ياسر محمد عبد الصمد
28-02-2013, 01:57 AM
مجموعة الأعداد الصحيحة
أولا الحاجة إلى مزيد من الأعداد :
درسنا فيما سبق العمليات على مجموعة الأعداد الطبيعية ( ط ) ومنها عملية الطرح
مثال1: اطرح 5-3 = 2 & أما 3-5 = غير ممكنة فى ط
وهناك أمثلة أخرى لا تصلح معها الأعداد الطبيعية مثل درجات الحرارة مثل درجة الحرارة
تحت الصفر فى بعض المدن0 ومن هما وجب علينا توسيع مجموعة الأعداد الطبيعية
فظهرت مجموعة الأعداد الصحيحة0
مما تتكون مجموعة العداد الصحيحة:
رمز مجموعة الاعداد الصحيحة (صص } وتتكون من
ة 000000 00 ، 5 ، 4 ، 3 ،2 ، 1 ، 0،-1،-2،-3،-4،-5، 0000000000’
صص + مجموعة الأعداد الصجيجة الموجبة ة5،4،3،2،1، 0000000000’
صص - مجموعة الأعداد الصجيجة السالبة ة -1،-2،-3،-4،-5، 000000000’
اذا صص =صص + حح ةالصفر ’ حح صص –
وتمثل على خط العداد كما يلى
ملحوظات هامة:
(1) الصفر ليس موجبا ولا سالبا
(2) -1 هو أكبر عدد صحيح سالب
(3) الواحد هو أصغر عدد صحيح موجب
(4) لا يوجد اكبر عدد صحيح موجب ولا اصغر عدد صحيح سالب
القيمة المطلقة للعدد الصحيح
هى المسافة بين موقع النقطة أ & ب وموقع الصفر على خط الأعداد- وهى دائما موجبة
ويرمز لها بالرمز ‘ أ ‘
مثلا ‘ 4‘= 4 & ‘ -4‘ = 4
مثال:
‘ -6 ‘ + ‘ 4 ‘ = 6+4 =10
تمرين 1
اكمل ما ياتى
(1) | 8| =000000000
(2) |-102 | = 00000
(3) - | - 45 | = 000000000
(4) | 91 | + | -11 | = 00000000
(5) | -34 | - | 23| = 0000000000
ماذا تُلاحظ !؟؟
) أدرس مجموعة الأزواج العددية التالية : (+5 ، ـ5) ، (ـ9 ، +9) ، (0 ، 0)
ما هو النظير الجمعي للعدد الصحيح الموجب (+5) ؟
ما هو النظير الجمعي للعدد الصحيح السالب (ـ9) ؟
ما هو النظير الجمعي للصفر ؟
ماذا تعلمنا ؟!
1. نظير الصفر هو الصفر .
2. نظير العدد الصحيح الموجب عدد صحيح سالب .
3. نظير العدد الصحيح السالب عدد صحيح موجب .
4. للعدد الصحيح ونظيره نفس المطلق ، بمعنى أن العدد الصحيح ونظيره يكونان على بعدين متساويين من النقطة التي تمثل الصفر على خط الأعداد .
تمارين 1
(1) مثل الاعداد الاتية على خط الاعداد
7، -5 ، -7 ، 2 ، 0 ، 1 ، -1 ، -9 ، 9
(2) اكتب معكوس كلا من الاعداد الاتية
124 ، 76 ، -46 ، 23 ، -56 ، 12
(3) أوجد قيمة س التي تجعل العبارة الآتية صحيحة :
(أ) -3 ي ة 1 ، -1 ، س ، 5 ’
(ب) س ي ة 3 ، 8 ،9 ’ ط ة -8 ، 9 ، -3 ’
(4) أكمل ما ياتى
(أ) نظير العدد -4 هو 000000000
(ب) نظير العدد 9 هو 000000000
(ج) نظير العدد | -7 |هو 000000000
(5) ضع علامة ( ض ) امام العبارة الصحيحة وعلامة (ضض ) امام العبارة الخاطئة0
(أ) الصفر ي صص – { }
)ب( صص + حح صص - =صص { }
(ج) صص + = ع ( )
( د) ة-7’ ي صص { }
نستخدم خط الأعداد في مقارنة الأعداد الصحيحة للتعرفِ على الأكبر والأصغر .
عرفت سابقاً أن الصفر على خط الأعداد يمثل نقطة مرجعية ، ولعلك لاحظت أن :
جميع الأعداد الصحيحة السالبة تقعُ على اليسارِ أو للأسفل من الصفرِ.
جميعَ الأعدادِ الصحيحة الموجبة تقعُ على اليمين أو للأعلى من الصفر .
1) الصفر أكبر من أيِّ عددٍ صحيح سالب .
2) والصفر أصغر من أيٍِّ عددٍ صحيح موجب .
3) أي عدد صحيح موجب أكبر من أي عدد صحيح سالب .
4) وأي عدد صحيح سالب أصغر من أي عدد صحيح موجب .
أولاً : أيهما أكبر +5 أم +2
لاحظ أن (+5) تقع على اليمين من +2 على خط الأعداد في وضع أفقي .
+5 أكبر من +2
لاحظ أن (+5) تقع فوق (أعلى من ) +2 على خط الأعداد في وضع رأسي .
\ +5 < +2
ثانياً : أيهما أكبر ـ3 أم ـ5
لاحظ أن ـ3 تقع على اليمين من ـ5 على خط الأعداد في وضع افقي .
ـ3 ـ5
لاحظ أنَّ ـ3 تقع فوق (أعلى من ) ـ5 على خط الأعداد في وضع رأسي .
ـ3 ـ5
الترتيب التصاعدي :
مثل1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ3 ، +4 ، 0 ، ـ5 ، +6
لاحظ أن ـ5 يقع أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليمين منه العدد ـ3 ثم الصفر ثم +4 وأخيراً +6 .
الأعداد المذكورة تأخذ الترتيب التصاعدي الآتي : ـ5 ، ـ3 ، 0 ، +4 ، +6
مثل 2 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +5 ، ـ4 ، 0 ، +2 ، ـ1
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تصاعدياً ، أي من الأصغر إلى الأكبر .
لاحظ أن العدد ـ4 يقع في الأسفل بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع رأسي ، يليه مباشرة وإلى الأعلى الأعداد ـ1 ثم أعلى منه الصفر ثمَ +2 واخيراً +5 .
الأعداد المذكورة تأخذ الترتيب التصاعدي الآتي :
ـ4 ، ـ1 ، 0 ، +2 ، + 5
الترتيب التنازلى :
مثل1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +2 ، +4 ، ـ1 ، ـ3 ، 0
لترتيب هذه الاعداد ترتيباً تنازليا ، أي من الأكبر إلى الأصغر :
العدد +4 يقع أقصى اليمين بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليسار العدد +2 ثم الصفر ثم ـ1 وأخيراً في أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد العدد ـ3 .
الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي 4 ، 2 ، 0 ، ـ1 ، ـ 3
-3 > -1 > 0 > +2 > +4
مثل 2 :
لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ4 ، +2 ، ـ 2 ، 0 ، +4
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تنازلياً ، أي من الأكبر إلى الأصغر .
العدد +4 يقع في الأعلى بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضعٍ رأسي ، يليه مباشرة إلى الأسفل منه العدد +2 ثم الصفر ثم ـ2 واخيراً يقع العدد ـ4 في الاسفل بالنسبة لباقي هذه الأعداد .
الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي :
+4 ، +2 ، 0 ، ـ2 ، ـ4
تمارين 2
( 1) رتب الأعداد الآتية ترتيبا تصاعديا :
( أ ) 7 ، -5 ، 9 ، 0 ، -1 ، -11 ، 10
( ب) 3 ،9 ،1 ، 7 ، 5 ، 12 ، 10
( ج ) -2 ، -6 ، 0 ، -1 ، -9 ، 1
(2 ) ضع علامة ( ى } او { آ} أو { = } فيما يلى :
( أ ) 2 5 (ب) -2 -6
(ج) | -3 | 3 (د) -12 -9
(ر) 3+ |-3| 8 (و) -|-6| 4
(3) اكتب العدد الصحيح السابق & والتالي لكل عدد صحيح فيما يلى:
(أ) -4 (ب) 14 (ج) -1 (د) صفر
(4) اكتب الأعداد الصحيحة المحصورة بين كل عددين صحيحين مما يلي:
(أ) -3 ، 3 (ب) -6 ، 1 (ج) -5 ، 0
(5) أكمل بنفس التسلسل:
(أ) -9 ، -8 ، -7 ، 000000000000
(ب) -3 ، 0 ، 3 ، 0000000000000
(ج) -60 ، -50 ، -40 ، 0000000000
جمع وطرح الأعداد الصحيحة
اولا جمع الاعداد الصحيحة:
عملية الجمع ممكنة دائما في صص
عند إجراء عملية الجمع نستخدم مبدأ المكسب والخسارة
بمعنى
(أ) 5+3 مكسب 5 + مكسب 3 = مكسب 8
وممكن إجراء هذه العملية باستخدام خط الأعداد كما يلى
1- نبدأ من الصفر ونتحرك يمينا خمس وحدات لتمثيل العدد ( 5 )
2- نبدأ من العدد ( 5) ونتحرك يمينا ثلاث وحدات لتمثيل العدد ( 3 )
3- نصل الى العدد ( 8 ) وهو ناتج الجمع
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن 5+3=8
(ب) اجمع ( -1) + ( -2 ) باستخدام خط الأعداد
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن ( -1) + ( -2 )= -3
( ج) اجمع 5 + ( -3 )
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن 5 + ( -3 ) = 2
ومن الأمثلة السابقة يتضح لنا القاعدة الآتية
عند جمع عددين كلاهما موجب يكون الناتج موجب
عند جمع عددين كلاهما سالب يكون الناتج سالب
عند جمع عددين احدهما سالب والأخر موجب يكون الناتج إما موجب اوسالب
حسب إشارة العدد الأكبر ونطرح
مثال 1
أوجد ناتج:
(1) 7+5 (2) 8 + (-5)
(3) 0 + (-3) (4) (-4) + ( -9)
الحل:
(1) 7+5=12 (2) 8+(-5)= 3
(3) 0 + (-3)= -3 (4) (-4) + (-9) =-13
تمرين 1
أوجد ناتج ما يلي:
(1) 6+8 ( 2) (-5) + 4
(3) 3 + (-4) (4) 8 + (-8)
(5) (-4) + (-1) (6) 12 + (-10)
الحل:
000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000
خواص عملية الجمع فيصص :
(1) خاصية الانغلاق
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان
ا + ب = ج ي صص
(2) خاصية الإبدال
إذا كان ا & ب عددين صحيحين
ا + ب = ب + ا
مثلا"
3 + 6 = 6 + 3 =9
( -4) + 9 = 9 + (-4) = 5
( 3) خاصية الدمج
إذا كان ا & ب & ج ثلاث أعداد صحيحة فان
{ ا + ب } + ج = ا + { ب + ج }
مثلا"
( -5 + 3 ) + 2 = -5 + ( 3 + 2 ) = 0
( 4 ) خاصية المحايد الجمعي
الصفر هو المحايد الجمعي في صص
إذا كان ا عددا" صحيحا" فان
ا + 0 = 0 + ا = ا
مثلا"
9 + 0 = 0 + 9 = 9
(5) خاصية المعكوس الجمعي
كل عدد صحيح موجب ا يقابله عدد صحيح سالب – ا بحيث إن
العدد + معكوس = صفر مثل 8 + ( -8 ) = صفر
مثال2:
استخدم خواص الجمع في إيجاد ناتج ما يلي
(1) 36 + 19 + 64 + 81
(2) 28 + 47 + 122 + 453
الحل:
(1) 36 + 19 + 64 + 81
36 + 64 + 19 + 81 ( خاصية الإبدال)
(36 + 64 ) + ( 19 + 81 ) ( خاصية الدمج)
100 + 100 = 200
(2) 28 + 47 + 122 + 453
28 + 122 + 47 + 453 ( إبدال )
( 28 + 122 ) + ( 47 + 453 ) ( دمج )
200 + 500 = 700
تمرين 2
استخدم خواص الجمع في إيجاد
(1) 427 + 145 + 273 + (- 45)
(2) 109 + ( - 38 ) + 491 + 538
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
ثانيا طرح الأعداد الصحيحة
نعلم مما سبق دراسته الطرح غير ممكن دائما" في ط
إنما الطرح في صص ممكن دائما"
مثل ( 9 – 5 ) ممكن كتابتها على الصورة 9 + ( -5)
مثال 3
أوجد ناتج ما يلي
(1) 9 - 7 & 7 – 9 ماذا تلاحظ ؟
(2) -7 - (5 -3 ) & ( -7 -5 ) -3 ماذا تلاحظ ؟
الحل
(1) 9 – 7 = 2 & 7 – 9 = -2
إذن 9 – 7 لآ 7 – 9 إذن عملية الطرح ليست ابداليه
(3) -7 – ( 5 – 3 ) = -7 – 2 = -9
( -7 – 5 ) -3 = -12 -3 = -15
إذن -7 – ( 5 – 3 ) لآ ( -7 – 5 ) -3
إذن عملية الطرح ليست دامجه
تمرين 3
أوجد ناتج ما يلي
(1) 9- 4 (2) 6 – 8
(3) -4 -7 (4) -7 + 2
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 3
(1) استخدم خط الأعداد لتمثيل عمليات الجمع والطرح التالية:
(أ) -5 -2 (ب) -8 + 9 (
( ج ) 6 – ( -1 )
(2) ضع الرمز المناسب ي ، يي خ ، خخ فيما يلي
(أ) -3 000 ط (ب) ة4’0000 صص
(ج) - | 6 | 000 صص (د) %؛7 صص
(و) ؛5 صص
(3) استخدم خواص عملية الجمع في إيجاد ناتج ما يلي
(أ) -120 + 17 + 131
(ب) 157 + 786 + 843 + 214
(ت) 2015 +180 + ( -1015 )
(ث) 2354 + 700 + (-54 )
(ج) 845 + 967 + 155 + 33
(4) أودع رامى بالبنك مبلغا" من المال قدره 7480 جنيها" ثم سحب منه مبلغا" قدره 1480 جنيها" ثم قام بإيداع مبلغ اخر قدره 3000 جنيها" ، كم رصيده بالبنك ؟
( 5) غواصة على عمق 90 مترا" تحت مستوى سطح البحر ، ارتفعت 60 مترا" 0 استخدم العملية الحسابية المناسبة لحساب العمق الجديد للغواصة ؟
ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة
أولا" ضرب الأعداد الصحيحة:
قاعدة الإشارات فى الضرب في صص
عدد موجب × عدد موجب = عدد موجب مثال 5× 3 = 15
عدد موجب × عدد سالب = عدد سالب مثال 6 × -3 = -18
عدد سالب × عدد موجب = عدد سالب مثال -4 × 8 = -32
عدد سالب × عدد سالب = عدد موجب مثال -5 × -9 = 45
مثال 1
أوجد ناتج كلا" مما يأتي
(أ) -7 × 3 ( ب) -6 × -9 (ج) 7 × - ( - 6 )
الحل
(أ) -7 × 3 = -21 (ب) -6 × -9 = 54
(ج) 7 × - ( -6 ) = 7 × 6 = 42
تمرين 1
أوجد ناتج ما يأتي
(1) -12 × 6 (2) -34 × -54
(3) 456 × 13 (4) 234× -5
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000
خواص عملية الضرب
(1) خاصية الانغلاق
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان ا× ب = ج ، ج ي صص
( 2) خاصية الإبدال
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان ا × ب = ب × ا
مثال 5× 6 = 30 & 6 × 5 = 30 أى 5 × 6 = 6 × 5
(3) خاصية الدمج
إذا كان ا & ب & ج أعداد صحيحة فان
ا × { ب × ج } = { ا × ب } × ج
مثال 3 × (5× 4) = 3 × 20 = 60
(3 × 5 ) × 4 = 15 × 4 = 60
اى 3 × (5× 4) = (3 × 5 ) × 4
(4) خاصية المحايد الضربى
الواحد هو المحايد الضربى فىصص
اذا كان ا ي صص فان ا × 1 = ا & 1 × ا = ا
مثال 8 × 1 = 8 & -9 × 1 = -9
(5) خاصية توزيع الضرب على الجمع
اذا كان ا & ب & ج اعداد صحيحة فان
ا × { ب + ج } = ا × ب + ا × ج
مثال 6 × ( 3 + 7 ) 6 × 3 + 6 × 7
= 6 × 10 = 18 + 42
= 60 = 60
اى 6 × ( 3 + 7 ) = 6 × 3 + 6 × 7
مثال 2
استخدم خواص الضرب في إيجاد ما يأتي :
(1) 7 × ( 8 + ( -7 ) )
(2) 112 × 17 + 112 × -17
(3) 123 × 1002
(4) 454 × 99
الحل :
(1) 7 × ( 8 + ( -7 )) = 7 × 8 + 7 × -7
= 56 + (-49 )
= 7
(2) 112 × 17 + 112 × -17
= 112 × ( 17 + ( -17 ) )
= 112 × صفر = صفر
(3) 123 × 1002
= 123 × ( 1000 + 2 )
= 123 × 1000 + 123 +× 2
= 123000 + 236 = 123236
(4) 454 × 99
= 454 × ( 100 – 1 )
=454 × 100 - 454 × 1
=45400 – 454 = 44946
تمرين 2
استخدم خواص الضرب في إيجاد ما يأتي :
(1) 213 × 23 + 213 × 177
(2) 346 × 99
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000
ثانيا" قسمة الاعداد الصحيحة
القسمة غير ممكنة دائما" في صص أوعى تنسى
فمثلا" 8÷ 4 = 2 عدد موجب ÷ عدد موجب = عدد موجب
-15 ÷ 5 = -3 عدد موجب ÷ عدد سالب = عدد سالب
أما 5 ÷ 7 يي صص عدد سالب ÷ عدد موجب = عدد سالب
عدد سالب ÷ عدد سالب = عدد موجب
مثال 3
أوجد خارج القسمة فى الحالات الآتية
(1) 72 ÷ 9 (2) -72 ÷ 6
(3) 234 ÷ -3 (4) -36 ÷ -4
الحل :
(1) 72 ÷ 9 = 8 (2) -72 ÷ 6 = -12
(3) 234 ÷ -3 = - 78 (4) -36 ÷ -4 = 9
تمرين 3
(1) 468 ÷ -2 (2) 5 × س = 45
(3) 18÷ (3 ÷ 2 ) & (18 ÷ 3 ) ÷ 2 ماذا تلاحظ ؟
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 4
(1) أوجد ناتج ما يلي:
(أ) -131 × -3 (ب) 34 × -5
(ج) -9(-8) (د) –(-6) × -3
(و) -56 ÷ -2 (ر) $؛6*؛
(2) حدد عملية القسمة الممكنة في صص فيما يلي:
(أ) (-32) ÷ 8 (ب) 420 ÷ -15
(ج) 56 ÷ ( 3 + ( -3 ) ) (د) (4-4) ÷ 9
(3) استخدم خواص الضرب في ايجاد ما يأتي :
(أ) بح34 × 15 + 66 × 15
(ب) 69 × 101
(ت) 86 × 455 + 86 × 555
(ث) 434 × 1001
(ج) 57 × 499
(4) اذا كان س = 3 & ص = -1 & ع = -7
احسب قيمة كل من
(أ) 2س + ص –ع (ب) 3س ص – ع (ج) (س ÷ ص) × 3ع
(5) أوجد قيمة س اذا كان :
(أ) 8 × س = -48 (ب) س × 9 = 63
(ج) س × ( 5 × -13 ) = (-9 × 5 ) × -13
الضرب المتكرر
يقصد بالضرب المتكرر
تكرار ضرب العدد في نفسه عدد من المرات
فمثلا" 2 × 2 × 2 × 2 = 22$
بصفة عامه
اذا كان ا ي صص فان
ا × ا × ا × 00000000ن من المرات = ]نن
قاعدة هامة
(1) 2# 2 تسمى أساس & 3 تسمى أس
(2) فى حالة الضرب نجمع الأسس 2# × 2$ = 2 &
(3) في حالة القسمة نطرح الأسس 2& ÷ 2# = 2$
مثال 1
أوجد ناتج ما يلي
(أ) 5* × 5# (ب) 6$ × 6%
6*
الحل
(أ) 5* × 5# = 5% = 3125
(ب) 6$ × 6% 6)
6* = 6* = 6)-* = 6! =6
تذكر أن
اى عدد سالب مرفوع لأس زوجي يكون الناتج عدد موجب مثل -2 * =4
اى عدد سالب مرفوع لأس فردى يكون الناتج عدد سالب مثل -2 #= -8
اى عدد مرفوع لأس صفر = 1
مثال 2
اوجد ناتج ما يلي
(أ) -3 # × -3 * (ب) ( 2 # × - 2$ ) ÷ 2 %
الحل
(أ) -3 # × -3 * = -3 % = - 243
(ب) ( 2# × -2$ ) ÷ 2% = - ( 2 # × 2 $ ) ÷ 2%
- ( 2&) ÷ 2 % = - 2 * = 4
تمرين 1
أوجد ناتج ما يلي
(أ) 2 # × 2 # (ب) ( -3) * × 3 #
(ب) (-2) * × (-2 ) $ ÷ 2 ^
(ج) 5 # × 5 & ÷ 5 $ × 5 #
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 5
(1) اوجد ناتج ما يلي؛
(أ) (-7) * (ب) -5 * × 2*
(ج) (-2) # + (-3) $ (د) (-1) ((! + (-1) !(!
