ولد في ................... ( ألمانيا ، فرنسا ـ أمريكا ، الصين )
(‌ه) -4 = ( -3 + 5 ) = .................... ( 12 ، -2 ، 3 -3 )
س 2) رتب الأعداد التالية ترتيبا تصاعديا:
-8 ، 16 ، | -8 | ، -16 ، 4
س 3 ) تحقق من خاصية انغلاق الجمع والطرح على المجموعة التالية
سس = c 3 ، -3 ، 6 d
س 4 ) استخدم خاصية التوزيع في إيجاد ناتج :
(‌أ) 9 a 13 + ( -5 ) b| -7| - (-11)
(‌ب) -16 × 88 + 16
س 5 ) أكمل :
(‌أ) صص = ط بلآ ..................
(‌ب) صص + بلا صص - = .........
(‌ج) المعكوس الجمعى للعدد 8 =
(‌د) - | -77| + 3 = ..............

تحياتي / أبو يوسف
أرجو دفع الثمن مقابل المجهود المبذول في إخراج هذا العمل
الثمن : دعاء لي بظهر الغيب
Uosef_5117 * yahoo .com