( ه ) (-5) # × (-1) % (و) -2 # ÷ -2*
(ر) ( -4% × -4# ) ÷ ( -4 )^
(2) رتب ما يلي ترتيبا" تصاعديا"
-2% ، -3* ، -4( ، -1%! ، 3 *
(3) رتب ما يلي ترتيبا" تنازليا:
10* ، -1 % ، 100* ، (-10)# ، 1000000
(4) اذا كان ا =2 ، ب =- 3 أوجد قيمة ما يلى :
(أ) 3 ا (ب) 2 ا + 3 ب ( ج ) ا + ب + ا ب
(5) ضع علامة ( ى ، آ ، = ) فيما يلي:
(أ) 4* 00000 8
(ب) (-6)* 00000 -12
(ج) 9* 00000 (-3) $
(د) 1 × 7 % 00000 1
7 %
الأنماط العددية
النمط العددي : هو تتابع من الأعداد وفقا لقاعدة معينة
مثال
مجموعة الأعداد الطبيعية (ط) تمثل تتابعا من الأعداد وفق قاعدة
( كل عدد يزيد على سابقه بمقدار الواحد)
ة 0 ،1 ،2 ،3 ، 4 ،5 ،000000000’
ومنها بغض المجموعات الجزئية مثل ( مجموعة الأعداد الفردية)
وصف النمط: يقصد به اكتشاف قاعدة النمط والتعبير عنها لفظيا
تدريب 1
اكتب عدد المثلثات أسفل كل شكل
عدد المثلثات 00000 000000 0000000
النمط العددي : 000000000000000000000000000000000
وصف النمط: 00000000000000000000000000000000000
باستخدام عدد القطع المستقيمة اكتب نمطا أخر و صفه ؟
تمارين 6
(1) أكمل الأنماط العددية التالية بكتابة ثلاث أعداد متتالية :
(أ) 6 ، 14 ، 22 ، 30 ، 38 ، 0000 ، 0000 ، 0000
(ب) !؛2 ، !؛4 ، !؛8 ، !؛6 ؛1 ، 0000، 000000 ، 000000
(ت) 2 ، 3 ،5 ، 8 ، 13 ، 0000 ، 0000 ، 00000
(ث) 1 ، 4 ، 9 ، 16 ،25 ، 0000 ، 0000 ،0000
(2) اكتشف النمط العددى واكتب العدد الناقص في كل حالة:
(أ) 4 ، 7 ، 000 ، 13 ، 16 ، 0000 ، 00000
(ب) 7 ، 000 ،15 ، 19 ، 23 ، 0000 ، 0000
(ت) 128 ، 84 ، 0000 ، 16 ، 8 ، 0000 ، 0000
(ث) 0000، 15 ، 12 ، 9 ، 0000 ، 00000
(3) تستصلح شركة اراضى بصحراء مصر 6 افدنة فى اليوم الواحد ، كم يوما يلزم الشركة لاستصلاح ما يقرب من 50 فدان ؟
اكتب النمط العددى المعير عن ذلك وصفه ؟
الوحدة الثانية:
المعادلات و المتباينات
المعادلة والمتباينة من الدرجة الأولى :
المعادلة : هي جملة رياضية تتضمن علاقة تساوى بين عبارتين رياضيتين
إذا المعادلة لها طرفان بينهما علاقة ( =) الطرف الايمن غالبا ما يحتوى على العبارة الرياضية مثل س + 3 = 6 والرمز (س) هنا يعبر عن المجهول
ملاحظة هامة:
ص - 7 لاتمثل معادلة لأنها لا تحتوى على علاقة ( =)
25 – 9 =16 لاتمثل معادلة لأنها لا تتضمن تساوى عبارتين رياضيتين
درجة المعادلة :
هى اكبر ( اس ) مرفوع لها المجهول ( الرمز ) بالمعادلة
مثل س + 5 = 9 من الدرجة الأولى &
س* + 3 = 6 من الدرجة الثانية وهكذا
المتباينة : هي جملة رياضية تتضمن علامة التباين بين عبارتين رياضيتين
مثل س + 3 ى 5
حل المعادلة أو المتباينة :
يقصد به التوصل لقيمة الرمز الموجود بالمعادلة أو المتباينة
ونستخدم لذلك مبدئيا مجموعة التعويض
مثال 1
باعتبار مجموعة التعويض ن = ة 0 ، 2 ، 3 ، 5 ’ اوجد مجموعة الحل لكل من
(أ) س + 7 = 10 (ب) س + 4 آ 8
الحل : أولا المعادلة س + 7 = 10
نستخدم مجموعة التعويض بالتعويض في الطرف الأيمن لتحديد العناصر التى تحقق المعادلة
عندما س = 0 يكون 0 + 7 = 7 لآ 10
عندما س = 2 يكون 2 + 7 =9 لآ 10
عندما س = 3 يكون 3 + 7 = 10
عندما س = 5 يكون 5 + 7 = 12
إذن مجموعة الحل = ة 3 ’
(ب) س + 4 آ 8
عندما س =0 يكون 0 + 4 آ 8
عندما س = 2 يكون 2 + 4 آ 8
عندما س = 3 يكون 3 + 4 آ 8
عندما س = 5 يكون 5 + 4 آ 8
إذا مجموعة الحل = ة 0 ، 2 ، 3 ’
تمرين2
باعتبار مجموعة التعويض ل = ة 2 ، 3 ، 4 ’
أوجد مجموعة الحل لكل من
(أ) س + 2 = 6 (ب) س + 2 آ 6
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000
تمارين 7
أوجد مجموعة الحل لكل من المعادلات والمتباينات التالية:
(1) س – 2 = 5 ، مجموعة التعويض ة 4، 5 ، 6 ، 7 ’
(2) س + 2 = 6 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 1 ، -2 ، 4 ’
( 3) س + 7 = 10 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2، 3 ، 4 ’
(4) 2س + 1 =16 ، مجموعة التعويض ة 7 ، 8 ، 9 ’
(5) 3س – 1 = 11 ، مجموعة التعويض ة 2 ، 3 ، 4 ، 5 ’
(6) 5س + 3 = 13 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2 ، 3 ’
(7) 4س – 3 = 9 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 2 ، 4 ، 6 ’
(8) س + 1 آ 4 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 1 ، -2 ، 4 ’
(9) س - 1 ى 1 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2، 3 ، 4 ’
(10) س + 3 آ 5 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2 ،3 ، -2’
(11) 3س – 1 ى -2 ، مجموعة التعويض ة -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ’
(12) - س + 1 آ 4 ، مجموعة التعويض ة -3 ، -2 ، 0 ، 2 ، 3 ’
حل المعادلات من الدرجة الأولى
فى مجهول واحد
ويقصد بحل المعادلة :
هو إيجاد قيمة المجهول ( الرمز ) الموجود في المعادلة
فى الدرس السابق تم الاستعانة بمجموعة التعويض
ولكن الآن سنستخدم خواص التساوي فى ط ، صص
خواص التساوي في ط ، صص
(1) خاصية الإضافة والحذف :
بمعنى عندما 4 + 5 = 9 إذا أضفنا واحد للطرفين لم نغير في المعادلة
4 + 5 + 1 = 9 + 1
كذلك اذا حذفنا من الطرفين واحد مثلا فلا نغير من المعادلة
مثال1
أوجد حل المعادلة س - 1 = 3 في صص
الحل : س – 1 = 3 باضافة + 1 للطرفين
س – 1+ 1 = 3 + 1
س = 4 اذن مجموعة الحل س = ة 4 ’ م 0 ح = ة 4’
مثال 2 أوجد مجموعة الحل للمعادلات الاتية :
(1) س + 2 = 5 (2) س + 4 = 2
(3) س – 5 = -3 (4) س + 1 =- 2
الحل :
(1) س + 2 = 5 س = 5 - 2 لاحظ ان ( +2) نقلت بعكس الإشارة
إذن س = 3 اذن م 0 ح = ة 3 ’
(2) س + 4 = 2 س = 2 – 4 س = -2
إذن م 0 ح = ة -2 ’
(3) س -5 = -3 س = -3 + 5 س = 2
م 0 ح = ة 2 ’
(4) س + 1 = -2 س = -2 -1 س = -3
م 0 ح = ة -3 ’
(2) خاصية الضرب والقسمة
اذا كان ا ، ب ، ج ثلاثة اعدد ي ط أ، صص وكان
ا = ب فان ا × ج = ب × ج ،
ا = ب فان ا÷ ج = ب ÷ ج
مثال3
أوجد حل المعادلة 2س = 10 فى صص
الحل : 2س = 10 بالقسمة على 2
2س ÷ 2 = 10 ÷ 2
س = 5 اذا م 0 ح = ة 5 ’
مثال4
أوجد حل المعادلة س = 3 في ط
4
الحل
س = 3 بالضرب × 4
4
س × 4 = 3 × 4
4
اذا س = 12
مثال5
أوجد مجموعة الحل فى صص
(1) س + 2 = 5 (2) س + 4 = 2 (3) س + 1 = -1
(4) س – 3 = 2 (5) س – 5 = -3 (6) س – 2 = -5
(1) س + 2 = 5
س = 5 – 2
س = 3
م 0 ح = ة 3 ’ (2) س + 4= 2
س = 2 – 00000
س = 00000
م 0 ح = ة00000 000000 0 0 0 0 0’ (3) س + 1 = -1
00000000000
00000000000
00000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000 0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000 0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
تمرين
(1) س + 4 = 5 ( 2 ) س – 5 = 3
(3) س - 6 = -2 (4) س + 5 = -2
(5) س – 4 = -4 (6) س + 3 = 6
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 000
00000000000000000000000000000000000000000000000000 0
مثال6
اوجد مجموعة الحل في صص
(1) 2س = 6 (2) -3س = 12 (3) 4س = -20
(4) 3س – 15 = 0 (5) 2س + 12 = 0 (6) 3س – 1 = 11
2س = 6
بالقسمة على 2 للطرفين
2س ÷ 2 = 6 ÷ 2
س = 3
م 0 ح = ة 3 ’ -3س = 12
بالقسمة على للطرفين
-3س ÷ = 12 ÷
س =
م 0 ح = ة ’ 4س = -20
000000000000
000000000000
000000000000
000000000000
3س – 15 = 0
3س = 15
بالقسمة على 3 للطرفين
3س ÷ 3 = 15 ÷ 3
س = 5
م0ح = ة 5 ’ 2س + 12 = 0
2س = 0000
بالقسمة على 00للطرفين
2س ÷ 00= 00 ÷ 00
س = 000
م0ح = ة ’ 3س – 1 = 11
3س = 11 + 1
3س = 12
بالقسمة على 3 للطرفين
3س ÷ 3 = 12 ÷ 3
س = 4
م0ح = ة 4 ’
مثال7
اوجد مجموعة الحل للمعادلة الآتية
3س – 2 = 5س + 8
الحل
3س – 2 = 5س + 8 3س – 5س = 8 + 2
-2س = 10 بالقسمة على -2 -2س ÷ -2 = 10÷ -2
س = -5 م0ح = ة -5 ’
تمارين 8
أوجد مجموعة الحل في ص
(1) س + 3 = 7 (2) س + 5 = 8 (3) س - 1 = 3 (4) س + 5 = 2
(5) س + 6 = 1 (6) س – 6 = -2
(7) س – 5 = -4 (8) س – 4 = 2 (9) س – 2 = 5 (10) 3س = -6
(11) 5س = -15 (12) 2س = -10
(13) 4س = 24 (14) 6س = -18
(15) 2س – 8 =0 (16) 3س -21 = 0
(17) 4س + 12 = 0 (18) 6س + 24 = 0
(19) 3س -7 = 2 (20) 2س -1 = 9
(21) 2س + 4 = 12 (22) 3س + 7 = 10
(23) 2س + 11 + 3س = 1 (24) 4س – 9 = س + 3
(25) 3س + 2 = س + 8 (26) 5س + 3 = 2س + 15
(27) س – 5 = 6س – 5 (28) س -1 = 4س + 11
تطبيقات على حل المعادلة من
الدرجة الأولى في صص
مثال1
(1) عدد صحيح اذا الى ضعفه 5 كان الناتج 17 أوجد العدد؟
(2) عدد صحيح اذا طرح من ضعفه 3 كان الناتج 11 أوجد العدد؟
الحل
(1) نفرض أن العدد س
(2) ،ضعف العدد2س
2س + 5 = 17
2س = 17 -5
2س = 12
بالقسمة على 2
إذا س = 6
إذا العدد هو 6 (3) نفرض أن العدد س،
(4) ضعف العدد 2س
2س – 3 = 11
2س = 11 + 3
2س = 14
بالقسمة على 2
إذا س = 7
إذا العدد هو 7
مثال 2
(1) عدد صحيح إذا أضيف إلى ثلاثة أمثاله 14 كان الناتج هو نفس العدد ، أوجد العدد ؟
(2) عدد صحيح إذا أضيف إليه 5 كان الناتج المعكوس الجمعي لنفس العدد مضافا اليه 21 أوجد العدد؟
الحل
(1) نفرض أن العدد س ،
(2) ثلاثة أمثاله = 3س
3س + 14 = س
3س – س = -14
2س = -14
بالقسمة على 2
إذا س = -7
العدد هو -7 نفرض أن العدد = س ،
س + 5 = - س + 21
س + س = 21 – 5
2س = 16
بالقسمة على 2
إذا س = 8
العدد هو 8
مثال3
(1) عددان صحيحان متتاليان مجموعهما 17 ، أوجد العددان ؟
(2) عددان أحدهما يزيد عن الآخر بمقدار 3 ومجموعهما 19 ، أوجد العددان ؟
الحل
(1) نفرض أن العدد الأول = س
والثاني = س + 1
اذا مجموعهما س + س + 1 = 17
2س + 1 = 17
2س = 17 – 1
2س = 16 بالقسمة على 2
س = 16 ÷ 2
س = 8
اذا الاول = 8 الثاني = 9 (2) نفرض الاول = س
والثاني = س + 3
مجموعهما س + س + 3 = 19
2س + 3 =19
2س = 19 = 3
2س = 16 بالقسمة علي 2
س = 16 ÷ 2
س = 8
اذا الاول = 8 الثاني = 11
مثال4
(1) ثلاثة أعداد صحيحة متتالية ومجموعهم 18 ، أوجد هذه الأعداد ؟
(2) ثلاثة أعداد صحيحة زوجية متتالية ومجموعهم 18، أوجد هذه الأعداد ؟
(1) نفرض الأول = س
الثاني س + 1
الثالث س + 2
إذا س + س + 1 + س + 2 = 18
3س + 3 = 18
3س = 18 – 3
3س = 15 بالقسمة ÷ 3
س = 15 ÷ 3
س = 5
الأول = 5 الثاني = 6 الثالث = 7 نفرض الأول = س
الثاني = 000000000
الثالث = 0000000000
000000000000000000
000000000000000000
000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
تمارين 9
(1) عدد صحيح إذا أضيف إلى ضعفه 4 كان الناتج 14، اوجد العدد ؟
(2) عدد صحيح إذا أضيف إلى ضعفه 3 كان الناتج 17 ، اوجد العدد؟
(3) عدد صحيح إذا أضيف إلي ضعفه 14 كان الناتج 48، اوجد العدد؟
(4) عدد صحيح إذا طرح من ضعفه 3 كان الناتج 9 ، اوجد العدد؟
(5)عدد صحيح إذا طرح من ضعفه 4 كان الناتج 10 ، اوجد العدد؟
(6)عدد صحيح إذا أضيف إلية 10 كان الناتج المعكوس الجمعي لنفس العدد ، أوجد العدد ؟
(7)عددان متتاليان مجموعهما 15 اوجد العددين ؟
(8) ثلاثة أعداد متتالية مجموعهم 27 أوجد هذه الأعداد ؟
(9) ثلاثة أعداد فردية متتالية مجموعهم 33 أوجد هذه الأعداد ؟
(10) ثلاثة أعداد زوجية متتالية مجموعهم 66 أوجد هذه الأعداد ؟
حل المتباينة من الدرجة الأولى
في مجهول واحد
خواص التباين في صص
(1) خاصية الإضافة و الحذف 0
(2) خاصية الضرب والقسمة
مثال 1 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
س + 1 آ 3 بإضافة ( -1 ) للطرفين س + 1 -1 آ 3 – 1
س آ 2 مجموعة الحل = ة 1 ، 0 ، -1 ، -2 ، 00000 ’
مثال2 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
س -2 جمس 1 بإضافة +2 للطرفين س – 2 + 2 جمس 1 + 2
س جمس 2 مجموعة الحل = ة 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 00000’
مثال3 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
2 س جمس 4 بالقسمة على 2 2س ÷ 2 جمس 4 ÷ 2
س جمس 2 مجموعة الحل = ة 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 00000000’
مثال4 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
2س + 1 ى 7 بإضافة -1 للطرفين 2س + 1 -1 ى 7 -1
2س ى 6 بالقسمة على 2 2 س ÷ 2 ى 6÷ 2
س ى 3 م 0 ح = ة 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 00000000’
ملاحظة مهمة جدا"
عند ضرب أو قسمة المتباينة في عدد سالب نغير علامة التباين من اكبر إلى
اصغر والعكس
مثال5 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
-5 س جمس 10 بالقسمة ÷ -5 -5 س ÷ -5 حمس 10 ÷ -5
س حمس -2 م 0 ح ة -2 ، -3 ،-4 ، -5 ، 00000000’
مثال6 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
-1 آ س – 3 حمس 4 بإضافة + 3 للطرفين
-1 +3 آ س -3 +3 حمس 4 + 3 2 آ س حمس 7
م 0 ح = ة 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ’
تمارين 10
أوجد مجموعة الحل في ص للمتبنيات الآتية :
{1} س + 1 آ 4 (2) س – 2 ى 1
(3) س – 2 حمس 3 (4) س + 7 جمس 10
(5) س + 3 حمس 5 (6) س – 5 ى -3
(7) 4س ى 12 (8) 2س آ 8
(9) 3س حمس -9 (10) 7س جمس -14
(11) 2س + 7 حمس 11 (12) 5س + 4 آ 19
(13) 3س – 5 حمس -11 (14) 4س + 5 آ 13
(15) -1 آ س + 2 آ 3 (16) 1 حمس 2س + 1 حمس 3
الوحدة الثالثة
الهندسة والقياس
المسافة بين نقطتين في مستوى الإحداثيات
(أ) المسافة بين نقطتين على شعاع :
لاحظ الشكل التالي
ج ب أ
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
النقاط أ & ب & ج تمثلها الاعداد 1 & 7 & 11
المسافة بين النقطتين أ & ب هى
طول أب = إحداثي نقطة النهاية – إحداثي نقطة البداية
= 7 – 1 = 6 سم
أكمل : ا ج = 00000 – 000000 = 000000 سم
ب ج = 0000 – 000000 = 0000000سم
(ب) المسافة بين نقطتين في مستو الإحداثيات فى ط صص
9
8
7
6
5
4
3
2
1
سس 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
حدد في المستوى النقط ا (3 ، 3 ) & ب (3 ، 7 ) & ج ( 7 ، 3 )
عند حساب المسافة بين النقطتين ا & ب مثلا
(5) نحدد القطعة المستقيمة الواصلة بينهما
(6) حدد هل هى توازي وس & وص
المسافة بين نقطتين مستوى الإحداثيات صص :
يتحدد موضع اى نقطة
بزوج مرتب ( س ، ص )
ولكي نحدد المسافة بين أي
نقطتين نستخدم نفس
الخطوات التي استخدمت في
المستوى الإحداثى ط
مثال
حدد موضع النقط الآتية
في مستوى الإحداثى صص
ا (0 ، 3 ) & ب ( -3 ، 0 )
ج ( 0 ، 0 )
ثم أوجد طول ا ب & ا ج & ب ج
ثم أذكر نوع المثلث
تمارين 11
(1) في مستوى الإحداثيات المقابل
ارسم الشكل ا ب ج د
حيث ا ( 3 ، 5 ) & ب ( 0 ، 1 )
ج (-3 ، 5 ) & د (0 ، 9 )
أكمل
طول ا ج = 000000000000
طول ب د = 0000000000000
ز
مساحة الشكل = 00000000 × 000000000000
(2)
على مستوى الإحداثيات المقابل
(أ) حدد موضع النقاط التالية
س ( -1 ، 1 )
ص ( 1 ، 1 ) & ع ( 1 ، 8 ) &
ل ( -1 ، 8 )
(ب) أوجد محيط ومساحة
الشكل س ص ع ل
(ج) حدد هل الشكل متماثل
ام لا ؟
التحويلات الهندسية : تحويل الانتقال
درسنا فيما سبق التحويلية الهندسية
وعلمنا أن
التحويلية الهندسية :
تحول كل نقطة ا في المستوى الى نقطة اَ في نفس المستوى
كما درسنا الانعكاس
الآن سوف ندرس الانتقال
لكى يتم الانتقال يجب معرفة شيئين
(أ) مقدار الانتقال (ب) اتجاه الانتقال
أولا انتقال نقطة في مستوى
(1) في مستوى الصفحة
مثال 0 ا
المطلوب إزاحة النقطة ا مسافة 5 سم في اتجاه م ن
م
ن
الحل
(1) ارسم من ا شعاعا يوازى م ن ليأخذ نفس الاتجاه
(2) عين علي ا ب النقطة اَ بحيث ا اَ = 5 سم
تمارين 12
مساحة الدائرة
مساحة الدائرة = ط نق* حيث ط قيمة ثابتة دائما
إما *؛7*؛ &
تمارين 13
قوانين هامة
المساحة الجانبية للمكعب = مساحة الوجه الواحد × 4
المساحة الكلية للمكعب = مساحة الوجه الواحد × 6
المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = محيط القاعدة × الارتفاع
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات =
مساحته الجانبية +مجموع مساحتي القاعدتين
مثال(4)
متوازي مستطيلات قاعدته على شكل مربع طول ضلعه 5 سم
وارتفاعه 7سم اوجد مساحته الكلية ؟
الحل :
المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = محيط القاعدة × الارتفاع
= ( 5 × 4 ) × 7 = 140 سم*
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبية + مساحتي القاعدتين
= 140 + 2 × ( 5 × 5 )
= 140 + 2 × 25 = 140 + 50 = 190 سم *
تمارين 14
الوحدة الرابعة
تمثيل البيانات بالقطاعات الدائرية:
تمارين 15
التجربة العشوائية
مثال 1
تمارين 16
الاحتمال
مثال1
أنواع الحدث واحتمالاته :
تمارين 17
مجموعة الأعداد الصحيحة
أولا الحاجة إلى مزيد من الأعداد :
درسنا فيما سبق العمليات على مجموعة الأعداد الطبيعية ( ط ) ومنها عملية الطرح
مثال1: اطرح 5-3 = 2 & أما 3-5 = غير ممكنة فى ط
وهناك أمثلة أخرى لا تصلح معها الأعداد الطبيعية مثل درجات الحرارة مثل درجة الحرارة
تحت الصفر فى بعض المدن0 ومن هما وجب علينا توسيع مجموعة الأعداد الطبيعية
فظهرت مجموعة الأعداد الصحيحة0
مما تتكون مجموعة العداد الصحيحة:
رمز مجموعة الاعداد الصحيحة (صص } وتتكون من
ة 000000 00 ، 5 ، 4 ، 3 ،2 ، 1 ، 0،-1،-2،-3،-4،-5، 0000000000’
صص + مجموعة الأعداد الصجيجة الموجبة ة5،4،3،2،1، 0000000000’
صص - مجموعة الأعداد الصجيجة السالبة ة -1،-2،-3،-4،-5، 000000000’
اذا صص =صص + حح ةالصفر ’ حح صص –
وتمثل على خط العداد كما يلى
ملحوظات هامة:
(1) الصفر ليس موجبا ولا سالبا
(2) -1 هو أكبر عدد صحيح سالب
(3) الواحد هو أصغر عدد صحيح موجب
(4) لا يوجد اكبر عدد صحيح موجب ولا اصغر عدد صحيح سالب
القيمة المطلقة للعدد الصحيح
هى المسافة بين موقع النقطة أ & ب وموقع الصفر على خط الأعداد- وهى دائما موجبة
ويرمز لها بالرمز ‘ أ ‘
مثلا ‘ 4‘= 4 & ‘ -4‘ = 4
مثال:
‘ -6 ‘ + ‘ 4 ‘ = 6+4 =10
تمرين 1
اكمل ما ياتى
(1) | 8| =000000000
(2) |-102 | = 00000
(3) - | - 45 | = 000000000
(4) | 91 | + | -11 | = 00000000
(5) | -34 | - | 23| = 0000000000
ماذا تُلاحظ !؟؟
) أدرس مجموعة الأزواج العددية التالية : (+5 ، ـ5) ، (ـ9 ، +9) ، (0 ، 0)
ما هو النظير الجمعي للعدد الصحيح الموجب (+5) ؟
ما هو النظير الجمعي للعدد الصحيح السالب (ـ9) ؟
ما هو النظير الجمعي للصفر ؟
ماذا تعلمنا ؟!
1. نظير الصفر هو الصفر .
2. نظير العدد الصحيح الموجب عدد صحيح سالب .
3. نظير العدد الصحيح السالب عدد صحيح موجب .
4. للعدد الصحيح ونظيره نفس المطلق ، بمعنى أن العدد الصحيح ونظيره يكونان على بعدين متساويين من النقطة التي تمثل الصفر على خط الأعداد .
تمارين 1
(1) مثل الاعداد الاتية على خط الاعداد
7، -5 ، -7 ، 2 ، 0 ، 1 ، -1 ، -9 ، 9
(2) اكتب معكوس كلا من الاعداد الاتية
124 ، 76 ، -46 ، 23 ، -56 ، 12
(3) أوجد قيمة س التي تجعل العبارة الآتية صحيحة :
(أ) -3 ي ة 1 ، -1 ، س ، 5 ’
(ب) س ي ة 3 ، 8 ،9 ’ ط ة -8 ، 9 ، -3 ’
(4) أكمل ما ياتى
(أ) نظير العدد -4 هو 000000000
(ب) نظير العدد 9 هو 000000000
(ج) نظير العدد | -7 |هو 000000000
(5) ضع علامة ( ض ) امام العبارة الصحيحة وعلامة (ضض ) امام العبارة الخاطئة0
(أ) الصفر ي صص – { }
)ب( صص + حح صص - =صص { }
(ج) صص + = ع ( )
( د) ة-7’ ي صص { }
نستخدم خط الأعداد في مقارنة الأعداد الصحيحة للتعرفِ على الأكبر والأصغر .
عرفت سابقاً أن الصفر على خط الأعداد يمثل نقطة مرجعية ، ولعلك لاحظت أن :
جميع الأعداد الصحيحة السالبة تقعُ على اليسارِ أو للأسفل من الصفرِ.
جميعَ الأعدادِ الصحيحة الموجبة تقعُ على اليمين أو للأعلى من الصفر .
1) الصفر أكبر من أيِّ عددٍ صحيح سالب .
2) والصفر أصغر من أيٍِّ عددٍ صحيح موجب .
3) أي عدد صحيح موجب أكبر من أي عدد صحيح سالب .
4) وأي عدد صحيح سالب أصغر من أي عدد صحيح موجب .
أولاً : أيهما أكبر +5 أم +2
لاحظ أن (+5) تقع على اليمين من +2 على خط الأعداد في وضع أفقي .
+5 أكبر من +2
لاحظ أن (+5) تقع فوق (أعلى من ) +2 على خط الأعداد في وضع رأسي .
\ +5 < +2
ثانياً : أيهما أكبر ـ3 أم ـ5
لاحظ أن ـ3 تقع على اليمين من ـ5 على خط الأعداد في وضع افقي .
ـ3 ـ5
لاحظ أنَّ ـ3 تقع فوق (أعلى من ) ـ5 على خط الأعداد في وضع رأسي .
ـ3 ـ5
الترتيب التصاعدي :
مثل1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ3 ، +4 ، 0 ، ـ5 ، +6
لاحظ أن ـ5 يقع أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليمين منه العدد ـ3 ثم الصفر ثم +4 وأخيراً +6 .
الأعداد المذكورة تأخذ الترتيب التصاعدي الآتي : ـ5 ، ـ3 ، 0 ، +4 ، +6
مثل 2 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +5 ، ـ4 ، 0 ، +2 ، ـ1
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تصاعدياً ، أي من الأصغر إلى الأكبر .
لاحظ أن العدد ـ4 يقع في الأسفل بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع رأسي ، يليه مباشرة وإلى الأعلى الأعداد ـ1 ثم أعلى منه الصفر ثمَ +2 واخيراً +5 .
الأعداد المذكورة تأخذ الترتيب التصاعدي الآتي :
ـ4 ، ـ1 ، 0 ، +2 ، + 5
الترتيب التنازلى :
مثل1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +2 ، +4 ، ـ1 ، ـ3 ، 0
لترتيب هذه الاعداد ترتيباً تنازليا ، أي من الأكبر إلى الأصغر :
العدد +4 يقع أقصى اليمين بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليسار العدد +2 ثم الصفر ثم ـ1 وأخيراً في أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد العدد ـ3 .
الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي 4 ، 2 ، 0 ، ـ1 ، ـ 3
-3 > -1 > 0 > +2 > +4
مثل 2 :
لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ4 ، +2 ، ـ 2 ، 0 ، +4
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تنازلياً ، أي من الأكبر إلى الأصغر .
العدد +4 يقع في الأعلى بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضعٍ رأسي ، يليه مباشرة إلى الأسفل منه العدد +2 ثم الصفر ثم ـ2 واخيراً يقع العدد ـ4 في الاسفل بالنسبة لباقي هذه الأعداد .
الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي :
+4 ، +2 ، 0 ، ـ2 ، ـ4
تمارين 2
( 1) رتب الأعداد الآتية ترتيبا تصاعديا :
( أ ) 7 ، -5 ، 9 ، 0 ، -1 ، -11 ، 10
( ب) 3 ،9 ،1 ، 7 ، 5 ، 12 ، 10
( ج ) -2 ، -6 ، 0 ، -1 ، -9 ، 1
(2 ) ضع علامة ( ى } او { آ} أو { = } فيما يلى :
( أ ) 2 5 (ب) -2 -6
(ج) | -3 | 3 (د) -12 -9
(ر) 3+ |-3| 8 (و) -|-6| 4
(3) اكتب العدد الصحيح السابق & والتالي لكل عدد صحيح فيما يلى:
(أ) -4 (ب) 14 (ج) -1 (د) صفر
(4) اكتب الأعداد الصحيحة المحصورة بين كل عددين صحيحين مما يلي:
(أ) -3 ، 3 (ب) -6 ، 1 (ج) -5 ، 0
(5) أكمل بنفس التسلسل:
(أ) -9 ، -8 ، -7 ، 000000000000
(ب) -3 ، 0 ، 3 ، 0000000000000
(ج) -60 ، -50 ، -40 ، 0000000000
جمع وطرح الأعداد الصحيحة
اولا جمع الاعداد الصحيحة:
عملية الجمع ممكنة دائما في صص
عند إجراء عملية الجمع نستخدم مبدأ المكسب والخسارة
بمعنى
(أ) 5+3 مكسب 5 + مكسب 3 = مكسب 8
وممكن إجراء هذه العملية باستخدام خط الأعداد كما يلى
1- نبدأ من الصفر ونتحرك يمينا خمس وحدات لتمثيل العدد ( 5 )
2- نبدأ من العدد ( 5) ونتحرك يمينا ثلاث وحدات لتمثيل العدد ( 3 )
3- نصل الى العدد ( 8 ) وهو ناتج الجمع
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن 5+3=8
(ب) اجمع ( -1) + ( -2 ) باستخدام خط الأعداد
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن ( -1) + ( -2 )= -3
( ج) اجمع 5 + ( -3 )
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن 5 + ( -3 ) = 2
ومن الأمثلة السابقة يتضح لنا القاعدة الآتية
عند جمع عددين كلاهما موجب يكون الناتج موجب
عند جمع عددين كلاهما سالب يكون الناتج سالب
عند جمع عددين احدهما سالب والأخر موجب يكون الناتج إما موجب اوسالب
حسب إشارة العدد الأكبر ونطرح
مثال 1
أوجد ناتج:
(1) 7+5 (2) 8 + (-5)
(3) 0 + (-3) (4) (-4) + ( -9)
الحل:
(1) 7+5=12 (2) 8+(-5)= 3
(3) 0 + (-3)= -3 (4) (-4) + (-9) =-13
تمرين 1
أوجد ناتج ما يلي:
(1) 6+8 ( 2) (-5) + 4
(3) 3 + (-4) (4) 8 + (-8)
(5) (-4) + (-1) (6) 12 + (-10)
الحل:
000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000
خواص عملية الجمع فيصص :
(1) خاصية الانغلاق
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان
ا + ب = ج ي صص
(2) خاصية الإبدال
إذا كان ا & ب عددين صحيحين
ا + ب = ب + ا
مثلا"
3 + 6 = 6 + 3 =9
( -4) + 9 = 9 + (-4) = 5
( 3) خاصية الدمج
إذا كان ا & ب & ج ثلاث أعداد صحيحة فان
{ ا + ب } + ج = ا + { ب + ج }
مثلا"
( -5 + 3 ) + 2 = -5 + ( 3 + 2 ) = 0
( 4 ) خاصية المحايد الجمعي
الصفر هو المحايد الجمعي في صص
إذا كان ا عددا" صحيحا" فان
ا + 0 = 0 + ا = ا
مثلا"
9 + 0 = 0 + 9 = 9
(5) خاصية المعكوس الجمعي
كل عدد صحيح موجب ا يقابله عدد صحيح سالب – ا بحيث إن
العدد + معكوس = صفر مثل 8 + ( -8 ) = صفر
مثال2:
استخدم خواص الجمع في إيجاد ناتج ما يلي
(1) 36 + 19 + 64 + 81
(2) 28 + 47 + 122 + 453
الحل:
(1) 36 + 19 + 64 + 81
36 + 64 + 19 + 81 ( خاصية الإبدال)
(36 + 64 ) + ( 19 + 81 ) ( خاصية الدمج)
100 + 100 = 200
(2) 28 + 47 + 122 + 453
28 + 122 + 47 + 453 ( إبدال )
( 28 + 122 ) + ( 47 + 453 ) ( دمج )
200 + 500 = 700
تمرين 2
استخدم خواص الجمع في إيجاد
(1) 427 + 145 + 273 + (- 45)
(2) 109 + ( - 38 ) + 491 + 538
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
ثانيا طرح الأعداد الصحيحة
نعلم مما سبق دراسته الطرح غير ممكن دائما" في ط
إنما الطرح في صص ممكن دائما"
مثل ( 9 – 5 ) ممكن كتابتها على الصورة 9 + ( -5)
مثال 3
أوجد ناتج ما يلي
(1) 9 - 7 & 7 – 9 ماذا تلاحظ ؟
(2) -7 - (5 -3 ) & ( -7 -5 ) -3 ماذا تلاحظ ؟
الحل
(1) 9 – 7 = 2 & 7 – 9 = -2
إذن 9 – 7 لآ 7 – 9 إذن عملية الطرح ليست ابداليه
(3) -7 – ( 5 – 3 ) = -7 – 2 = -9
( -7 – 5 ) -3 = -12 -3 = -15
إذن -7 – ( 5 – 3 ) لآ ( -7 – 5 ) -3
إذن عملية الطرح ليست دامجه
تمرين 3
أوجد ناتج ما يلي
(1) 9- 4 (2) 6 – 8
(3) -4 -7 (4) -7 + 2
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 3
(1) استخدم خط الأعداد لتمثيل عمليات الجمع والطرح التالية:
(أ) -5 -2 (ب) -8 + 9 (
( ج ) 6 – ( -1 )
(2) ضع الرمز المناسب ي ، يي خ ، خخ فيما يلي
(أ) -3 000 ط (ب) ة4’0000 صص
(ج) - | 6 | 000 صص (د) %؛7 صص
(و) ؛5 صص
(3) استخدم خواص عملية الجمع في إيجاد ناتج ما يلي
(أ) -120 + 17 + 131
(ب) 157 + 786 + 843 + 214
(ت) 2015 +180 + ( -1015 )
(ث) 2354 + 700 + (-54 )
(ج) 845 + 967 + 155 + 33
(4) أودع رامى بالبنك مبلغا" من المال قدره 7480 جنيها" ثم سحب منه مبلغا" قدره 1480 جنيها" ثم قام بإيداع مبلغ اخر قدره 3000 جنيها" ، كم رصيده بالبنك ؟
( 5) غواصة على عمق 90 مترا" تحت مستوى سطح البحر ، ارتفعت 60 مترا" 0 استخدم العملية الحسابية المناسبة لحساب العمق الجديد للغواصة ؟
ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة
أولا" ضرب الأعداد الصحيحة:
قاعدة الإشارات فى الضرب في صص
عدد موجب × عدد موجب = عدد موجب مثال 5× 3 = 15
عدد موجب × عدد سالب = عدد سالب مثال 6 × -3 = -18
عدد سالب × عدد موجب = عدد سالب مثال -4 × 8 = -32
عدد سالب × عدد سالب = عدد موجب مثال -5 × -9 = 45
مثال 1
أوجد ناتج كلا" مما يأتي
(أ) -7 × 3 ( ب) -6 × -9 (ج) 7 × - ( - 6 )
الحل
(أ) -7 × 3 = -21 (ب) -6 × -9 = 54
(ج) 7 × - ( -6 ) = 7 × 6 = 42
تمرين 1
أوجد ناتج ما يأتي
(1) -12 × 6 (2) -34 × -54
(3) 456 × 13 (4) 234× -5
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000
خواص عملية الضرب
(1) خاصية الانغلاق
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان ا× ب = ج ، ج ي صص
( 2) خاصية الإبدال
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان ا × ب = ب × ا
مثال 5× 6 = 30 & 6 × 5 = 30 أى 5 × 6 = 6 × 5
(3) خاصية الدمج
إذا كان ا & ب & ج أعداد صحيحة فان
ا × { ب × ج } = { ا × ب } × ج
مثال 3 × (5× 4) = 3 × 20 = 60
(3 × 5 ) × 4 = 15 × 4 = 60
اى 3 × (5× 4) = (3 × 5 ) × 4
(4) خاصية المحايد الضربى
الواحد هو المحايد الضربى فىصص
اذا كان ا ي صص فان ا × 1 = ا & 1 × ا = ا
مثال 8 × 1 = 8 & -9 × 1 = -9
(5) خاصية توزيع الضرب على الجمع
اذا كان ا & ب & ج اعداد صحيحة فان
ا × { ب + ج } = ا × ب + ا × ج
مثال 6 × ( 3 + 7 ) 6 × 3 + 6 × 7
= 6 × 10 = 18 + 42
= 60 = 60
اى 6 × ( 3 + 7 ) = 6 × 3 + 6 × 7
مثال 2
استخدم خواص الضرب في إيجاد ما يأتي :
(1) 7 × ( 8 + ( -7 ) )
(2) 112 × 17 + 112 × -17
(3) 123 × 1002
(4) 454 × 99
الحل :
(1) 7 × ( 8 + ( -7 )) = 7 × 8 + 7 × -7
= 56 + (-49 )
= 7
(2) 112 × 17 + 112 × -17
= 112 × ( 17 + ( -17 ) )
= 112 × صفر = صفر
(3) 123 × 1002
= 123 × ( 1000 + 2 )
= 123 × 1000 + 123 +× 2
= 123000 + 236 = 123236
(4) 454 × 99
= 454 × ( 100 – 1 )
=454 × 100 - 454 × 1
=45400 – 454 = 44946
تمرين 2
استخدم خواص الضرب في إيجاد ما يأتي :
(1) 213 × 23 + 213 × 177
(2) 346 × 99
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000
ثانيا" قسمة الاعداد الصحيحة
القسمة غير ممكنة دائما" في صص أوعى تنسى
فمثلا" 8÷ 4 = 2 عدد موجب ÷ عدد موجب = عدد موجب
-15 ÷ 5 = -3 عدد موجب ÷ عدد سالب = عدد سالب
أما 5 ÷ 7 يي صص عدد سالب ÷ عدد موجب = عدد سالب
عدد سالب ÷ عدد سالب = عدد موجب
مثال 3
أوجد خارج القسمة فى الحالات الآتية
(1) 72 ÷ 9 (2) -72 ÷ 6
(3) 234 ÷ -3 (4) -36 ÷ -4
الحل :
(1) 72 ÷ 9 = 8 (2) -72 ÷ 6 = -12
(3) 234 ÷ -3 = - 78 (4) -36 ÷ -4 = 9
تمرين 3
(1) 468 ÷ -2 (2) 5 × س = 45
(3) 18÷ (3 ÷ 2 ) & (18 ÷ 3 ) ÷ 2 ماذا تلاحظ ؟
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 4
(1) أوجد ناتج ما يلي:
(أ) -131 × -3 (ب) 34 × -5
(ج) -9(-8) (د) –(-6) × -3
(و) -56 ÷ -2 (ر) $؛6*؛
(2) حدد عملية القسمة الممكنة في صص فيما يلي:
(أ) (-32) ÷ 8 (ب) 420 ÷ -15
(ج) 56 ÷ ( 3 + ( -3 ) ) (د) (4-4) ÷ 9
(3) استخدم خواص الضرب في ايجاد ما يأتي :
(أ) بح34 × 15 + 66 × 15
(ب) 69 × 101
(ت) 86 × 455 + 86 × 555
(ث) 434 × 1001
(ج) 57 × 499
(4) اذا كان س = 3 & ص = -1 & ع = -7
احسب قيمة كل من
(أ) 2س + ص –ع (ب) 3س ص – ع (ج) (س ÷ ص) × 3ع
(5) أوجد قيمة س اذا كان :
(أ) 8 × س = -48 (ب) س × 9 = 63
(ج) س × ( 5 × -13 ) = (-9 × 5 ) × -13
الضرب المتكرر
يقصد بالضرب المتكرر
تكرار ضرب العدد في نفسه عدد من المرات
فمثلا" 2 × 2 × 2 × 2 = 22$
بصفة عامه
اذا كان ا ي صص فان
ا × ا × ا × 00000000ن من المرات = ]نن
قاعدة هامة
(1) 2# 2 تسمى أساس & 3 تسمى أس
(2) فى حالة الضرب نجمع الأسس 2# × 2$ = 2 &
(3) في حالة القسمة نطرح الأسس 2& ÷ 2# = 2$
مثال 1
أوجد ناتج ما يلي
(أ) 5* × 5# (ب) 6$ × 6%
6*
الحل
(أ) 5* × 5# = 5% = 3125
(ب) 6$ × 6% 6)
6* = 6* = 6)-* = 6! =6
تذكر أن
اى عدد سالب مرفوع لأس زوجي يكون الناتج عدد موجب مثل -2 * =4
اى عدد سالب مرفوع لأس فردى يكون الناتج عدد سالب مثل -2 #= -8
اى عدد مرفوع لأس صفر = 1
مثال 2
اوجد ناتج ما يلي
(أ) -3 # × -3 * (ب) ( 2 # × - 2$ ) ÷ 2 %
الحل
(أ) -3 # × -3 * = -3 % = - 243
(ب) ( 2# × -2$ ) ÷ 2% = - ( 2 # × 2 $ ) ÷ 2%
- ( 2&) ÷ 2 % = - 2 * = 4
تمرين 1
أوجد ناتج ما يلي
(أ) 2 # × 2 # (ب) ( -3) * × 3 #
(ب) (-2) * × (-2 ) $ ÷ 2 ^
(ج) 5 # × 5 & ÷ 5 $ × 5 #
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 5
(1) اوجد ناتج ما يلي؛
(أ) (-7) * (ب) -5 * × 2*
(ج) (-2) # + (-3) $ (د) (-1) ((! + (-1) !(!
( ه ) (-5) # × (-1) % (و) -2 # ÷ -2*
(ر) ( -4% × -4# ) ÷ ( -4 )^
(2) رتب ما يلي ترتيبا" تصاعديا"
-2% ، -3* ، -4( ، -1%! ، 3 *
(3) رتب ما يلي ترتيبا" تنازليا:
10* ، -1 % ، 100* ، (-10)# ، 1000000
(4) اذا كان ا =2 ، ب =- 3 أوجد قيمة ما يلى :
(أ) 3 ا (ب) 2 ا + 3 ب ( ج ) ا + ب + ا ب
(5) ضع علامة ( ى ، آ ، = ) فيما يلي:
(أ) 4* 00000 8
(ب) (-6)* 00000 -12
(ج) 9* 00000 (-3) $
(د) 1 × 7 % 00000 1
7 %
الأنماط العددية
النمط العددي : هو تتابع من الأعداد وفقا لقاعدة معينة
مثال
مجموعة الأعداد الطبيعية (ط) تمثل تتابعا من الأعداد وفق قاعدة
( كل عدد يزيد على سابقه بمقدار الواحد)
ة 0 ،1 ،2 ،3 ، 4 ،5 ،000000000’
ومنها بغض المجموعات الجزئية مثل ( مجموعة الأعداد الفردية)
وصف النمط: يقصد به اكتشاف قاعدة النمط والتعبير عنها لفظيا
تدريب 1
اكتب عدد المثلثات أسفل كل شكل
عدد المثلثات 00000 000000 0000000
النمط العددي : 000000000000000000000000000000000
وصف النمط: 00000000000000000000000000000000000
باستخدام عدد القطع المستقيمة اكتب نمطا أخر و صفه ؟
تمارين 6
(1) أكمل الأنماط العددية التالية بكتابة ثلاث أعداد متتالية :
(أ) 6 ، 14 ، 22 ، 30 ، 38 ، 0000 ، 0000 ، 0000
(ب) !؛2 ، !؛4 ، !؛8 ، !؛6 ؛1 ، 0000، 000000 ، 000000
(ت) 2 ، 3 ،5 ، 8 ، 13 ، 0000 ، 0000 ، 00000
(ث) 1 ، 4 ، 9 ، 16 ،25 ، 0000 ، 0000 ،0000
(2) اكتشف النمط العددى واكتب العدد الناقص في كل حالة:
(أ) 4 ، 7 ، 000 ، 13 ، 16 ، 0000 ، 00000
(ب) 7 ، 000 ،15 ، 19 ، 23 ، 0000 ، 0000
(ت) 128 ، 84 ، 0000 ، 16 ، 8 ، 0000 ، 0000
(ث) 0000، 15 ، 12 ، 9 ، 0000 ، 00000
(3) تستصلح شركة اراضى بصحراء مصر 6 افدنة فى اليوم الواحد ، كم يوما يلزم الشركة لاستصلاح ما يقرب من 50 فدان ؟
اكتب النمط العددى المعير عن ذلك وصفه ؟
الوحدة الثانية:
المعادلات و المتباينات
المعادلة والمتباينة من الدرجة الأولى :
المعادلة : هي جملة رياضية تتضمن علاقة تساوى بين عبارتين رياضيتين
إذا المعادلة لها طرفان بينهما علاقة ( =) الطرف الايمن غالبا ما يحتوى على العبارة الرياضية مثل س + 3 = 6 والرمز (س) هنا يعبر عن المجهول
ملاحظة هامة:
ص - 7 لاتمثل معادلة لأنها لا تحتوى على علاقة ( =)
25 – 9 =16 لاتمثل معادلة لأنها لا تتضمن تساوى عبارتين رياضيتين
درجة المعادلة :
هى اكبر ( اس ) مرفوع لها المجهول ( الرمز ) بالمعادلة
مثل س + 5 = 9 من الدرجة الأولى &
س* + 3 = 6 من الدرجة الثانية وهكذا
المتباينة : هي جملة رياضية تتضمن علامة التباين بين عبارتين رياضيتين
مثل س + 3 ى 5
حل المعادلة أو المتباينة :
يقصد به التوصل لقيمة الرمز الموجود بالمعادلة أو المتباينة
ونستخدم لذلك مبدئيا مجموعة التعويض
مثال 1
باعتبار مجموعة التعويض ن = ة 0 ، 2 ، 3 ، 5 ’ اوجد مجموعة الحل لكل من
(أ) س + 7 = 10 (ب) س + 4 آ 8
الحل : أولا المعادلة س + 7 = 10
نستخدم مجموعة التعويض بالتعويض في الطرف الأيمن لتحديد العناصر التى تحقق المعادلة
عندما س = 0 يكون 0 + 7 = 7 لآ 10
عندما س = 2 يكون 2 + 7 =9 لآ 10
عندما س = 3 يكون 3 + 7 = 10
عندما س = 5 يكون 5 + 7 = 12
إذن مجموعة الحل = ة 3 ’
(ب) س + 4 آ 8
عندما س =0 يكون 0 + 4 آ 8
عندما س = 2 يكون 2 + 4 آ 8
عندما س = 3 يكون 3 + 4 آ 8
عندما س = 5 يكون 5 + 4 آ 8
إذا مجموعة الحل = ة 0 ، 2 ، 3 ’
تمرين2
باعتبار مجموعة التعويض ل = ة 2 ، 3 ، 4 ’
أوجد مجموعة الحل لكل من
(أ) س + 2 = 6 (ب) س + 2 آ 6
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000
تمارين 7
أوجد مجموعة الحل لكل من المعادلات والمتباينات التالية:
(1) س – 2 = 5 ، مجموعة التعويض ة 4، 5 ، 6 ، 7 ’
(2) س + 2 = 6 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 1 ، -2 ، 4 ’
( 3) س + 7 = 10 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2، 3 ، 4 ’
(4) 2س + 1 =16 ، مجموعة التعويض ة 7 ، 8 ، 9 ’
(5) 3س – 1 = 11 ، مجموعة التعويض ة 2 ، 3 ، 4 ، 5 ’
(6) 5س + 3 = 13 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2 ، 3 ’
(7) 4س – 3 = 9 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 2 ، 4 ، 6 ’
(8) س + 1 آ 4 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 1 ، -2 ، 4 ’
(9) س - 1 ى 1 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2، 3 ، 4 ’
(10) س + 3 آ 5 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2 ،3 ، -2’
(11) 3س – 1 ى -2 ، مجموعة التعويض ة -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ’
(12) - س + 1 آ 4 ، مجموعة التعويض ة -3 ، -2 ، 0 ، 2 ، 3 ’
حل المعادلات من الدرجة الأولى
فى مجهول واحد
ويقصد بحل المعادلة :
هو إيجاد قيمة المجهول ( الرمز ) الموجود في المعادلة
فى الدرس السابق تم الاستعانة بمجموعة التعويض
ولكن الآن سنستخدم خواص التساوي فى ط ، صص
خواص التساوي في ط ، صص
(1) خاصية الإضافة والحذف :
بمعنى عندما 4 + 5 = 9 إذا أضفنا واحد للطرفين لم نغير في المعادلة
4 + 5 + 1 = 9 + 1
كذلك اذا حذفنا من الطرفين واحد مثلا فلا نغير من المعادلة
مثال1
أوجد حل المعادلة س - 1 = 3 في صص
الحل : س – 1 = 3 باضافة + 1 للطرفين
س – 1+ 1 = 3 + 1
س = 4 اذن مجموعة الحل س = ة 4 ’ م 0 ح = ة 4’
مثال 2 أوجد مجموعة الحل للمعادلات الاتية :
(1) س + 2 = 5 (2) س + 4 = 2
(3) س – 5 = -3 (4) س + 1 =- 2
الحل :
(1) س + 2 = 5 س = 5 - 2 لاحظ ان ( +2) نقلت بعكس الإشارة
إذن س = 3 اذن م 0 ح = ة 3 ’
(2) س + 4 = 2 س = 2 – 4 س = -2
إذن م 0 ح = ة -2 ’
(3) س -5 = -3 س = -3 + 5 س = 2
م 0 ح = ة 2 ’
(4) س + 1 = -2 س = -2 -1 س = -3
م 0 ح = ة -3 ’
(2) خاصية الضرب والقسمة
اذا كان ا ، ب ، ج ثلاثة اعدد ي ط أ، صص وكان
ا = ب فان ا × ج = ب × ج ،
ا = ب فان ا÷ ج = ب ÷ ج
مثال3
أوجد حل المعادلة 2س = 10 فى صص
الحل : 2س = 10 بالقسمة على 2
2س ÷ 2 = 10 ÷ 2
س = 5 اذا م 0 ح = ة 5 ’
مثال4
أوجد حل المعادلة س = 3 في ط
4
الحل
س = 3 بالضرب × 4
4
س × 4 = 3 × 4
4
اذا س = 12
مثال5
أوجد مجموعة الحل فى صص
(1) س + 2 = 5 (2) س + 4 = 2 (3) س + 1 = -1
(4) س – 3 = 2 (5) س – 5 = -3 (6) س – 2 = -5
(1) س + 2 = 5
س = 5 – 2
س = 3
م 0 ح = ة 3 ’ (2) س + 4= 2
س = 2 – 00000
س = 00000
م 0 ح = ة00000 000000 0 0 0 0 0’ (3) س + 1 = -1
00000000000
00000000000
00000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000 0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000 0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
تمرين
(1) س + 4 = 5 ( 2 ) س – 5 = 3
(3) س - 6 = -2 (4) س + 5 = -2
(5) س – 4 = -4 (6) س + 3 = 6
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 000
00000000000000000000000000000000000000000000000000 0
مثال6
اوجد مجموعة الحل في صص
(1) 2س = 6 (2) -3س = 12 (3) 4س = -20
(4) 3س – 15 = 0 (5) 2س + 12 = 0 (6) 3س – 1 = 11
2س = 6
بالقسمة على 2 للطرفين
2س ÷ 2 = 6 ÷ 2
س = 3
م 0 ح = ة 3 ’ -3س = 12
بالقسمة على للطرفين
-3س ÷ = 12 ÷
س =
م 0 ح = ة ’ 4س = -20
000000000000
000000000000
000000000000
000000000000
3س – 15 = 0
3س = 15
بالقسمة على 3 للطرفين
3س ÷ 3 = 15 ÷ 3
س = 5
م0ح = ة 5 ’ 2س + 12 = 0
2س = 0000
بالقسمة على 00للطرفين
2س ÷ 00= 00 ÷ 00
س = 000
م0ح = ة ’ 3س – 1 = 11
3س = 11 + 1
3س = 12
بالقسمة على 3 للطرفين
3س ÷ 3 = 12 ÷ 3
س = 4
م0ح = ة 4 ’
مثال7
اوجد مجموعة الحل للمعادلة الآتية
3س – 2 = 5س + 8
الحل
3س – 2 = 5س + 8 3س – 5س = 8 + 2
-2س = 10 بالقسمة على -2 -2س ÷ -2 = 10÷ -2
س = -5 م0ح = ة -5 ’
تمارين 8
أوجد مجموعة الحل في ص
(1) س + 3 = 7 (2) س + 5 = 8 (3) س - 1 = 3 (4) س + 5 = 2
(5) س + 6 = 1 (6) س – 6 = -2
(7) س – 5 = -4 (8) س – 4 = 2 (9) س – 2 = 5 (10) 3س = -6
(11) 5س = -15 (12) 2س = -10
(13) 4س = 24 (14) 6س = -18
(15) 2س – 8 =0 (16) 3س -21 = 0
(17) 4س + 12 = 0 (18) 6س + 24 = 0
(19) 3س -7 = 2 (20) 2س -1 = 9
(21) 2س + 4 = 12 (22) 3س + 7 = 10
(23) 2س + 11 + 3س = 1 (24) 4س – 9 = س + 3
(25) 3س + 2 = س + 8 (26) 5س + 3 = 2س + 15
(27) س – 5 = 6س – 5 (28) س -1 = 4س + 11
تطبيقات على حل المعادلة من
الدرجة الأولى في صص
مثال1
(1) عدد صحيح اذا الى ضعفه 5 كان الناتج 17 أوجد العدد؟
(2) عدد صحيح اذا طرح من ضعفه 3 كان الناتج 11 أوجد العدد؟
الحل
(1) نفرض أن العدد س
(2) ،ضعف العدد2س
2س + 5 = 17
2س = 17 -5
2س = 12
بالقسمة على 2
إذا س = 6
إذا العدد هو 6 (3) نفرض أن العدد س،
(4) ضعف العدد 2س
2س – 3 = 11
2س = 11 + 3
2س = 14
بالقسمة على 2
إذا س = 7
إذا العدد هو 7
مثال 2
(1) عدد صحيح إذا أضيف إلى ثلاثة أمثاله 14 كان الناتج هو نفس العدد ، أوجد العدد ؟
(2) عدد صحيح إذا أضيف إليه 5 كان الناتج المعكوس الجمعي لنفس العدد مضافا اليه 21 أوجد العدد؟
الحل
(1) نفرض أن العدد س ،
(2) ثلاثة أمثاله = 3س
3س + 14 = س
3س – س = -14
2س = -14
بالقسمة على 2
إذا س = -7
العدد هو -7 نفرض أن العدد = س ،
س + 5 = - س + 21
س + س = 21 – 5
2س = 16
بالقسمة على 2
إذا س = 8
العدد هو 8
مثال3
(1) عددان صحيحان متتاليان مجموعهما 17 ، أوجد العددان ؟
(2) عددان أحدهما يزيد عن الآخر بمقدار 3 ومجموعهما 19 ، أوجد العددان ؟
الحل
(1) نفرض أن العدد الأول = س
والثاني = س + 1
اذا مجموعهما س + س + 1 = 17
2س + 1 = 17
2س = 17 – 1
2س = 16 بالقسمة على 2
س = 16 ÷ 2
س = 8
اذا الاول = 8 الثاني = 9 (2) نفرض الاول = س
والثاني = س + 3
مجموعهما س + س + 3 = 19
2س + 3 =19
2س = 19 = 3
2س = 16 بالقسمة علي 2
س = 16 ÷ 2
س = 8
اذا الاول = 8 الثاني = 11
مثال4
(1) ثلاثة أعداد صحيحة متتالية ومجموعهم 18 ، أوجد هذه الأعداد ؟
(2) ثلاثة أعداد صحيحة زوجية متتالية ومجموعهم 18، أوجد هذه الأعداد ؟
(1) نفرض الأول = س
الثاني س + 1
الثالث س + 2
إذا س + س + 1 + س + 2 = 18
3س + 3 = 18
3س = 18 – 3
3س = 15 بالقسمة ÷ 3
س = 15 ÷ 3
س = 5
الأول = 5 الثاني = 6 الثالث = 7 نفرض الأول = س
الثاني = 000000000
الثالث = 0000000000
000000000000000000
000000000000000000
000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
تمارين 9
(1) عدد صحيح إذا أضيف إلى ضعفه 4 كان الناتج 14، اوجد العدد ؟
(2) عدد صحيح إذا أضيف إلى ضعفه 3 كان الناتج 17 ، اوجد العدد؟
(3) عدد صحيح إذا أضيف إلي ضعفه 14 كان الناتج 48، اوجد العدد؟
(4) عدد صحيح إذا طرح من ضعفه 3 كان الناتج 9 ، اوجد العدد؟
(5)عدد صحيح إذا طرح من ضعفه 4 كان الناتج 10 ، اوجد العدد؟
(6)عدد صحيح إذا أضيف إلية 10 كان الناتج المعكوس الجمعي لنفس العدد ، أوجد العدد ؟
(7)عددان متتاليان مجموعهما 15 اوجد العددين ؟
(8) ثلاثة أعداد متتالية مجموعهم 27 أوجد هذه الأعداد ؟
(9) ثلاثة أعداد فردية متتالية مجموعهم 33 أوجد هذه الأعداد ؟
(10) ثلاثة أعداد زوجية متتالية مجموعهم 66 أوجد هذه الأعداد ؟
حل المتباينة من الدرجة الأولى
في مجهول واحد
خواص التباين في صص
(1) خاصية الإضافة و الحذف 0
(2) خاصية الضرب والقسمة
مثال 1 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
س + 1 آ 3 بإضافة ( -1 ) للطرفين س + 1 -1 آ 3 – 1
س آ 2 مجموعة الحل = ة 1 ، 0 ، -1 ، -2 ، 00000 ’
مثال2 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
س -2 جمس 1 بإضافة +2 للطرفين س – 2 + 2 جمس 1 + 2
س جمس 2 مجموعة الحل = ة 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 00000’
مثال3 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
2 س جمس 4 بالقسمة على 2 2س ÷ 2 جمس 4 ÷ 2
س جمس 2 مجموعة الحل = ة 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 00000000’
مثال4 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
2س + 1 ى 7 بإضافة -1 للطرفين 2س + 1 -1 ى 7 -1
2س ى 6 بالقسمة على 2 2 س ÷ 2 ى 6÷ 2
س ى 3 م 0 ح = ة 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 00000000’
ملاحظة مهمة جدا"
عند ضرب أو قسمة المتباينة في عدد سالب نغير علامة التباين من اكبر إلى
اصغر والعكس
مثال5 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
-5 س جمس 10 بالقسمة ÷ -5 -5 س ÷ -5 حمس 10 ÷ -5
س حمس -2 م 0 ح ة -2 ، -3 ،-4 ، -5 ، 00000000’
مثال6 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
-1 آ س – 3 حمس 4 بإضافة + 3 للطرفين
-1 +3 آ س -3 +3 حمس 4 + 3 2 آ س حمس 7
م 0 ح = ة 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ’
تمارين 10
أوجد مجموعة الحل في ص للمتبنيات الآتية :
{1} س + 1 آ 4 (2) س – 2 ى 1
(3) س – 2 حمس 3 (4) س + 7 جمس 10
(5) س + 3 حمس 5 (6) س – 5 ى -3
(7) 4س ى 12 (8) 2س آ 8
(9) 3س حمس -9 (10) 7س جمس -14
(11) 2س + 7 حمس 11 (12) 5س + 4 آ 19
(13) 3س – 5 حمس -11 (14) 4س + 5 آ 13
(15) -1 آ س + 2 آ 3 (16) 1 حمس 2س + 1 حمس 3
الوحدة الثالثة
الهندسة والقياس
المسافة بين نقطتين في مستوى الإحداثيات
(أ) المسافة بين نقطتين على شعاع :
لاحظ الشكل التالي
ج ب أ
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
النقاط أ & ب & ج تمثلها الاعداد 1 & 7 & 11
المسافة بين النقطتين أ & ب هى
طول أب = إحداثي نقطة النهاية – إحداثي نقطة البداية
= 7 – 1 = 6 سم
أكمل : ا ج = 00000 – 000000 = 000000 سم
ب ج = 0000 – 000000 = 0000000سم
(ب) المسافة بين نقطتين في مستو الإحداثيات فى ط صص
9
8
7
6
5
4
3
2
1
سس 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
حدد في المستوى النقط ا (3 ، 3 ) & ب (3 ، 7 ) & ج ( 7 ، 3 )
عند حساب المسافة بين النقطتين ا & ب مثلا
(5) نحدد القطعة المستقيمة الواصلة بينهما
(6) حدد هل هى توازي وس & وص
المسافة بين نقطتين مستوى الإحداثيات صص :
يتحدد موضع اى نقطة
بزوج مرتب ( س ، ص )
ولكي نحدد المسافة بين أي
نقطتين نستخدم نفس
الخطوات التي استخدمت في
المستوى الإحداثى ط
مثال
حدد موضع النقط الآتية
في مستوى الإحداثى صص
ا (0 ، 3 ) & ب ( -3 ، 0 )
ج ( 0 ، 0 )
ثم أوجد طول ا ب & ا ج & ب ج
ثم أذكر نوع المثلث
تمارين 11
(1) في مستوى الإحداثيات المقابل
ارسم الشكل ا ب ج د
حيث ا ( 3 ، 5 ) & ب ( 0 ، 1 )
ج (-3 ، 5 ) & د (0 ، 9 )
أكمل
طول ا ج = 000000000000
طول ب د = 0000000000000
ز
مساحة الشكل = 00000000 × 000000000000
(2)
على مستوى الإحداثيات المقابل
(أ) حدد موضع النقاط التالية
س ( -1 ، 1 )
ص ( 1 ، 1 ) & ع ( 1 ، 8 ) &
ل ( -1 ، 8 )
(ب) أوجد محيط ومساحة
الشكل س ص ع ل
(ج) حدد هل الشكل متماثل
ام لا ؟
التحويلات الهندسية : تحويل الانتقال
درسنا فيما سبق التحويلية الهندسية
وعلمنا أن
التحويلية الهندسية :
تحول كل نقطة ا في المستوى الى نقطة اَ في نفس المستوى
كما درسنا الانعكاس
الآن سوف ندرس الانتقال
لكى يتم الانتقال يجب معرفة شيئين
(أ) مقدار الانتقال (ب) اتجاه الانتقال
أولا انتقال نقطة في مستوى
(1) في مستوى الصفحة
مثال 0 ا
المطلوب إزاحة النقطة ا مسافة 5 سم في اتجاه م ن
م
ن
الحل
(1) ارسم من ا شعاعا يوازى م ن ليأخذ نفس الاتجاه
(2) عين علي ا ب النقطة اَ بحيث ا اَ = 5 سم
تمارين 12
مساحة الدائرة
مساحة الدائرة = ط نق* حيث ط قيمة ثابتة دائما
إما *؛7*؛ &
تمارين 13
قوانين هامة
المساحة الجانبية للمكعب = مساحة الوجه الواحد × 4
المساحة الكلية للمكعب = مساحة الوجه الواحد × 6
المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = محيط القاعدة × الارتفاع
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات =
مساحته الجانبية +مجموع مساحتي القاعدتين
مثال(4)
متوازي مستطيلات قاعدته على شكل مربع طول ضلعه 5 سم
وارتفاعه 7سم اوجد مساحته الكلية ؟
الحل :
المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = محيط القاعدة × الارتفاع
= ( 5 × 4 ) × 7 = 140 سم*
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبية + مساحتي القاعدتين
= 140 + 2 × ( 5 × 5 )
= 140 + 2 × 25 = 140 + 50 = 190 سم *
تمارين 14
الوحدة الرابعة
تمثيل البيانات بالقطاعات الدائرية:
تمارين 15
التجربة العشوائية
مثال 1
تمارين 16
الاحتمال
مثال1
أنواع الحدث واحتمالاته :
تمارين 17
مجموعة الأعداد الصحيحة
أولا الحاجة إلى مزيد من الأعداد :
درسنا فيما سبق العمليات على مجموعة الأعداد الطبيعية ( ط ) ومنها عملية الطرح
مثال1: اطرح 5-3 = 2 & أما 3-5 = غير ممكنة فى ط
وهناك أمثلة أخرى لا تصلح معها الأعداد الطبيعية مثل درجات الحرارة مثل درجة الحرارة
تحت الصفر فى بعض المدن0 ومن هما وجب علينا توسيع مجموعة الأعداد الطبيعية
فظهرت مجموعة الأعداد الصحيحة0
مما تتكون مجموعة العداد الصحيحة:
رمز مجموعة الاعداد الصحيحة (صص } وتتكون من
ة 000000 00 ، 5 ، 4 ، 3 ،2 ، 1 ، 0،-1،-2،-3،-4،-5، 0000000000’
صص + مجموعة الأعداد الصجيجة الموجبة ة5،4،3،2،1، 0000000000’
صص - مجموعة الأعداد الصجيجة السالبة ة -1،-2،-3،-4،-5، 000000000’
اذا صص =صص + حح ةالصفر ’ حح صص –
وتمثل على خط العداد كما يلى
ملحوظات هامة:
(1) الصفر ليس موجبا ولا سالبا
(2) -1 هو أكبر عدد صحيح سالب
(3) الواحد هو أصغر عدد صحيح موجب
(4) لا يوجد اكبر عدد صحيح موجب ولا اصغر عدد صحيح سالب
القيمة المطلقة للعدد الصحيح
هى المسافة بين موقع النقطة أ & ب وموقع الصفر على خط الأعداد- وهى دائما موجبة
ويرمز لها بالرمز ‘ أ ‘
مثلا ‘ 4‘= 4 & ‘ -4‘ = 4
مثال:
‘ -6 ‘ + ‘ 4 ‘ = 6+4 =10
تمرين 1
اكمل ما ياتى
(1) | 8| =000000000
(2) |-102 | = 00000
(3) - | - 45 | = 000000000
(4) | 91 | + | -11 | = 00000000
(5) | -34 | - | 23| = 0000000000
ماذا تُلاحظ !؟؟
) أدرس مجموعة الأزواج العددية التالية : (+5 ، ـ5) ، (ـ9 ، +9) ، (0 ، 0)
ما هو النظير الجمعي للعدد الصحيح الموجب (+5) ؟
ما هو النظير الجمعي للعدد الصحيح السالب (ـ9) ؟
ما هو النظير الجمعي للصفر ؟
ماذا تعلمنا ؟!
1. نظير الصفر هو الصفر .
2. نظير العدد الصحيح الموجب عدد صحيح سالب .
3. نظير العدد الصحيح السالب عدد صحيح موجب .
4. للعدد الصحيح ونظيره نفس المطلق ، بمعنى أن العدد الصحيح ونظيره يكونان على بعدين متساويين من النقطة التي تمثل الصفر على خط الأعداد .
تمارين 1
(1) مثل الاعداد الاتية على خط الاعداد
7، -5 ، -7 ، 2 ، 0 ، 1 ، -1 ، -9 ، 9
(2) اكتب معكوس كلا من الاعداد الاتية
124 ، 76 ، -46 ، 23 ، -56 ، 12
(3) أوجد قيمة س التي تجعل العبارة الآتية صحيحة :
(أ) -3 ي ة 1 ، -1 ، س ، 5 ’
(ب) س ي ة 3 ، 8 ،9 ’ ط ة -8 ، 9 ، -3 ’
(4) أكمل ما ياتى
(أ) نظير العدد -4 هو 000000000
(ب) نظير العدد 9 هو 000000000
(ج) نظير العدد | -7 |هو 000000000
(5) ضع علامة ( ض ) امام العبارة الصحيحة وعلامة (ضض ) امام العبارة الخاطئة0
(أ) الصفر ي صص – { }
)ب( صص + حح صص - =صص { }
(ج) صص + = ع ( )
( د) ة-7’ ي صص { }
نستخدم خط الأعداد في مقارنة الأعداد الصحيحة للتعرفِ على الأكبر والأصغر .
عرفت سابقاً أن الصفر على خط الأعداد يمثل نقطة مرجعية ، ولعلك لاحظت أن :
جميع الأعداد الصحيحة السالبة تقعُ على اليسارِ أو للأسفل من الصفرِ.
جميعَ الأعدادِ الصحيحة الموجبة تقعُ على اليمين أو للأعلى من الصفر .
1) الصفر أكبر من أيِّ عددٍ صحيح سالب .
2) والصفر أصغر من أيٍِّ عددٍ صحيح موجب .
3) أي عدد صحيح موجب أكبر من أي عدد صحيح سالب .
4) وأي عدد صحيح سالب أصغر من أي عدد صحيح موجب .
أولاً : أيهما أكبر +5 أم +2
لاحظ أن (+5) تقع على اليمين من +2 على خط الأعداد في وضع أفقي .
+5 أكبر من +2
لاحظ أن (+5) تقع فوق (أعلى من ) +2 على خط الأعداد في وضع رأسي .
\ +5 < +2
ثانياً : أيهما أكبر ـ3 أم ـ5
لاحظ أن ـ3 تقع على اليمين من ـ5 على خط الأعداد في وضع افقي .
ـ3 ـ5
لاحظ أنَّ ـ3 تقع فوق (أعلى من ) ـ5 على خط الأعداد في وضع رأسي .
ـ3 ـ5
الترتيب التصاعدي :
مثل1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ3 ، +4 ، 0 ، ـ5 ، +6
لاحظ أن ـ5 يقع أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليمين منه العدد ـ3 ثم الصفر ثم +4 وأخيراً +6 .
الأعداد المذكورة تأخذ الترتيب التصاعدي الآتي : ـ5 ، ـ3 ، 0 ، +4 ، +6
مثل 2 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +5 ، ـ4 ، 0 ، +2 ، ـ1
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تصاعدياً ، أي من الأصغر إلى الأكبر .
لاحظ أن العدد ـ4 يقع في الأسفل بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع رأسي ، يليه مباشرة وإلى الأعلى الأعداد ـ1 ثم أعلى منه الصفر ثمَ +2 واخيراً +5 .
الأعداد المذكورة تأخذ الترتيب التصاعدي الآتي :
ـ4 ، ـ1 ، 0 ، +2 ، + 5
الترتيب التنازلى :
مثل1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +2 ، +4 ، ـ1 ، ـ3 ، 0
لترتيب هذه الاعداد ترتيباً تنازليا ، أي من الأكبر إلى الأصغر :
العدد +4 يقع أقصى اليمين بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليسار العدد +2 ثم الصفر ثم ـ1 وأخيراً في أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد العدد ـ3 .
الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي 4 ، 2 ، 0 ، ـ1 ، ـ 3
-3 > -1 > 0 > +2 > +4
مثل 2 :
لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ4 ، +2 ، ـ 2 ، 0 ، +4
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تنازلياً ، أي من الأكبر إلى الأصغر .
العدد +4 يقع في الأعلى بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضعٍ رأسي ، يليه مباشرة إلى الأسفل منه العدد +2 ثم الصفر ثم ـ2 واخيراً يقع العدد ـ4 في الاسفل بالنسبة لباقي هذه الأعداد .
الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي :
+4 ، +2 ، 0 ، ـ2 ، ـ4
تمارين 2
( 1) رتب الأعداد الآتية ترتيبا تصاعديا :
( أ ) 7 ، -5 ، 9 ، 0 ، -1 ، -11 ، 10
( ب) 3 ،9 ،1 ، 7 ، 5 ، 12 ، 10
( ج ) -2 ، -6 ، 0 ، -1 ، -9 ، 1
(2 ) ضع علامة ( ى } او { آ} أو { = } فيما يلى :
( أ ) 2 5 (ب) -2 -6
(ج) | -3 | 3 (د) -12 -9
(ر) 3+ |-3| 8 (و) -|-6| 4
(3) اكتب العدد الصحيح السابق & والتالي لكل عدد صحيح فيما يلى:
(أ) -4 (ب) 14 (ج) -1 (د) صفر
(4) اكتب الأعداد الصحيحة المحصورة بين كل عددين صحيحين مما يلي:
(أ) -3 ، 3 (ب) -6 ، 1 (ج) -5 ، 0
(5) أكمل بنفس التسلسل:
(أ) -9 ، -8 ، -7 ، 000000000000
(ب) -3 ، 0 ، 3 ، 0000000000000
(ج) -60 ، -50 ، -40 ، 0000000000
جمع وطرح الأعداد الصحيحة
اولا جمع الاعداد الصحيحة:
عملية الجمع ممكنة دائما في صص
عند إجراء عملية الجمع نستخدم مبدأ المكسب والخسارة
بمعنى
(أ) 5+3 مكسب 5 + مكسب 3 = مكسب 8
وممكن إجراء هذه العملية باستخدام خط الأعداد كما يلى
1- نبدأ من الصفر ونتحرك يمينا خمس وحدات لتمثيل العدد ( 5 )
2- نبدأ من العدد ( 5) ونتحرك يمينا ثلاث وحدات لتمثيل العدد ( 3 )
3- نصل الى العدد ( 8 ) وهو ناتج الجمع
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن 5+3=8
(ب) اجمع ( -1) + ( -2 ) باستخدام خط الأعداد
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن ( -1) + ( -2 )= -3
( ج) اجمع 5 + ( -3 )
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن 5 + ( -3 ) = 2
ومن الأمثلة السابقة يتضح لنا القاعدة الآتية
عند جمع عددين كلاهما موجب يكون الناتج موجب
عند جمع عددين كلاهما سالب يكون الناتج سالب
عند جمع عددين احدهما سالب والأخر موجب يكون الناتج إما موجب اوسالب
حسب إشارة العدد الأكبر ونطرح
مثال 1
أوجد ناتج:
(1) 7+5 (2) 8 + (-5)
(3) 0 + (-3) (4) (-4) + ( -9)
الحل:
(1) 7+5=12 (2) 8+(-5)= 3
(3) 0 + (-3)= -3 (4) (-4) + (-9) =-13
تمرين 1
أوجد ناتج ما يلي:
(1) 6+8 ( 2) (-5) + 4
(3) 3 + (-4) (4) 8 + (-8)
(5) (-4) + (-1) (6) 12 + (-10)
الحل:
000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000
خواص عملية الجمع فيصص :
(1) خاصية الانغلاق
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان
ا + ب = ج ي صص
(2) خاصية الإبدال
إذا كان ا & ب عددين صحيحين
ا + ب = ب + ا
مثلا"
3 + 6 = 6 + 3 =9
( -4) + 9 = 9 + (-4) = 5
( 3) خاصية الدمج
إذا كان ا & ب & ج ثلاث أعداد صحيحة فان
{ ا + ب } + ج = ا + { ب + ج }
مثلا"
( -5 + 3 ) + 2 = -5 + ( 3 + 2 ) = 0
( 4 ) خاصية المحايد الجمعي
الصفر هو المحايد الجمعي في صص
إذا كان ا عددا" صحيحا" فان
ا + 0 = 0 + ا = ا
مثلا"
9 + 0 = 0 + 9 = 9
(5) خاصية المعكوس الجمعي
كل عدد صحيح موجب ا يقابله عدد صحيح سالب – ا بحيث إن
العدد + معكوس = صفر مثل 8 + ( -8 ) = صفر
مثال2:
استخدم خواص الجمع في إيجاد ناتج ما يلي
(1) 36 + 19 + 64 + 81
(2) 28 + 47 + 122 + 453
الحل:
(1) 36 + 19 + 64 + 81
36 + 64 + 19 + 81 ( خاصية الإبدال)
(36 + 64 ) + ( 19 + 81 ) ( خاصية الدمج)
100 + 100 = 200
(2) 28 + 47 + 122 + 453
28 + 122 + 47 + 453 ( إبدال )
( 28 + 122 ) + ( 47 + 453 ) ( دمج )
200 + 500 = 700
تمرين 2
استخدم خواص الجمع في إيجاد
(1) 427 + 145 + 273 + (- 45)
(2) 109 + ( - 38 ) + 491 + 538
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
ثانيا طرح الأعداد الصحيحة
نعلم مما سبق دراسته الطرح غير ممكن دائما" في ط
إنما الطرح في صص ممكن دائما"
مثل ( 9 – 5 ) ممكن كتابتها على الصورة 9 + ( -5)
مثال 3
أوجد ناتج ما يلي
(1) 9 - 7 & 7 – 9 ماذا تلاحظ ؟
(2) -7 - (5 -3 ) & ( -7 -5 ) -3 ماذا تلاحظ ؟
الحل
(1) 9 – 7 = 2 & 7 – 9 = -2
إذن 9 – 7 لآ 7 – 9 إذن عملية الطرح ليست ابداليه
(3) -7 – ( 5 – 3 ) = -7 – 2 = -9
( -7 – 5 ) -3 = -12 -3 = -15
إذن -7 – ( 5 – 3 ) لآ ( -7 – 5 ) -3
إذن عملية الطرح ليست دامجه
تمرين 3
أوجد ناتج ما يلي
(1) 9- 4 (2) 6 – 8
(3) -4 -7 (4) -7 + 2
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 3
(1) استخدم خط الأعداد لتمثيل عمليات الجمع والطرح التالية:
(أ) -5 -2 (ب) -8 + 9 (
( ج ) 6 – ( -1 )
(2) ضع الرمز المناسب ي ، يي خ ، خخ فيما يلي
(أ) -3 000 ط (ب) ة4’0000 صص
(ج) - | 6 | 000 صص (د) %؛7 صص
(و) ؛5 صص
(3) استخدم خواص عملية الجمع في إيجاد ناتج ما يلي
(أ) -120 + 17 + 131
(ب) 157 + 786 + 843 + 214
(ت) 2015 +180 + ( -1015 )
(ث) 2354 + 700 + (-54 )
(ج) 845 + 967 + 155 + 33
(4) أودع رامى بالبنك مبلغا" من المال قدره 7480 جنيها" ثم سحب منه مبلغا" قدره 1480 جنيها" ثم قام بإيداع مبلغ اخر قدره 3000 جنيها" ، كم رصيده بالبنك ؟
( 5) غواصة على عمق 90 مترا" تحت مستوى سطح البحر ، ارتفعت 60 مترا" 0 استخدم العملية الحسابية المناسبة لحساب العمق الجديد للغواصة ؟
ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة
أولا" ضرب الأعداد الصحيحة:
قاعدة الإشارات فى الضرب في صص
عدد موجب × عدد موجب = عدد موجب مثال 5× 3 = 15
عدد موجب × عدد سالب = عدد سالب مثال 6 × -3 = -18
عدد سالب × عدد موجب = عدد سالب مثال -4 × 8 = -32
عدد سالب × عدد سالب = عدد موجب مثال -5 × -9 = 45
مثال 1
أوجد ناتج كلا" مما يأتي
(أ) -7 × 3 ( ب) -6 × -9 (ج) 7 × - ( - 6 )
الحل
(أ) -7 × 3 = -21 (ب) -6 × -9 = 54
(ج) 7 × - ( -6 ) = 7 × 6 = 42
تمرين 1
أوجد ناتج ما يأتي
(1) -12 × 6 (2) -34 × -54
(3) 456 × 13 (4) 234× -5
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000
خواص عملية الضرب
(1) خاصية الانغلاق
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان ا× ب = ج ، ج ي صص
( 2) خاصية الإبدال
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان ا × ب = ب × ا
مثال 5× 6 = 30 & 6 × 5 = 30 أى 5 × 6 = 6 × 5
(3) خاصية الدمج
إذا كان ا & ب & ج أعداد صحيحة فان
ا × { ب × ج } = { ا × ب } × ج
مثال 3 × (5× 4) = 3 × 20 = 60
(3 × 5 ) × 4 = 15 × 4 = 60
اى 3 × (5× 4) = (3 × 5 ) × 4
(4) خاصية المحايد الضربى
الواحد هو المحايد الضربى فىصص
اذا كان ا ي صص فان ا × 1 = ا & 1 × ا = ا
مثال 8 × 1 = 8 & -9 × 1 = -9
(5) خاصية توزيع الضرب على الجمع
اذا كان ا & ب & ج اعداد صحيحة فان
ا × { ب + ج } = ا × ب + ا × ج
مثال 6 × ( 3 + 7 ) 6 × 3 + 6 × 7
= 6 × 10 = 18 + 42
= 60 = 60
اى 6 × ( 3 + 7 ) = 6 × 3 + 6 × 7
مثال 2
استخدم خواص الضرب في إيجاد ما يأتي :
(1) 7 × ( 8 + ( -7 ) )
(2) 112 × 17 + 112 × -17
(3) 123 × 1002
(4) 454 × 99
الحل :
(1) 7 × ( 8 + ( -7 )) = 7 × 8 + 7 × -7
= 56 + (-49 )
= 7
(2) 112 × 17 + 112 × -17
= 112 × ( 17 + ( -17 ) )
= 112 × صفر = صفر
(3) 123 × 1002
= 123 × ( 1000 + 2 )
= 123 × 1000 + 123 +× 2
= 123000 + 236 = 123236
(4) 454 × 99
= 454 × ( 100 – 1 )
=454 × 100 - 454 × 1
=45400 – 454 = 44946
تمرين 2
استخدم خواص الضرب في إيجاد ما يأتي :
(1) 213 × 23 + 213 × 177
(2) 346 × 99
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000
ثانيا" قسمة الاعداد الصحيحة
القسمة غير ممكنة دائما" في صص أوعى تنسى
فمثلا" 8÷ 4 = 2 عدد موجب ÷ عدد موجب = عدد موجب
-15 ÷ 5 = -3 عدد موجب ÷ عدد سالب = عدد سالب
أما 5 ÷ 7 يي صص عدد سالب ÷ عدد موجب = عدد سالب
عدد سالب ÷ عدد سالب = عدد موجب
مثال 3
أوجد خارج القسمة فى الحالات الآتية
(1) 72 ÷ 9 (2) -72 ÷ 6
(3) 234 ÷ -3 (4) -36 ÷ -4
الحل :
(1) 72 ÷ 9 = 8 (2) -72 ÷ 6 = -12
(3) 234 ÷ -3 = - 78 (4) -36 ÷ -4 = 9
تمرين 3
(1) 468 ÷ -2 (2) 5 × س = 45
(3) 18÷ (3 ÷ 2 ) & (18 ÷ 3 ) ÷ 2 ماذا تلاحظ ؟
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 4
(1) أوجد ناتج ما يلي:
(أ) -131 × -3 (ب) 34 × -5
(ج) -9(-8) (د) –(-6) × -3
(و) -56 ÷ -2 (ر) $؛6*؛
(2) حدد عملية القسمة الممكنة في صص فيما يلي:
(أ) (-32) ÷ 8 (ب) 420 ÷ -15
(ج) 56 ÷ ( 3 + ( -3 ) ) (د) (4-4) ÷ 9
(3) استخدم خواص الضرب في ايجاد ما يأتي :
(أ) بح34 × 15 + 66 × 15
(ب) 69 × 101
(ت) 86 × 455 + 86 × 555
(ث) 434 × 1001
(ج) 57 × 499
(4) اذا كان س = 3 & ص = -1 & ع = -7
احسب قيمة كل من
(أ) 2س + ص –ع (ب) 3س ص – ع (ج) (س ÷ ص) × 3ع
(5) أوجد قيمة س اذا كان :
(أ) 8 × س = -48 (ب) س × 9 = 63
(ج) س × ( 5 × -13 ) = (-9 × 5 ) × -13
الضرب المتكرر
يقصد بالضرب المتكرر
تكرار ضرب العدد في نفسه عدد من المرات
فمثلا" 2 × 2 × 2 × 2 = 22$
بصفة عامه
اذا كان ا ي صص فان
ا × ا × ا × 00000000ن من المرات = ]نن
قاعدة هامة
(1) 2# 2 تسمى أساس & 3 تسمى أس
(2) فى حالة الضرب نجمع الأسس 2# × 2$ = 2 &
(3) في حالة القسمة نطرح الأسس 2& ÷ 2# = 2$
مثال 1
أوجد ناتج ما يلي
(أ) 5* × 5# (ب) 6$ × 6%
6*
الحل
(أ) 5* × 5# = 5% = 3125
(ب) 6$ × 6% 6)
6* = 6* = 6)-* = 6! =6
تذكر أن
اى عدد سالب مرفوع لأس زوجي يكون الناتج عدد موجب مثل -2 * =4
اى عدد سالب مرفوع لأس فردى يكون الناتج عدد سالب مثل -2 #= -8
اى عدد مرفوع لأس صفر = 1
مثال 2
اوجد ناتج ما يلي
(أ) -3 # × -3 * (ب) ( 2 # × - 2$ ) ÷ 2 %
الحل
(أ) -3 # × -3 * = -3 % = - 243
(ب) ( 2# × -2$ ) ÷ 2% = - ( 2 # × 2 $ ) ÷ 2%
- ( 2&) ÷ 2 % = - 2 * = 4
تمرين 1
أوجد ناتج ما يلي
(أ) 2 # × 2 # (ب) ( -3) * × 3 #
(ب) (-2) * × (-2 ) $ ÷ 2 ^
(ج) 5 # × 5 & ÷ 5 $ × 5 #
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 5
(1) اوجد ناتج ما يلي؛
(أ) (-7) * (ب) -5 * × 2*
(ج) (-2) # + (-3) $ (د) (-1) ((! + (-1) !(!
( ه ) (-5) # × (-1) % (و) -2 # ÷ -2*
(ر) ( -4% × -4# ) ÷ ( -4 )^
(2) رتب ما يلي ترتيبا" تصاعديا"
-2% ، -3* ، -4( ، -1%! ، 3 *
(3) رتب ما يلي ترتيبا" تنازليا:
10* ، -1 % ، 100* ، (-10)# ، 1000000
(4) اذا كان ا =2 ، ب =- 3 أوجد قيمة ما يلى :
(أ) 3 ا (ب) 2 ا + 3 ب ( ج ) ا + ب + ا ب
(5) ضع علامة ( ى ، آ ، = ) فيما يلي:
(أ) 4* 00000 8
(ب) (-6)* 00000 -12
(ج) 9* 00000 (-3) $
(د) 1 × 7 % 00000 1
7 %
الأنماط العددية
النمط العددي : هو تتابع من الأعداد وفقا لقاعدة معينة
مثال
مجموعة الأعداد الطبيعية (ط) تمثل تتابعا من الأعداد وفق قاعدة
( كل عدد يزيد على سابقه بمقدار الواحد)
ة 0 ،1 ،2 ،3 ، 4 ،5 ،000000000’
ومنها بغض المجموعات الجزئية مثل ( مجموعة الأعداد الفردية)
وصف النمط: يقصد به اكتشاف قاعدة النمط والتعبير عنها لفظيا
تدريب 1
اكتب عدد المثلثات أسفل كل شكل
عدد المثلثات 00000 000000 0000000
النمط العددي : 000000000000000000000000000000000
وصف النمط: 00000000000000000000000000000000000
باستخدام عدد القطع المستقيمة اكتب نمطا أخر و صفه ؟
تمارين 6
(1) أكمل الأنماط العددية التالية بكتابة ثلاث أعداد متتالية :
(أ) 6 ، 14 ، 22 ، 30 ، 38 ، 0000 ، 0000 ، 0000
(ب) !؛2 ، !؛4 ، !؛8 ، !؛6 ؛1 ، 0000، 000000 ، 000000
(ت) 2 ، 3 ،5 ، 8 ، 13 ، 0000 ، 0000 ، 00000
(ث) 1 ، 4 ، 9 ، 16 ،25 ، 0000 ، 0000 ،0000
(2) اكتشف النمط العددى واكتب العدد الناقص في كل حالة:
(أ) 4 ، 7 ، 000 ، 13 ، 16 ، 0000 ، 00000
(ب) 7 ، 000 ،15 ، 19 ، 23 ، 0000 ، 0000
(ت) 128 ، 84 ، 0000 ، 16 ، 8 ، 0000 ، 0000
(ث) 0000، 15 ، 12 ، 9 ، 0000 ، 00000
(3) تستصلح شركة اراضى بصحراء مصر 6 افدنة فى اليوم الواحد ، كم يوما يلزم الشركة لاستصلاح ما يقرب من 50 فدان ؟
اكتب النمط العددى المعير عن ذلك وصفه ؟
الوحدة الثانية:
المعادلات و المتباينات
المعادلة والمتباينة من الدرجة الأولى :
المعادلة : هي جملة رياضية تتضمن علاقة تساوى بين عبارتين رياضيتين
إذا المعادلة لها طرفان بينهما علاقة ( =) الطرف الايمن غالبا ما يحتوى على العبارة الرياضية مثل س + 3 = 6 والرمز (س) هنا يعبر عن المجهول
ملاحظة هامة:
ص - 7 لاتمثل معادلة لأنها لا تحتوى على علاقة ( =)
25 – 9 =16 لاتمثل معادلة لأنها لا تتضمن تساوى عبارتين رياضيتين
درجة المعادلة :
هى اكبر ( اس ) مرفوع لها المجهول ( الرمز ) بالمعادلة
مثل س + 5 = 9 من الدرجة الأولى &
س* + 3 = 6 من الدرجة الثانية وهكذا
المتباينة : هي جملة رياضية تتضمن علامة التباين بين عبارتين رياضيتين
مثل س + 3 ى 5
حل المعادلة أو المتباينة :
يقصد به التوصل لقيمة الرمز الموجود بالمعادلة أو المتباينة
ونستخدم لذلك مبدئيا مجموعة التعويض
مثال 1
باعتبار مجموعة التعويض ن = ة 0 ، 2 ، 3 ، 5 ’ اوجد مجموعة الحل لكل من
(أ) س + 7 = 10 (ب) س + 4 آ 8
الحل : أولا المعادلة س + 7 = 10
نستخدم مجموعة التعويض بالتعويض في الطرف الأيمن لتحديد العناصر التى تحقق المعادلة
عندما س = 0 يكون 0 + 7 = 7 لآ 10
عندما س = 2 يكون 2 + 7 =9 لآ 10
عندما س = 3 يكون 3 + 7 = 10
عندما س = 5 يكون 5 + 7 = 12
إذن مجموعة الحل = ة 3 ’
(ب) س + 4 آ 8
عندما س =0 يكون 0 + 4 آ 8
عندما س = 2 يكون 2 + 4 آ 8
عندما س = 3 يكون 3 + 4 آ 8
عندما س = 5 يكون 5 + 4 آ 8
إذا مجموعة الحل = ة 0 ، 2 ، 3 ’
تمرين2
باعتبار مجموعة التعويض ل = ة 2 ، 3 ، 4 ’
أوجد مجموعة الحل لكل من
(أ) س + 2 = 6 (ب) س + 2 آ 6
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000
تمارين 7
أوجد مجموعة الحل لكل من المعادلات والمتباينات التالية:
(1) س – 2 = 5 ، مجموعة التعويض ة 4، 5 ، 6 ، 7 ’
(2) س + 2 = 6 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 1 ، -2 ، 4 ’
( 3) س + 7 = 10 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2، 3 ، 4 ’
(4) 2س + 1 =16 ، مجموعة التعويض ة 7 ، 8 ، 9 ’
(5) 3س – 1 = 11 ، مجموعة التعويض ة 2 ، 3 ، 4 ، 5 ’
(6) 5س + 3 = 13 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2 ، 3 ’
(7) 4س – 3 = 9 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 2 ، 4 ، 6 ’
(8) س + 1 آ 4 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 1 ، -2 ، 4 ’
(9) س - 1 ى 1 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2، 3 ، 4 ’
(10) س + 3 آ 5 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2 ،3 ، -2’
(11) 3س – 1 ى -2 ، مجموعة التعويض ة -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ’
(12) - س + 1 آ 4 ، مجموعة التعويض ة -3 ، -2 ، 0 ، 2 ، 3 ’
حل المعادلات من الدرجة الأولى
فى مجهول واحد
ويقصد بحل المعادلة :
هو إيجاد قيمة المجهول ( الرمز ) الموجود في المعادلة
فى الدرس السابق تم الاستعانة بمجموعة التعويض
ولكن الآن سنستخدم خواص التساوي فى ط ، صص
خواص التساوي في ط ، صص
(1) خاصية الإضافة والحذف :
بمعنى عندما 4 + 5 = 9 إذا أضفنا واحد للطرفين لم نغير في المعادلة
4 + 5 + 1 = 9 + 1
كذلك اذا حذفنا من الطرفين واحد مثلا فلا نغير من المعادلة
مثال1
أوجد حل المعادلة س - 1 = 3 في صص
الحل : س – 1 = 3 باضافة + 1 للطرفين
س – 1+ 1 = 3 + 1
س = 4 اذن مجموعة الحل س = ة 4 ’ م 0 ح = ة 4’
مثال 2 أوجد مجموعة الحل للمعادلات الاتية :
(1) س + 2 = 5 (2) س + 4 = 2
(3) س – 5 = -3 (4) س + 1 =- 2
الحل :
(1) س + 2 = 5 س = 5 - 2 لاحظ ان ( +2) نقلت بعكس الإشارة
إذن س = 3 اذن م 0 ح = ة 3 ’
(2) س + 4 = 2 س = 2 – 4 س = -2
إذن م 0 ح = ة -2 ’
(3) س -5 = -3 س = -3 + 5 س = 2
م 0 ح = ة 2 ’
(4) س + 1 = -2 س = -2 -1 س = -3
م 0 ح = ة -3 ’
(2) خاصية الضرب والقسمة
اذا كان ا ، ب ، ج ثلاثة اعدد ي ط أ، صص وكان
ا = ب فان ا × ج = ب × ج ،
ا = ب فان ا÷ ج = ب ÷ ج
مثال3
أوجد حل المعادلة 2س = 10 فى صص
الحل : 2س = 10 بالقسمة على 2
2س ÷ 2 = 10 ÷ 2
س = 5 اذا م 0 ح = ة 5 ’
مثال4
أوجد حل المعادلة س = 3 في ط
4
الحل
س = 3 بالضرب × 4
4
س × 4 = 3 × 4
4
اذا س = 12
مثال5
أوجد مجموعة الحل فى صص
(1) س + 2 = 5 (2) س + 4 = 2 (3) س + 1 = -1
(4) س – 3 = 2 (5) س – 5 = -3 (6) س – 2 = -5
(1) س + 2 = 5
س = 5 – 2
س = 3
م 0 ح = ة 3 ’ (2) س + 4= 2
س = 2 – 00000
س = 00000
م 0 ح = ة00000 000000 0 0 0 0 0’ (3) س + 1 = -1
00000000000
00000000000
00000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000 0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000 0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
تمرين
(1) س + 4 = 5 ( 2 ) س – 5 = 3
(3) س - 6 = -2 (4) س + 5 = -2
(5) س – 4 = -4 (6) س + 3 = 6
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 000
00000000000000000000000000000000000000000000000000 0
مثال6
اوجد مجموعة الحل في صص
(1) 2س = 6 (2) -3س = 12 (3) 4س = -20
(4) 3س – 15 = 0 (5) 2س + 12 = 0 (6) 3س – 1 = 11
2س = 6
بالقسمة على 2 للطرفين
2س ÷ 2 = 6 ÷ 2
س = 3
م 0 ح = ة 3 ’ -3س = 12
بالقسمة على للطرفين
-3س ÷ = 12 ÷
س =
م 0 ح = ة ’ 4س = -20
000000000000
000000000000
000000000000
000000000000
3س – 15 = 0
3س = 15
بالقسمة على 3 للطرفين
3س ÷ 3 = 15 ÷ 3
س = 5
م0ح = ة 5 ’ 2س + 12 = 0
2س = 0000
بالقسمة على 00للطرفين
2س ÷ 00= 00 ÷ 00
س = 000
م0ح = ة ’ 3س – 1 = 11
3س = 11 + 1
3س = 12
بالقسمة على 3 للطرفين
3س ÷ 3 = 12 ÷ 3
س = 4
م0ح = ة 4 ’
مثال7
اوجد مجموعة الحل للمعادلة الآتية
3س – 2 = 5س + 8
الحل
3س – 2 = 5س + 8 3س – 5س = 8 + 2
-2س = 10 بالقسمة على -2 -2س ÷ -2 = 10÷ -2
س = -5 م0ح = ة -5 ’
تمارين 8
أوجد مجموعة الحل في ص
(1) س + 3 = 7 (2) س + 5 = 8 (3) س - 1 = 3 (4) س + 5 = 2
(5) س + 6 = 1 (6) س – 6 = -2
(7) س – 5 = -4 (8) س – 4 = 2 (9) س – 2 = 5 (10) 3س = -6
(11) 5س = -15 (12) 2س = -10
(13) 4س = 24 (14) 6س = -18
(15) 2س – 8 =0 (16) 3س -21 = 0
(17) 4س + 12 = 0 (18) 6س + 24 = 0
(19) 3س -7 = 2 (20) 2س -1 = 9
(21) 2س + 4 = 12 (22) 3س + 7 = 10
(23) 2س + 11 + 3س = 1 (24) 4س – 9 = س + 3
(25) 3س + 2 = س + 8 (26) 5س + 3 = 2س + 15
(27) س – 5 = 6س – 5 (28) س -1 = 4س + 11
تطبيقات على حل المعادلة من
الدرجة الأولى في صص
مثال1
(1) عدد صحيح اذا الى ضعفه 5 كان الناتج 17 أوجد العدد؟
(2) عدد صحيح اذا طرح من ضعفه 3 كان الناتج 11 أوجد العدد؟
الحل
(1) نفرض أن العدد س
(2) ،ضعف العدد2س
2س + 5 = 17
2س = 17 -5
2س = 12
بالقسمة على 2
إذا س = 6
إذا العدد هو 6 (3) نفرض أن العدد س،
(4) ضعف العدد 2س
2س – 3 = 11
2س = 11 + 3
2س = 14
بالقسمة على 2
إذا س = 7
إذا العدد هو 7
مثال 2
(1) عدد صحيح إذا أضيف إلى ثلاثة أمثاله 14 كان الناتج هو نفس العدد ، أوجد العدد ؟
(2) عدد صحيح إذا أضيف إليه 5 كان الناتج المعكوس الجمعي لنفس العدد مضافا اليه 21 أوجد العدد؟
الحل
(1) نفرض أن العدد س ،
(2) ثلاثة أمثاله = 3س
3س + 14 = س
3س – س = -14
2س = -14
بالقسمة على 2
إذا س = -7
العدد هو -7 نفرض أن العدد = س ،
س + 5 = - س + 21
س + س = 21 – 5
2س = 16
بالقسمة على 2
إذا س = 8
العدد هو 8
مثال3
(1) عددان صحيحان متتاليان مجموعهما 17 ، أوجد العددان ؟
(2) عددان أحدهما يزيد عن الآخر بمقدار 3 ومجموعهما 19 ، أوجد العددان ؟
الحل
(1) نفرض أن العدد الأول = س
والثاني = س + 1
اذا مجموعهما س + س + 1 = 17
2س + 1 = 17
2س = 17 – 1
2س = 16 بالقسمة على 2
س = 16 ÷ 2
س = 8
اذا الاول = 8 الثاني = 9 (2) نفرض الاول = س
والثاني = س + 3
مجموعهما س + س + 3 = 19
2س + 3 =19
2س = 19 = 3
2س = 16 بالقسمة علي 2
س = 16 ÷ 2
س = 8
اذا الاول = 8 الثاني = 11
مثال4
(1) ثلاثة أعداد صحيحة متتالية ومجموعهم 18 ، أوجد هذه الأعداد ؟
(2) ثلاثة أعداد صحيحة زوجية متتالية ومجموعهم 18، أوجد هذه الأعداد ؟
(1) نفرض الأول = س
الثاني س + 1
الثالث س + 2
إذا س + س + 1 + س + 2 = 18
3س + 3 = 18
3س = 18 – 3
3س = 15 بالقسمة ÷ 3
س = 15 ÷ 3
س = 5
الأول = 5 الثاني = 6 الثالث = 7 نفرض الأول = س
الثاني = 000000000
الثالث = 0000000000
000000000000000000
000000000000000000
000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
تمارين 9
(1) عدد صحيح إذا أضيف إلى ضعفه 4 كان الناتج 14، اوجد العدد ؟
(2) عدد صحيح إذا أضيف إلى ضعفه 3 كان الناتج 17 ، اوجد العدد؟
(3) عدد صحيح إذا أضيف إلي ضعفه 14 كان الناتج 48، اوجد العدد؟
(4) عدد صحيح إذا طرح من ضعفه 3 كان الناتج 9 ، اوجد العدد؟
(5)عدد صحيح إذا طرح من ضعفه 4 كان الناتج 10 ، اوجد العدد؟
(6)عدد صحيح إذا أضيف إلية 10 كان الناتج المعكوس الجمعي لنفس العدد ، أوجد العدد ؟
(7)عددان متتاليان مجموعهما 15 اوجد العددين ؟
(8) ثلاثة أعداد متتالية مجموعهم 27 أوجد هذه الأعداد ؟
(9) ثلاثة أعداد فردية متتالية مجموعهم 33 أوجد هذه الأعداد ؟
(10) ثلاثة أعداد زوجية متتالية مجموعهم 66 أوجد هذه الأعداد ؟
حل المتباينة من الدرجة الأولى
في مجهول واحد
خواص التباين في صص
(1) خاصية الإضافة و الحذف 0
(2) خاصية الضرب والقسمة
مثال 1 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
س + 1 آ 3 بإضافة ( -1 ) للطرفين س + 1 -1 آ 3 – 1
س آ 2 مجموعة الحل = ة 1 ، 0 ، -1 ، -2 ، 00000 ’
مثال2 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
س -2 جمس 1 بإضافة +2 للطرفين س – 2 + 2 جمس 1 + 2
س جمس 2 مجموعة الحل = ة 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 00000’
مثال3 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
2 س جمس 4 بالقسمة على 2 2س ÷ 2 جمس 4 ÷ 2
س جمس 2 مجموعة الحل = ة 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 00000000’
مثال4 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
2س + 1 ى 7 بإضافة -1 للطرفين 2س + 1 -1 ى 7 -1
2س ى 6 بالقسمة على 2 2 س ÷ 2 ى 6÷ 2
س ى 3 م 0 ح = ة 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 00000000’
ملاحظة مهمة جدا"
عند ضرب أو قسمة المتباينة في عدد سالب نغير علامة التباين من اكبر إلى
اصغر والعكس
مثال5 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
-5 س جمس 10 بالقسمة ÷ -5 -5 س ÷ -5 حمس 10 ÷ -5
س حمس -2 م 0 ح ة -2 ، -3 ،-4 ، -5 ، 00000000’
مثال6 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
-1 آ س – 3 حمس 4 بإضافة + 3 للطرفين
-1 +3 آ س -3 +3 حمس 4 + 3 2 آ س حمس 7
م 0 ح = ة 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ’
تمارين 10
أوجد مجموعة الحل في ص للمتبنيات الآتية :
{1} س + 1 آ 4 (2) س – 2 ى 1
(3) س – 2 حمس 3 (4) س + 7 جمس 10
(5) س + 3 حمس 5 (6) س – 5 ى -3
(7) 4س ى 12 (8) 2س آ 8
(9) 3س حمس -9 (10) 7س جمس -14
(11) 2س + 7 حمس 11 (12) 5س + 4 آ 19
(13) 3س – 5 حمس -11 (14) 4س + 5 آ 13
(15) -1 آ س + 2 آ 3 (16) 1 حمس 2س + 1 حمس 3
الوحدة الثالثة
الهندسة والقياس
المسافة بين نقطتين في مستوى الإحداثيات
(أ) المسافة بين نقطتين على شعاع :
لاحظ الشكل التالي
ج ب أ
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
النقاط أ & ب & ج تمثلها الاعداد 1 & 7 & 11
المسافة بين النقطتين أ & ب هى
طول أب = إحداثي نقطة النهاية – إحداثي نقطة البداية
= 7 – 1 = 6 سم
أكمل : ا ج = 00000 – 000000 = 000000 سم
ب ج = 0000 – 000000 = 0000000سم
(ب) المسافة بين نقطتين في مستو الإحداثيات فى ط صص
9
8
7
6
5
4
3
2
1
سس 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
حدد في المستوى النقط ا (3 ، 3 ) & ب (3 ، 7 ) & ج ( 7 ، 3 )
عند حساب المسافة بين النقطتين ا & ب مثلا
(5) نحدد القطعة المستقيمة الواصلة بينهما
(6) حدد هل هى توازي وس & وص
المسافة بين نقطتين مستوى الإحداثيات صص :
يتحدد موضع اى نقطة
بزوج مرتب ( س ، ص )
ولكي نحدد المسافة بين أي
نقطتين نستخدم نفس
الخطوات التي استخدمت في
المستوى الإحداثى ط
مثال
حدد موضع النقط الآتية
في مستوى الإحداثى صص
ا (0 ، 3 ) & ب ( -3 ، 0 )
ج ( 0 ، 0 )
ثم أوجد طول ا ب & ا ج & ب ج
ثم أذكر نوع المثلث
تمارين 11
(1) في مستوى الإحداثيات المقابل
ارسم الشكل ا ب ج د
حيث ا ( 3 ، 5 ) & ب ( 0 ، 1 )
ج (-3 ، 5 ) & د (0 ، 9 )
أكمل
طول ا ج = 000000000000
طول ب د = 0000000000000
ز
مساحة الشكل = 00000000 × 000000000000
(2)
على مستوى الإحداثيات المقابل
(أ) حدد موضع النقاط التالية
س ( -1 ، 1 )
ص ( 1 ، 1 ) & ع ( 1 ، 8 ) &
ل ( -1 ، 8 )
(ب) أوجد محيط ومساحة
الشكل س ص ع ل
(ج) حدد هل الشكل متماثل
ام لا ؟
التحويلات الهندسية : تحويل الانتقال
درسنا فيما سبق التحويلية الهندسية
وعلمنا أن
التحويلية الهندسية :
تحول كل نقطة ا في المستوى الى نقطة اَ في نفس المستوى
كما درسنا الانعكاس
الآن سوف ندرس الانتقال
لكى يتم الانتقال يجب معرفة شيئين
(أ) مقدار الانتقال (ب) اتجاه الانتقال
أولا انتقال نقطة في مستوى
(1) في مستوى الصفحة
مثال 0 ا
المطلوب إزاحة النقطة ا مسافة 5 سم في اتجاه م ن
م
ن
الحل
(1) ارسم من ا شعاعا يوازى م ن ليأخذ نفس الاتجاه
(2) عين علي ا ب النقطة اَ بحيث ا اَ = 5 سم
تمارين 12
مساحة الدائرة
مساحة الدائرة = ط نق* حيث ط قيمة ثابتة دائما
إما *؛7*؛ &
تمارين 13
قوانين هامة
المساحة الجانبية للمكعب = مساحة الوجه الواحد × 4
المساحة الكلية للمكعب = مساحة الوجه الواحد × 6
المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = محيط القاعدة × الارتفاع
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات =
مساحته الجانبية +مجموع مساحتي القاعدتين
مثال(4)
متوازي مستطيلات قاعدته على شكل مربع طول ضلعه 5 سم
وارتفاعه 7سم اوجد مساحته الكلية ؟
الحل :
المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = محيط القاعدة × الارتفاع
= ( 5 × 4 ) × 7 = 140 سم*
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبية + مساحتي القاعدتين
= 140 + 2 × ( 5 × 5 )
= 140 + 2 × 25 = 140 + 50 = 190 سم *
تمارين 14
الوحدة الرابعة
تمثيل البيانات بالقطاعات الدائرية:
تمارين 15
التجربة العشوائية
مثال 1
تمارين 16
الاحتمال
مثال1
أنواع الحدث واحتمالاته :
تمارين 17
أولا الحاجة إلى مزيد من الأعداد :
درسنا فيما سبق العمليات على مجموعة الأعداد الطبيعية ( ط ) ومنها عملية الطرح
مثال1: اطرح 5-3 = 2 & أما 3-5 = غير ممكنة فى ط
وهناك أمثلة أخرى لا تصلح معها الأعداد الطبيعية مثل درجات الحرارة مثل درجة الحرارة
تحت الصفر فى بعض المدن0 ومن هما وجب علينا توسيع مجموعة الأعداد الطبيعية
فظهرت مجموعة الأعداد الصحيحة0
مما تتكون مجموعة العداد الصحيحة:
رمز مجموعة الاعداد الصحيحة (صص } وتتكون من
ة 000000 00 ، 5 ، 4 ، 3 ،2 ، 1 ، 0،-1،-2،-3،-4،-5، 0000000000’
صص + مجموعة الأعداد الصجيجة الموجبة ة5،4،3،2،1، 0000000000’
صص - مجموعة الأعداد الصجيجة السالبة ة -1،-2،-3،-4،-5، 000000000’
اذا صص =صص + حح ةالصفر ’ حح صص –
وتمثل على خط العداد كما يلى
ملحوظات هامة:
(1) الصفر ليس موجبا ولا سالبا
(2) -1 هو أكبر عدد صحيح سالب
(3) الواحد هو أصغر عدد صحيح موجب
(4) لا يوجد اكبر عدد صحيح موجب ولا اصغر عدد صحيح سالب
القيمة المطلقة للعدد الصحيح
هى المسافة بين موقع النقطة أ & ب وموقع الصفر على خط الأعداد- وهى دائما موجبة
ويرمز لها بالرمز ‘ أ ‘
مثلا ‘ 4‘= 4 & ‘ -4‘ = 4
مثال:
‘ -6 ‘ + ‘ 4 ‘ = 6+4 =10
تمرين 1
اكمل ما ياتى
(1) | 8| =000000000
(2) |-102 | = 00000
(3) - | - 45 | = 000000000
(4) | 91 | + | -11 | = 00000000
(5) | -34 | - | 23| = 0000000000
ماذا تُلاحظ !؟؟
) أدرس مجموعة الأزواج العددية التالية : (+5 ، ـ5) ، (ـ9 ، +9) ، (0 ، 0)
ما هو النظير الجمعي للعدد الصحيح الموجب (+5) ؟
ما هو النظير الجمعي للعدد الصحيح السالب (ـ9) ؟
ما هو النظير الجمعي للصفر ؟
ماذا تعلمنا ؟!
1. نظير الصفر هو الصفر .
2. نظير العدد الصحيح الموجب عدد صحيح سالب .
3. نظير العدد الصحيح السالب عدد صحيح موجب .
4. للعدد الصحيح ونظيره نفس المطلق ، بمعنى أن العدد الصحيح ونظيره يكونان على بعدين متساويين من النقطة التي تمثل الصفر على خط الأعداد .
تمارين 1
(1) مثل الاعداد الاتية على خط الاعداد
7، -5 ، -7 ، 2 ، 0 ، 1 ، -1 ، -9 ، 9
(2) اكتب معكوس كلا من الاعداد الاتية
124 ، 76 ، -46 ، 23 ، -56 ، 12
(3) أوجد قيمة س التي تجعل العبارة الآتية صحيحة :
(أ) -3 ي ة 1 ، -1 ، س ، 5 ’
(ب) س ي ة 3 ، 8 ،9 ’ ط ة -8 ، 9 ، -3 ’
(4) أكمل ما ياتى
(أ) نظير العدد -4 هو 000000000
(ب) نظير العدد 9 هو 000000000
(ج) نظير العدد | -7 |هو 000000000
(5) ضع علامة ( ض ) امام العبارة الصحيحة وعلامة (ضض ) امام العبارة الخاطئة0
(أ) الصفر ي صص – { }
)ب( صص + حح صص - =صص { }
(ج) صص + = ع ( )
( د) ة-7’ ي صص { }
نستخدم خط الأعداد في مقارنة الأعداد الصحيحة للتعرفِ على الأكبر والأصغر .
عرفت سابقاً أن الصفر على خط الأعداد يمثل نقطة مرجعية ، ولعلك لاحظت أن :
جميع الأعداد الصحيحة السالبة تقعُ على اليسارِ أو للأسفل من الصفرِ.
جميعَ الأعدادِ الصحيحة الموجبة تقعُ على اليمين أو للأعلى من الصفر .
1) الصفر أكبر من أيِّ عددٍ صحيح سالب .
2) والصفر أصغر من أيٍِّ عددٍ صحيح موجب .
3) أي عدد صحيح موجب أكبر من أي عدد صحيح سالب .
4) وأي عدد صحيح سالب أصغر من أي عدد صحيح موجب .
أولاً : أيهما أكبر +5 أم +2
لاحظ أن (+5) تقع على اليمين من +2 على خط الأعداد في وضع أفقي .
+5 أكبر من +2
لاحظ أن (+5) تقع فوق (أعلى من ) +2 على خط الأعداد في وضع رأسي .
\ +5 < +2
ثانياً : أيهما أكبر ـ3 أم ـ5
لاحظ أن ـ3 تقع على اليمين من ـ5 على خط الأعداد في وضع افقي .
ـ3 ـ5
لاحظ أنَّ ـ3 تقع فوق (أعلى من ) ـ5 على خط الأعداد في وضع رأسي .
ـ3 ـ5
الترتيب التصاعدي :
مثل1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ3 ، +4 ، 0 ، ـ5 ، +6
لاحظ أن ـ5 يقع أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليمين منه العدد ـ3 ثم الصفر ثم +4 وأخيراً +6 .
الأعداد المذكورة تأخذ الترتيب التصاعدي الآتي : ـ5 ، ـ3 ، 0 ، +4 ، +6
مثل 2 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +5 ، ـ4 ، 0 ، +2 ، ـ1
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تصاعدياً ، أي من الأصغر إلى الأكبر .
لاحظ أن العدد ـ4 يقع في الأسفل بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع رأسي ، يليه مباشرة وإلى الأعلى الأعداد ـ1 ثم أعلى منه الصفر ثمَ +2 واخيراً +5 .
الأعداد المذكورة تأخذ الترتيب التصاعدي الآتي :
ـ4 ، ـ1 ، 0 ، +2 ، + 5
الترتيب التنازلى :
مثل1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +2 ، +4 ، ـ1 ، ـ3 ، 0
لترتيب هذه الاعداد ترتيباً تنازليا ، أي من الأكبر إلى الأصغر :
العدد +4 يقع أقصى اليمين بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليسار العدد +2 ثم الصفر ثم ـ1 وأخيراً في أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد العدد ـ3 .
الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي 4 ، 2 ، 0 ، ـ1 ، ـ 3
-3 > -1 > 0 > +2 > +4
مثل 2 :
لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ4 ، +2 ، ـ 2 ، 0 ، +4
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تنازلياً ، أي من الأكبر إلى الأصغر .
العدد +4 يقع في الأعلى بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضعٍ رأسي ، يليه مباشرة إلى الأسفل منه العدد +2 ثم الصفر ثم ـ2 واخيراً يقع العدد ـ4 في الاسفل بالنسبة لباقي هذه الأعداد .
الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي :
+4 ، +2 ، 0 ، ـ2 ، ـ4
تمارين 2
( 1) رتب الأعداد الآتية ترتيبا تصاعديا :
( أ ) 7 ، -5 ، 9 ، 0 ، -1 ، -11 ، 10
( ب) 3 ،9 ،1 ، 7 ، 5 ، 12 ، 10
( ج ) -2 ، -6 ، 0 ، -1 ، -9 ، 1
(2 ) ضع علامة ( ى } او { آ} أو { = } فيما يلى :
( أ ) 2 5 (ب) -2 -6
(ج) | -3 | 3 (د) -12 -9
(ر) 3+ |-3| 8 (و) -|-6| 4
(3) اكتب العدد الصحيح السابق & والتالي لكل عدد صحيح فيما يلى:
(أ) -4 (ب) 14 (ج) -1 (د) صفر
(4) اكتب الأعداد الصحيحة المحصورة بين كل عددين صحيحين مما يلي:
(أ) -3 ، 3 (ب) -6 ، 1 (ج) -5 ، 0
(5) أكمل بنفس التسلسل:
(أ) -9 ، -8 ، -7 ، 000000000000
(ب) -3 ، 0 ، 3 ، 0000000000000
(ج) -60 ، -50 ، -40 ، 0000000000
جمع وطرح الأعداد الصحيحة
اولا جمع الاعداد الصحيحة:
عملية الجمع ممكنة دائما في صص
عند إجراء عملية الجمع نستخدم مبدأ المكسب والخسارة
بمعنى
(أ) 5+3 مكسب 5 + مكسب 3 = مكسب 8
وممكن إجراء هذه العملية باستخدام خط الأعداد كما يلى
1- نبدأ من الصفر ونتحرك يمينا خمس وحدات لتمثيل العدد ( 5 )
2- نبدأ من العدد ( 5) ونتحرك يمينا ثلاث وحدات لتمثيل العدد ( 3 )
3- نصل الى العدد ( 8 ) وهو ناتج الجمع
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن 5+3=8
(ب) اجمع ( -1) + ( -2 ) باستخدام خط الأعداد
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن ( -1) + ( -2 )= -3
( ج) اجمع 5 + ( -3 )
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن 5 + ( -3 ) = 2
ومن الأمثلة السابقة يتضح لنا القاعدة الآتية
عند جمع عددين كلاهما موجب يكون الناتج موجب
عند جمع عددين كلاهما سالب يكون الناتج سالب
عند جمع عددين احدهما سالب والأخر موجب يكون الناتج إما موجب اوسالب
حسب إشارة العدد الأكبر ونطرح
مثال 1
أوجد ناتج:
(1) 7+5 (2) 8 + (-5)
(3) 0 + (-3) (4) (-4) + ( -9)
الحل:
(1) 7+5=12 (2) 8+(-5)= 3
(3) 0 + (-3)= -3 (4) (-4) + (-9) =-13
تمرين 1
أوجد ناتج ما يلي:
(1) 6+8 ( 2) (-5) + 4
(3) 3 + (-4) (4) 8 + (-8)
(5) (-4) + (-1) (6) 12 + (-10)
الحل:
000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000
خواص عملية الجمع فيصص :
(1) خاصية الانغلاق
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان
ا + ب = ج ي صص
(2) خاصية الإبدال
إذا كان ا & ب عددين صحيحين
ا + ب = ب + ا
مثلا"
3 + 6 = 6 + 3 =9
( -4) + 9 = 9 + (-4) = 5
( 3) خاصية الدمج
إذا كان ا & ب & ج ثلاث أعداد صحيحة فان
{ ا + ب } + ج = ا + { ب + ج }
مثلا"
( -5 + 3 ) + 2 = -5 + ( 3 + 2 ) = 0
( 4 ) خاصية المحايد الجمعي
الصفر هو المحايد الجمعي في صص
إذا كان ا عددا" صحيحا" فان
ا + 0 = 0 + ا = ا
مثلا"
9 + 0 = 0 + 9 = 9
(5) خاصية المعكوس الجمعي
كل عدد صحيح موجب ا يقابله عدد صحيح سالب – ا بحيث إن
العدد + معكوس = صفر مثل 8 + ( -8 ) = صفر
مثال2:
استخدم خواص الجمع في إيجاد ناتج ما يلي
(1) 36 + 19 + 64 + 81
(2) 28 + 47 + 122 + 453
الحل:
(1) 36 + 19 + 64 + 81
36 + 64 + 19 + 81 ( خاصية الإبدال)
(36 + 64 ) + ( 19 + 81 ) ( خاصية الدمج)
100 + 100 = 200
(2) 28 + 47 + 122 + 453
28 + 122 + 47 + 453 ( إبدال )
( 28 + 122 ) + ( 47 + 453 ) ( دمج )
200 + 500 = 700
تمرين 2
استخدم خواص الجمع في إيجاد
(1) 427 + 145 + 273 + (- 45)
(2) 109 + ( - 38 ) + 491 + 538
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
ثانيا طرح الأعداد الصحيحة
نعلم مما سبق دراسته الطرح غير ممكن دائما" في ط
إنما الطرح في صص ممكن دائما"
مثل ( 9 – 5 ) ممكن كتابتها على الصورة 9 + ( -5)
مثال 3
أوجد ناتج ما يلي
(1) 9 - 7 & 7 – 9 ماذا تلاحظ ؟
(2) -7 - (5 -3 ) & ( -7 -5 ) -3 ماذا تلاحظ ؟
الحل
(1) 9 – 7 = 2 & 7 – 9 = -2
إذن 9 – 7 لآ 7 – 9 إذن عملية الطرح ليست ابداليه
(3) -7 – ( 5 – 3 ) = -7 – 2 = -9
( -7 – 5 ) -3 = -12 -3 = -15
إذن -7 – ( 5 – 3 ) لآ ( -7 – 5 ) -3
إذن عملية الطرح ليست دامجه
تمرين 3
أوجد ناتج ما يلي
(1) 9- 4 (2) 6 – 8
(3) -4 -7 (4) -7 + 2
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 3
(1) استخدم خط الأعداد لتمثيل عمليات الجمع والطرح التالية:
(أ) -5 -2 (ب) -8 + 9 (
( ج ) 6 – ( -1 )
(2) ضع الرمز المناسب ي ، يي خ ، خخ فيما يلي
(أ) -3 000 ط (ب) ة4’0000 صص
(ج) - | 6 | 000 صص (د) %؛7 صص
(و) ؛5 صص
(3) استخدم خواص عملية الجمع في إيجاد ناتج ما يلي
(أ) -120 + 17 + 131
(ب) 157 + 786 + 843 + 214
(ت) 2015 +180 + ( -1015 )
(ث) 2354 + 700 + (-54 )
(ج) 845 + 967 + 155 + 33
(4) أودع رامى بالبنك مبلغا" من المال قدره 7480 جنيها" ثم سحب منه مبلغا" قدره 1480 جنيها" ثم قام بإيداع مبلغ اخر قدره 3000 جنيها" ، كم رصيده بالبنك ؟
( 5) غواصة على عمق 90 مترا" تحت مستوى سطح البحر ، ارتفعت 60 مترا" 0 استخدم العملية الحسابية المناسبة لحساب العمق الجديد للغواصة ؟
ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة
أولا" ضرب الأعداد الصحيحة:
قاعدة الإشارات فى الضرب في صص
عدد موجب × عدد موجب = عدد موجب مثال 5× 3 = 15
عدد موجب × عدد سالب = عدد سالب مثال 6 × -3 = -18
عدد سالب × عدد موجب = عدد سالب مثال -4 × 8 = -32
عدد سالب × عدد سالب = عدد موجب مثال -5 × -9 = 45
مثال 1
أوجد ناتج كلا" مما يأتي
(أ) -7 × 3 ( ب) -6 × -9 (ج) 7 × - ( - 6 )
الحل
(أ) -7 × 3 = -21 (ب) -6 × -9 = 54
(ج) 7 × - ( -6 ) = 7 × 6 = 42
تمرين 1
أوجد ناتج ما يأتي
(1) -12 × 6 (2) -34 × -54
(3) 456 × 13 (4) 234× -5
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000
خواص عملية الضرب
(1) خاصية الانغلاق
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان ا× ب = ج ، ج ي صص
( 2) خاصية الإبدال
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان ا × ب = ب × ا
مثال 5× 6 = 30 & 6 × 5 = 30 أى 5 × 6 = 6 × 5
(3) خاصية الدمج
إذا كان ا & ب & ج أعداد صحيحة فان
ا × { ب × ج } = { ا × ب } × ج
مثال 3 × (5× 4) = 3 × 20 = 60
(3 × 5 ) × 4 = 15 × 4 = 60
اى 3 × (5× 4) = (3 × 5 ) × 4
(4) خاصية المحايد الضربى
الواحد هو المحايد الضربى فىصص
اذا كان ا ي صص فان ا × 1 = ا & 1 × ا = ا
مثال 8 × 1 = 8 & -9 × 1 = -9
(5) خاصية توزيع الضرب على الجمع
اذا كان ا & ب & ج اعداد صحيحة فان
ا × { ب + ج } = ا × ب + ا × ج
مثال 6 × ( 3 + 7 ) 6 × 3 + 6 × 7
= 6 × 10 = 18 + 42
= 60 = 60
اى 6 × ( 3 + 7 ) = 6 × 3 + 6 × 7
مثال 2
استخدم خواص الضرب في إيجاد ما يأتي :
(1) 7 × ( 8 + ( -7 ) )
(2) 112 × 17 + 112 × -17
(3) 123 × 1002
(4) 454 × 99
الحل :
(1) 7 × ( 8 + ( -7 )) = 7 × 8 + 7 × -7
= 56 + (-49 )
= 7
(2) 112 × 17 + 112 × -17
= 112 × ( 17 + ( -17 ) )
= 112 × صفر = صفر
(3) 123 × 1002
= 123 × ( 1000 + 2 )
= 123 × 1000 + 123 +× 2
= 123000 + 236 = 123236
(4) 454 × 99
= 454 × ( 100 – 1 )
=454 × 100 - 454 × 1
=45400 – 454 = 44946
تمرين 2
استخدم خواص الضرب في إيجاد ما يأتي :
(1) 213 × 23 + 213 × 177
(2) 346 × 99
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000
ثانيا" قسمة الاعداد الصحيحة
القسمة غير ممكنة دائما" في صص أوعى تنسى
فمثلا" 8÷ 4 = 2 عدد موجب ÷ عدد موجب = عدد موجب
-15 ÷ 5 = -3 عدد موجب ÷ عدد سالب = عدد سالب
أما 5 ÷ 7 يي صص عدد سالب ÷ عدد موجب = عدد سالب
عدد سالب ÷ عدد سالب = عدد موجب
مثال 3
أوجد خارج القسمة فى الحالات الآتية
(1) 72 ÷ 9 (2) -72 ÷ 6
(3) 234 ÷ -3 (4) -36 ÷ -4
الحل :
(1) 72 ÷ 9 = 8 (2) -72 ÷ 6 = -12
(3) 234 ÷ -3 = - 78 (4) -36 ÷ -4 = 9
تمرين 3
(1) 468 ÷ -2 (2) 5 × س = 45
(3) 18÷ (3 ÷ 2 ) & (18 ÷ 3 ) ÷ 2 ماذا تلاحظ ؟
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 4
(1) أوجد ناتج ما يلي:
(أ) -131 × -3 (ب) 34 × -5
(ج) -9(-8) (د) –(-6) × -3
(و) -56 ÷ -2 (ر) $؛6*؛
(2) حدد عملية القسمة الممكنة في صص فيما يلي:
(أ) (-32) ÷ 8 (ب) 420 ÷ -15
(ج) 56 ÷ ( 3 + ( -3 ) ) (د) (4-4) ÷ 9
(3) استخدم خواص الضرب في ايجاد ما يأتي :
(أ) بح34 × 15 + 66 × 15
(ب) 69 × 101
(ت) 86 × 455 + 86 × 555
(ث) 434 × 1001
(ج) 57 × 499
(4) اذا كان س = 3 & ص = -1 & ع = -7
احسب قيمة كل من
(أ) 2س + ص –ع (ب) 3س ص – ع (ج) (س ÷ ص) × 3ع
(5) أوجد قيمة س اذا كان :
(أ) 8 × س = -48 (ب) س × 9 = 63
(ج) س × ( 5 × -13 ) = (-9 × 5 ) × -13
الضرب المتكرر
يقصد بالضرب المتكرر
تكرار ضرب العدد في نفسه عدد من المرات
فمثلا" 2 × 2 × 2 × 2 = 22$
بصفة عامه
اذا كان ا ي صص فان
ا × ا × ا × 00000000ن من المرات = ]نن
قاعدة هامة
(1) 2# 2 تسمى أساس & 3 تسمى أس
(2) فى حالة الضرب نجمع الأسس 2# × 2$ = 2 &
(3) في حالة القسمة نطرح الأسس 2& ÷ 2# = 2$
مثال 1
أوجد ناتج ما يلي
(أ) 5* × 5# (ب) 6$ × 6%
6*
الحل
(أ) 5* × 5# = 5% = 3125
(ب) 6$ × 6% 6)
6* = 6* = 6)-* = 6! =6
تذكر أن
اى عدد سالب مرفوع لأس زوجي يكون الناتج عدد موجب مثل -2 * =4
اى عدد سالب مرفوع لأس فردى يكون الناتج عدد سالب مثل -2 #= -8
اى عدد مرفوع لأس صفر = 1
مثال 2
اوجد ناتج ما يلي
(أ) -3 # × -3 * (ب) ( 2 # × - 2$ ) ÷ 2 %
الحل
(أ) -3 # × -3 * = -3 % = - 243
(ب) ( 2# × -2$ ) ÷ 2% = - ( 2 # × 2 $ ) ÷ 2%
- ( 2&) ÷ 2 % = - 2 * = 4
تمرين 1
أوجد ناتج ما يلي
(أ) 2 # × 2 # (ب) ( -3) * × 3 #
(ب) (-2) * × (-2 ) $ ÷ 2 ^
(ج) 5 # × 5 & ÷ 5 $ × 5 #
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 5
(1) اوجد ناتج ما يلي؛
(أ) (-7) * (ب) -5 * × 2*
(ج) (-2) # + (-3) $ (د) (-1) ((! + (-1) !(!
( ه ) (-5) # × (-1) % (و) -2 # ÷ -2*
(ر) ( -4% × -4# ) ÷ ( -4 )^
(2) رتب ما يلي ترتيبا" تصاعديا"
-2% ، -3* ، -4( ، -1%! ، 3 *
(3) رتب ما يلي ترتيبا" تنازليا:
10* ، -1 % ، 100* ، (-10)# ، 1000000
(4) اذا كان ا =2 ، ب =- 3 أوجد قيمة ما يلى :
(أ) 3 ا (ب) 2 ا + 3 ب ( ج ) ا + ب + ا ب
(5) ضع علامة ( ى ، آ ، = ) فيما يلي:
(أ) 4* 00000 8
(ب) (-6)* 00000 -12
(ج) 9* 00000 (-3) $
(د) 1 × 7 % 00000 1
7 %
الأنماط العددية
النمط العددي : هو تتابع من الأعداد وفقا لقاعدة معينة
مثال
مجموعة الأعداد الطبيعية (ط) تمثل تتابعا من الأعداد وفق قاعدة
( كل عدد يزيد على سابقه بمقدار الواحد)
ة 0 ،1 ،2 ،3 ، 4 ،5 ،000000000’
ومنها بغض المجموعات الجزئية مثل ( مجموعة الأعداد الفردية)
وصف النمط: يقصد به اكتشاف قاعدة النمط والتعبير عنها لفظيا
تدريب 1
اكتب عدد المثلثات أسفل كل شكل
عدد المثلثات 00000 000000 0000000
النمط العددي : 000000000000000000000000000000000
وصف النمط: 00000000000000000000000000000000000
باستخدام عدد القطع المستقيمة اكتب نمطا أخر و صفه ؟
تمارين 6
(1) أكمل الأنماط العددية التالية بكتابة ثلاث أعداد متتالية :
(أ) 6 ، 14 ، 22 ، 30 ، 38 ، 0000 ، 0000 ، 0000
(ب) !؛2 ، !؛4 ، !؛8 ، !؛6 ؛1 ، 0000، 000000 ، 000000
(ت) 2 ، 3 ،5 ، 8 ، 13 ، 0000 ، 0000 ، 00000
(ث) 1 ، 4 ، 9 ، 16 ،25 ، 0000 ، 0000 ،0000
(2) اكتشف النمط العددى واكتب العدد الناقص في كل حالة:
(أ) 4 ، 7 ، 000 ، 13 ، 16 ، 0000 ، 00000
(ب) 7 ، 000 ،15 ، 19 ، 23 ، 0000 ، 0000
(ت) 128 ، 84 ، 0000 ، 16 ، 8 ، 0000 ، 0000
(ث) 0000، 15 ، 12 ، 9 ، 0000 ، 00000
(3) تستصلح شركة اراضى بصحراء مصر 6 افدنة فى اليوم الواحد ، كم يوما يلزم الشركة لاستصلاح ما يقرب من 50 فدان ؟
اكتب النمط العددى المعير عن ذلك وصفه ؟
الوحدة الثانية:
المعادلات و المتباينات
المعادلة والمتباينة من الدرجة الأولى :
المعادلة : هي جملة رياضية تتضمن علاقة تساوى بين عبارتين رياضيتين
إذا المعادلة لها طرفان بينهما علاقة ( =) الطرف الايمن غالبا ما يحتوى على العبارة الرياضية مثل س + 3 = 6 والرمز (س) هنا يعبر عن المجهول
ملاحظة هامة:
ص - 7 لاتمثل معادلة لأنها لا تحتوى على علاقة ( =)
25 – 9 =16 لاتمثل معادلة لأنها لا تتضمن تساوى عبارتين رياضيتين
درجة المعادلة :
هى اكبر ( اس ) مرفوع لها المجهول ( الرمز ) بالمعادلة
مثل س + 5 = 9 من الدرجة الأولى &
س* + 3 = 6 من الدرجة الثانية وهكذا
المتباينة : هي جملة رياضية تتضمن علامة التباين بين عبارتين رياضيتين
مثل س + 3 ى 5
حل المعادلة أو المتباينة :
يقصد به التوصل لقيمة الرمز الموجود بالمعادلة أو المتباينة
ونستخدم لذلك مبدئيا مجموعة التعويض
مثال 1
باعتبار مجموعة التعويض ن = ة 0 ، 2 ، 3 ، 5 ’ اوجد مجموعة الحل لكل من
(أ) س + 7 = 10 (ب) س + 4 آ 8
الحل : أولا المعادلة س + 7 = 10
نستخدم مجموعة التعويض بالتعويض في الطرف الأيمن لتحديد العناصر التى تحقق المعادلة
عندما س = 0 يكون 0 + 7 = 7 لآ 10
عندما س = 2 يكون 2 + 7 =9 لآ 10
عندما س = 3 يكون 3 + 7 = 10
عندما س = 5 يكون 5 + 7 = 12
إذن مجموعة الحل = ة 3 ’
(ب) س + 4 آ 8
عندما س =0 يكون 0 + 4 آ 8
عندما س = 2 يكون 2 + 4 آ 8
عندما س = 3 يكون 3 + 4 آ 8
عندما س = 5 يكون 5 + 4 آ 8
إذا مجموعة الحل = ة 0 ، 2 ، 3 ’
تمرين2
باعتبار مجموعة التعويض ل = ة 2 ، 3 ، 4 ’
أوجد مجموعة الحل لكل من
(أ) س + 2 = 6 (ب) س + 2 آ 6
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000
تمارين 7
أوجد مجموعة الحل لكل من المعادلات والمتباينات التالية:
(1) س – 2 = 5 ، مجموعة التعويض ة 4، 5 ، 6 ، 7 ’
(2) س + 2 = 6 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 1 ، -2 ، 4 ’
( 3) س + 7 = 10 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2، 3 ، 4 ’
(4) 2س + 1 =16 ، مجموعة التعويض ة 7 ، 8 ، 9 ’
(5) 3س – 1 = 11 ، مجموعة التعويض ة 2 ، 3 ، 4 ، 5 ’
(6) 5س + 3 = 13 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2 ، 3 ’
(7) 4س – 3 = 9 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 2 ، 4 ، 6 ’
(8) س + 1 آ 4 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 1 ، -2 ، 4 ’
(9) س - 1 ى 1 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2، 3 ، 4 ’
(10) س + 3 آ 5 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2 ،3 ، -2’
(11) 3س – 1 ى -2 ، مجموعة التعويض ة -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ’
(12) - س + 1 آ 4 ، مجموعة التعويض ة -3 ، -2 ، 0 ، 2 ، 3 ’
حل المعادلات من الدرجة الأولى
فى مجهول واحد
ويقصد بحل المعادلة :
هو إيجاد قيمة المجهول ( الرمز ) الموجود في المعادلة
فى الدرس السابق تم الاستعانة بمجموعة التعويض
ولكن الآن سنستخدم خواص التساوي فى ط ، صص
خواص التساوي في ط ، صص
(1) خاصية الإضافة والحذف :
بمعنى عندما 4 + 5 = 9 إذا أضفنا واحد للطرفين لم نغير في المعادلة
4 + 5 + 1 = 9 + 1
كذلك اذا حذفنا من الطرفين واحد مثلا فلا نغير من المعادلة
مثال1
أوجد حل المعادلة س - 1 = 3 في صص
الحل : س – 1 = 3 باضافة + 1 للطرفين
س – 1+ 1 = 3 + 1
س = 4 اذن مجموعة الحل س = ة 4 ’ م 0 ح = ة 4’
مثال 2 أوجد مجموعة الحل للمعادلات الاتية :
(1) س + 2 = 5 (2) س + 4 = 2
(3) س – 5 = -3 (4) س + 1 =- 2
الحل :
(1) س + 2 = 5 س = 5 - 2 لاحظ ان ( +2) نقلت بعكس الإشارة
إذن س = 3 اذن م 0 ح = ة 3 ’
(2) س + 4 = 2 س = 2 – 4 س = -2
إذن م 0 ح = ة -2 ’
(3) س -5 = -3 س = -3 + 5 س = 2
م 0 ح = ة 2 ’
(4) س + 1 = -2 س = -2 -1 س = -3
م 0 ح = ة -3 ’
(2) خاصية الضرب والقسمة
اذا كان ا ، ب ، ج ثلاثة اعدد ي ط أ، صص وكان
ا = ب فان ا × ج = ب × ج ،
ا = ب فان ا÷ ج = ب ÷ ج
مثال3
أوجد حل المعادلة 2س = 10 فى صص
الحل : 2س = 10 بالقسمة على 2
2س ÷ 2 = 10 ÷ 2
س = 5 اذا م 0 ح = ة 5 ’
مثال4
أوجد حل المعادلة س = 3 في ط
4
الحل
س = 3 بالضرب × 4
4
س × 4 = 3 × 4
4
اذا س = 12
مثال5
أوجد مجموعة الحل فى صص
(1) س + 2 = 5 (2) س + 4 = 2 (3) س + 1 = -1
(4) س – 3 = 2 (5) س – 5 = -3 (6) س – 2 = -5
(1) س + 2 = 5
س = 5 – 2
س = 3
م 0 ح = ة 3 ’ (2) س + 4= 2
س = 2 – 00000
س = 00000
م 0 ح = ة00000 000000 0 0 0 0 0’ (3) س + 1 = -1
00000000000
00000000000
00000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000 0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000 0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
تمرين
(1) س + 4 = 5 ( 2 ) س – 5 = 3
(3) س - 6 = -2 (4) س + 5 = -2
(5) س – 4 = -4 (6) س + 3 = 6
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 000
00000000000000000000000000000000000000000000000000 0
مثال6
اوجد مجموعة الحل في صص
(1) 2س = 6 (2) -3س = 12 (3) 4س = -20
(4) 3س – 15 = 0 (5) 2س + 12 = 0 (6) 3س – 1 = 11
2س = 6
بالقسمة على 2 للطرفين
2س ÷ 2 = 6 ÷ 2
س = 3
م 0 ح = ة 3 ’ -3س = 12
بالقسمة على للطرفين
-3س ÷ = 12 ÷
س =
م 0 ح = ة ’ 4س = -20
000000000000
000000000000
000000000000
000000000000
3س – 15 = 0
3س = 15
بالقسمة على 3 للطرفين
3س ÷ 3 = 15 ÷ 3
س = 5
م0ح = ة 5 ’ 2س + 12 = 0
2س = 0000
بالقسمة على 00للطرفين
2س ÷ 00= 00 ÷ 00
س = 000
م0ح = ة ’ 3س – 1 = 11
3س = 11 + 1
3س = 12
بالقسمة على 3 للطرفين
3س ÷ 3 = 12 ÷ 3
س = 4
م0ح = ة 4 ’
مثال7
اوجد مجموعة الحل للمعادلة الآتية
3س – 2 = 5س + 8
الحل
3س – 2 = 5س + 8 3س – 5س = 8 + 2
-2س = 10 بالقسمة على -2 -2س ÷ -2 = 10÷ -2
س = -5 م0ح = ة -5 ’
تمارين 8
أوجد مجموعة الحل في ص
(1) س + 3 = 7 (2) س + 5 = 8 (3) س - 1 = 3 (4) س + 5 = 2
(5) س + 6 = 1 (6) س – 6 = -2
(7) س – 5 = -4 (8) س – 4 = 2 (9) س – 2 = 5 (10) 3س = -6
(11) 5س = -15 (12) 2س = -10
(13) 4س = 24 (14) 6س = -18
(15) 2س – 8 =0 (16) 3س -21 = 0
(17) 4س + 12 = 0 (18) 6س + 24 = 0
(19) 3س -7 = 2 (20) 2س -1 = 9
(21) 2س + 4 = 12 (22) 3س + 7 = 10
(23) 2س + 11 + 3س = 1 (24) 4س – 9 = س + 3
(25) 3س + 2 = س + 8 (26) 5س + 3 = 2س + 15
(27) س – 5 = 6س – 5 (28) س -1 = 4س + 11
تطبيقات على حل المعادلة من
الدرجة الأولى في صص
مثال1
(1) عدد صحيح اذا الى ضعفه 5 كان الناتج 17 أوجد العدد؟
(2) عدد صحيح اذا طرح من ضعفه 3 كان الناتج 11 أوجد العدد؟
الحل
(1) نفرض أن العدد س
(2) ،ضعف العدد2س
2س + 5 = 17
2س = 17 -5
2س = 12
بالقسمة على 2
إذا س = 6
إذا العدد هو 6 (3) نفرض أن العدد س،
(4) ضعف العدد 2س
2س – 3 = 11
2س = 11 + 3
2س = 14
بالقسمة على 2
إذا س = 7
إذا العدد هو 7
مثال 2
(1) عدد صحيح إذا أضيف إلى ثلاثة أمثاله 14 كان الناتج هو نفس العدد ، أوجد العدد ؟
(2) عدد صحيح إذا أضيف إليه 5 كان الناتج المعكوس الجمعي لنفس العدد مضافا اليه 21 أوجد العدد؟
الحل
(1) نفرض أن العدد س ،
(2) ثلاثة أمثاله = 3س
3س + 14 = س
3س – س = -14
2س = -14
بالقسمة على 2
إذا س = -7
العدد هو -7 نفرض أن العدد = س ،
س + 5 = - س + 21
س + س = 21 – 5
2س = 16
بالقسمة على 2
إذا س = 8
العدد هو 8
مثال3
(1) عددان صحيحان متتاليان مجموعهما 17 ، أوجد العددان ؟
(2) عددان أحدهما يزيد عن الآخر بمقدار 3 ومجموعهما 19 ، أوجد العددان ؟
الحل
(1) نفرض أن العدد الأول = س
والثاني = س + 1
اذا مجموعهما س + س + 1 = 17
2س + 1 = 17
2س = 17 – 1
2س = 16 بالقسمة على 2
س = 16 ÷ 2
س = 8
اذا الاول = 8 الثاني = 9 (2) نفرض الاول = س
والثاني = س + 3
مجموعهما س + س + 3 = 19
2س + 3 =19
2س = 19 = 3
2س = 16 بالقسمة علي 2
س = 16 ÷ 2
س = 8
اذا الاول = 8 الثاني = 11
مثال4
(1) ثلاثة أعداد صحيحة متتالية ومجموعهم 18 ، أوجد هذه الأعداد ؟
(2) ثلاثة أعداد صحيحة زوجية متتالية ومجموعهم 18، أوجد هذه الأعداد ؟
(1) نفرض الأول = س
الثاني س + 1
الثالث س + 2
إذا س + س + 1 + س + 2 = 18
3س + 3 = 18
3س = 18 – 3
3س = 15 بالقسمة ÷ 3
س = 15 ÷ 3
س = 5
الأول = 5 الثاني = 6 الثالث = 7 نفرض الأول = س
الثاني = 000000000
الثالث = 0000000000
000000000000000000
000000000000000000
000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
تمارين 9
(1) عدد صحيح إذا أضيف إلى ضعفه 4 كان الناتج 14، اوجد العدد ؟
(2) عدد صحيح إذا أضيف إلى ضعفه 3 كان الناتج 17 ، اوجد العدد؟
(3) عدد صحيح إذا أضيف إلي ضعفه 14 كان الناتج 48، اوجد العدد؟
(4) عدد صحيح إذا طرح من ضعفه 3 كان الناتج 9 ، اوجد العدد؟
(5)عدد صحيح إذا طرح من ضعفه 4 كان الناتج 10 ، اوجد العدد؟
(6)عدد صحيح إذا أضيف إلية 10 كان الناتج المعكوس الجمعي لنفس العدد ، أوجد العدد ؟
(7)عددان متتاليان مجموعهما 15 اوجد العددين ؟
(8) ثلاثة أعداد متتالية مجموعهم 27 أوجد هذه الأعداد ؟
(9) ثلاثة أعداد فردية متتالية مجموعهم 33 أوجد هذه الأعداد ؟
(10) ثلاثة أعداد زوجية متتالية مجموعهم 66 أوجد هذه الأعداد ؟
حل المتباينة من الدرجة الأولى
في مجهول واحد
خواص التباين في صص
(1) خاصية الإضافة و الحذف 0
(2) خاصية الضرب والقسمة
مثال 1 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
س + 1 آ 3 بإضافة ( -1 ) للطرفين س + 1 -1 آ 3 – 1
س آ 2 مجموعة الحل = ة 1 ، 0 ، -1 ، -2 ، 00000 ’
مثال2 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
س -2 جمس 1 بإضافة +2 للطرفين س – 2 + 2 جمس 1 + 2
س جمس 2 مجموعة الحل = ة 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 00000’
مثال3 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
2 س جمس 4 بالقسمة على 2 2س ÷ 2 جمس 4 ÷ 2
س جمس 2 مجموعة الحل = ة 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 00000000’
مثال4 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
2س + 1 ى 7 بإضافة -1 للطرفين 2س + 1 -1 ى 7 -1
2س ى 6 بالقسمة على 2 2 س ÷ 2 ى 6÷ 2
س ى 3 م 0 ح = ة 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 00000000’
ملاحظة مهمة جدا"
عند ضرب أو قسمة المتباينة في عدد سالب نغير علامة التباين من اكبر إلى
اصغر والعكس
مثال5 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
-5 س جمس 10 بالقسمة ÷ -5 -5 س ÷ -5 حمس 10 ÷ -5
س حمس -2 م 0 ح ة -2 ، -3 ،-4 ، -5 ، 00000000’
مثال6 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
-1 آ س – 3 حمس 4 بإضافة + 3 للطرفين
-1 +3 آ س -3 +3 حمس 4 + 3 2 آ س حمس 7
م 0 ح = ة 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ’
تمارين 10
أوجد مجموعة الحل في ص للمتبنيات الآتية :
{1} س + 1 آ 4 (2) س – 2 ى 1
(3) س – 2 حمس 3 (4) س + 7 جمس 10
(5) س + 3 حمس 5 (6) س – 5 ى -3
(7) 4س ى 12 (8) 2س آ 8
(9) 3س حمس -9 (10) 7س جمس -14
(11) 2س + 7 حمس 11 (12) 5س + 4 آ 19
(13) 3س – 5 حمس -11 (14) 4س + 5 آ 13
(15) -1 آ س + 2 آ 3 (16) 1 حمس 2س + 1 حمس 3
الوحدة الثالثة
الهندسة والقياس
المسافة بين نقطتين في مستوى الإحداثيات
(أ) المسافة بين نقطتين على شعاع :
لاحظ الشكل التالي
ج ب أ
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
النقاط أ & ب & ج تمثلها الاعداد 1 & 7 & 11
المسافة بين النقطتين أ & ب هى
طول أب = إحداثي نقطة النهاية – إحداثي نقطة البداية
= 7 – 1 = 6 سم
أكمل : ا ج = 00000 – 000000 = 000000 سم
ب ج = 0000 – 000000 = 0000000سم
(ب) المسافة بين نقطتين في مستو الإحداثيات فى ط صص
9
8
7
6
5
4
3
2
1
سس 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
حدد في المستوى النقط ا (3 ، 3 ) & ب (3 ، 7 ) & ج ( 7 ، 3 )
عند حساب المسافة بين النقطتين ا & ب مثلا
(5) نحدد القطعة المستقيمة الواصلة بينهما
(6) حدد هل هى توازي وس & وص
المسافة بين نقطتين مستوى الإحداثيات صص :
يتحدد موضع اى نقطة
بزوج مرتب ( س ، ص )
ولكي نحدد المسافة بين أي
نقطتين نستخدم نفس
الخطوات التي استخدمت في
المستوى الإحداثى ط
مثال
حدد موضع النقط الآتية
في مستوى الإحداثى صص
ا (0 ، 3 ) & ب ( -3 ، 0 )
ج ( 0 ، 0 )
ثم أوجد طول ا ب & ا ج & ب ج
ثم أذكر نوع المثلث
تمارين 11
(1) في مستوى الإحداثيات المقابل
ارسم الشكل ا ب ج د
حيث ا ( 3 ، 5 ) & ب ( 0 ، 1 )
ج (-3 ، 5 ) & د (0 ، 9 )
أكمل
طول ا ج = 000000000000
طول ب د = 0000000000000
ز
مساحة الشكل = 00000000 × 000000000000
(2)
على مستوى الإحداثيات المقابل
(أ) حدد موضع النقاط التالية
س ( -1 ، 1 )
ص ( 1 ، 1 ) & ع ( 1 ، 8 ) &
ل ( -1 ، 8 )
(ب) أوجد محيط ومساحة
الشكل س ص ع ل
(ج) حدد هل الشكل متماثل
ام لا ؟
التحويلات الهندسية : تحويل الانتقال
درسنا فيما سبق التحويلية الهندسية
وعلمنا أن
التحويلية الهندسية :
تحول كل نقطة ا في المستوى الى نقطة اَ في نفس المستوى
كما درسنا الانعكاس
الآن سوف ندرس الانتقال
لكى يتم الانتقال يجب معرفة شيئين
(أ) مقدار الانتقال (ب) اتجاه الانتقال
أولا انتقال نقطة في مستوى
(1) في مستوى الصفحة
مثال 0 ا
المطلوب إزاحة النقطة ا مسافة 5 سم في اتجاه م ن
م
ن
الحل
(1) ارسم من ا شعاعا يوازى م ن ليأخذ نفس الاتجاه
(2) عين علي ا ب النقطة اَ بحيث ا اَ = 5 سم
تمارين 12
مساحة الدائرة
مساحة الدائرة = ط نق* حيث ط قيمة ثابتة دائما
إما *؛7*؛ &
تمارين 13
قوانين هامة
المساحة الجانبية للمكعب = مساحة الوجه الواحد × 4
المساحة الكلية للمكعب = مساحة الوجه الواحد × 6
المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = محيط القاعدة × الارتفاع
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات =
مساحته الجانبية +مجموع مساحتي القاعدتين
مثال(4)
متوازي مستطيلات قاعدته على شكل مربع طول ضلعه 5 سم
وارتفاعه 7سم اوجد مساحته الكلية ؟
الحل :
المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = محيط القاعدة × الارتفاع
= ( 5 × 4 ) × 7 = 140 سم*
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبية + مساحتي القاعدتين
= 140 + 2 × ( 5 × 5 )
= 140 + 2 × 25 = 140 + 50 = 190 سم *
تمارين 14
الوحدة الرابعة
تمثيل البيانات بالقطاعات الدائرية:
تمارين 15
التجربة العشوائية
مثال 1
تمارين 16
الاحتمال
مثال1
أنواع الحدث واحتمالاته :
تمارين 17
مجموعة الأعداد الصحيحة
أولا الحاجة إلى مزيد من الأعداد :
درسنا فيما سبق العمليات على مجموعة الأعداد الطبيعية ( ط ) ومنها عملية الطرح
مثال1: اطرح 5-3 = 2 & أما 3-5 = غير ممكنة فى ط
وهناك أمثلة أخرى لا تصلح معها الأعداد الطبيعية مثل درجات الحرارة مثل درجة الحرارة
تحت الصفر فى بعض المدن0 ومن هما وجب علينا توسيع مجموعة الأعداد الطبيعية
فظهرت مجموعة الأعداد الصحيحة0
مما تتكون مجموعة العداد الصحيحة:
رمز مجموعة الاعداد الصحيحة (صص } وتتكون من
ة 000000 00 ، 5 ، 4 ، 3 ،2 ، 1 ، 0،-1،-2،-3،-4،-5، 0000000000’
صص + مجموعة الأعداد الصجيجة الموجبة ة5،4،3،2،1، 0000000000’
صص - مجموعة الأعداد الصجيجة السالبة ة -1،-2،-3،-4،-5، 000000000’
اذا صص =صص + حح ةالصفر ’ حح صص –
وتمثل على خط العداد كما يلى
ملحوظات هامة:
(1) الصفر ليس موجبا ولا سالبا
(2) -1 هو أكبر عدد صحيح سالب
(3) الواحد هو أصغر عدد صحيح موجب
(4) لا يوجد اكبر عدد صحيح موجب ولا اصغر عدد صحيح سالب
القيمة المطلقة للعدد الصحيح
هى المسافة بين موقع النقطة أ & ب وموقع الصفر على خط الأعداد- وهى دائما موجبة
ويرمز لها بالرمز ‘ أ ‘
مثلا ‘ 4‘= 4 & ‘ -4‘ = 4
مثال:
‘ -6 ‘ + ‘ 4 ‘ = 6+4 =10
تمرين 1
اكمل ما ياتى
(1) | 8| =000000000
(2) |-102 | = 00000
(3) - | - 45 | = 000000000
(4) | 91 | + | -11 | = 00000000
(5) | -34 | - | 23| = 0000000000
ماذا تُلاحظ !؟؟
) أدرس مجموعة الأزواج العددية التالية : (+5 ، ـ5) ، (ـ9 ، +9) ، (0 ، 0)
ما هو النظير الجمعي للعدد الصحيح الموجب (+5) ؟
ما هو النظير الجمعي للعدد الصحيح السالب (ـ9) ؟
ما هو النظير الجمعي للصفر ؟
ماذا تعلمنا ؟!
1. نظير الصفر هو الصفر .
2. نظير العدد الصحيح الموجب عدد صحيح سالب .
3. نظير العدد الصحيح السالب عدد صحيح موجب .
4. للعدد الصحيح ونظيره نفس المطلق ، بمعنى أن العدد الصحيح ونظيره يكونان على بعدين متساويين من النقطة التي تمثل الصفر على خط الأعداد .
تمارين 1
(1) مثل الاعداد الاتية على خط الاعداد
7، -5 ، -7 ، 2 ، 0 ، 1 ، -1 ، -9 ، 9
(2) اكتب معكوس كلا من الاعداد الاتية
124 ، 76 ، -46 ، 23 ، -56 ، 12
(3) أوجد قيمة س التي تجعل العبارة الآتية صحيحة :
(أ) -3 ي ة 1 ، -1 ، س ، 5 ’
(ب) س ي ة 3 ، 8 ،9 ’ ط ة -8 ، 9 ، -3 ’
(4) أكمل ما ياتى
(أ) نظير العدد -4 هو 000000000
(ب) نظير العدد 9 هو 000000000
(ج) نظير العدد | -7 |هو 000000000
(5) ضع علامة ( ض ) امام العبارة الصحيحة وعلامة (ضض ) امام العبارة الخاطئة0
(أ) الصفر ي صص – { }
)ب( صص + حح صص - =صص { }
(ج) صص + = ع ( )
( د) ة-7’ ي صص { }
نستخدم خط الأعداد في مقارنة الأعداد الصحيحة للتعرفِ على الأكبر والأصغر .
عرفت سابقاً أن الصفر على خط الأعداد يمثل نقطة مرجعية ، ولعلك لاحظت أن :
جميع الأعداد الصحيحة السالبة تقعُ على اليسارِ أو للأسفل من الصفرِ.
جميعَ الأعدادِ الصحيحة الموجبة تقعُ على اليمين أو للأعلى من الصفر .
1) الصفر أكبر من أيِّ عددٍ صحيح سالب .
2) والصفر أصغر من أيٍِّ عددٍ صحيح موجب .
3) أي عدد صحيح موجب أكبر من أي عدد صحيح سالب .
4) وأي عدد صحيح سالب أصغر من أي عدد صحيح موجب .
أولاً : أيهما أكبر +5 أم +2
لاحظ أن (+5) تقع على اليمين من +2 على خط الأعداد في وضع أفقي .
+5 أكبر من +2
لاحظ أن (+5) تقع فوق (أعلى من ) +2 على خط الأعداد في وضع رأسي .
\ +5 < +2
ثانياً : أيهما أكبر ـ3 أم ـ5
لاحظ أن ـ3 تقع على اليمين من ـ5 على خط الأعداد في وضع افقي .
ـ3 ـ5
لاحظ أنَّ ـ3 تقع فوق (أعلى من ) ـ5 على خط الأعداد في وضع رأسي .
ـ3 ـ5
الترتيب التصاعدي :
مثل1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ3 ، +4 ، 0 ، ـ5 ، +6
لاحظ أن ـ5 يقع أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليمين منه العدد ـ3 ثم الصفر ثم +4 وأخيراً +6 .
الأعداد المذكورة تأخذ الترتيب التصاعدي الآتي : ـ5 ، ـ3 ، 0 ، +4 ، +6
مثل 2 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +5 ، ـ4 ، 0 ، +2 ، ـ1
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تصاعدياً ، أي من الأصغر إلى الأكبر .
لاحظ أن العدد ـ4 يقع في الأسفل بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع رأسي ، يليه مباشرة وإلى الأعلى الأعداد ـ1 ثم أعلى منه الصفر ثمَ +2 واخيراً +5 .
الأعداد المذكورة تأخذ الترتيب التصاعدي الآتي :
ـ4 ، ـ1 ، 0 ، +2 ، + 5
الترتيب التنازلى :
مثل1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +2 ، +4 ، ـ1 ، ـ3 ، 0
لترتيب هذه الاعداد ترتيباً تنازليا ، أي من الأكبر إلى الأصغر :
العدد +4 يقع أقصى اليمين بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليسار العدد +2 ثم الصفر ثم ـ1 وأخيراً في أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد العدد ـ3 .
الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي 4 ، 2 ، 0 ، ـ1 ، ـ 3
-3 > -1 > 0 > +2 > +4
مثل 2 :
لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ4 ، +2 ، ـ 2 ، 0 ، +4
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تنازلياً ، أي من الأكبر إلى الأصغر .
العدد +4 يقع في الأعلى بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضعٍ رأسي ، يليه مباشرة إلى الأسفل منه العدد +2 ثم الصفر ثم ـ2 واخيراً يقع العدد ـ4 في الاسفل بالنسبة لباقي هذه الأعداد .
الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي :
+4 ، +2 ، 0 ، ـ2 ، ـ4
تمارين 2
( 1) رتب الأعداد الآتية ترتيبا تصاعديا :
( أ ) 7 ، -5 ، 9 ، 0 ، -1 ، -11 ، 10
( ب) 3 ،9 ،1 ، 7 ، 5 ، 12 ، 10
( ج ) -2 ، -6 ، 0 ، -1 ، -9 ، 1
(2 ) ضع علامة ( ى } او { آ} أو { = } فيما يلى :
( أ ) 2 5 (ب) -2 -6
(ج) | -3 | 3 (د) -12 -9
(ر) 3+ |-3| 8 (و) -|-6| 4
(3) اكتب العدد الصحيح السابق & والتالي لكل عدد صحيح فيما يلى:
(أ) -4 (ب) 14 (ج) -1 (د) صفر
(4) اكتب الأعداد الصحيحة المحصورة بين كل عددين صحيحين مما يلي:
(أ) -3 ، 3 (ب) -6 ، 1 (ج) -5 ، 0
(5) أكمل بنفس التسلسل:
(أ) -9 ، -8 ، -7 ، 000000000000
(ب) -3 ، 0 ، 3 ، 0000000000000
(ج) -60 ، -50 ، -40 ، 0000000000
جمع وطرح الأعداد الصحيحة
اولا جمع الاعداد الصحيحة:
عملية الجمع ممكنة دائما في صص
عند إجراء عملية الجمع نستخدم مبدأ المكسب والخسارة
بمعنى
(أ) 5+3 مكسب 5 + مكسب 3 = مكسب 8
وممكن إجراء هذه العملية باستخدام خط الأعداد كما يلى
1- نبدأ من الصفر ونتحرك يمينا خمس وحدات لتمثيل العدد ( 5 )
2- نبدأ من العدد ( 5) ونتحرك يمينا ثلاث وحدات لتمثيل العدد ( 3 )
3- نصل الى العدد ( 8 ) وهو ناتج الجمع
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن 5+3=8
(ب) اجمع ( -1) + ( -2 ) باستخدام خط الأعداد
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن ( -1) + ( -2 )= -3
( ج) اجمع 5 + ( -3 )
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن 5 + ( -3 ) = 2
ومن الأمثلة السابقة يتضح لنا القاعدة الآتية
عند جمع عددين كلاهما موجب يكون الناتج موجب
عند جمع عددين كلاهما سالب يكون الناتج سالب
عند جمع عددين احدهما سالب والأخر موجب يكون الناتج إما موجب اوسالب
حسب إشارة العدد الأكبر ونطرح
مثال 1
أوجد ناتج:
(1) 7+5 (2) 8 + (-5)
(3) 0 + (-3) (4) (-4) + ( -9)
الحل:
(1) 7+5=12 (2) 8+(-5)= 3
(3) 0 + (-3)= -3 (4) (-4) + (-9) =-13
تمرين 1
أوجد ناتج ما يلي:
(1) 6+8 ( 2) (-5) + 4
(3) 3 + (-4) (4) 8 + (-8)
(5) (-4) + (-1) (6) 12 + (-10)
الحل:
000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000
خواص عملية الجمع فيصص :
(1) خاصية الانغلاق
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان
ا + ب = ج ي صص
(2) خاصية الإبدال
إذا كان ا & ب عددين صحيحين
ا + ب = ب + ا
مثلا"
3 + 6 = 6 + 3 =9
( -4) + 9 = 9 + (-4) = 5
( 3) خاصية الدمج
إذا كان ا & ب & ج ثلاث أعداد صحيحة فان
{ ا + ب } + ج = ا + { ب + ج }
مثلا"
( -5 + 3 ) + 2 = -5 + ( 3 + 2 ) = 0
( 4 ) خاصية المحايد الجمعي
الصفر هو المحايد الجمعي في صص
إذا كان ا عددا" صحيحا" فان
ا + 0 = 0 + ا = ا
مثلا"
9 + 0 = 0 + 9 = 9
(5) خاصية المعكوس الجمعي
كل عدد صحيح موجب ا يقابله عدد صحيح سالب – ا بحيث إن
العدد + معكوس = صفر مثل 8 + ( -8 ) = صفر
مثال2:
استخدم خواص الجمع في إيجاد ناتج ما يلي
(1) 36 + 19 + 64 + 81
(2) 28 + 47 + 122 + 453
الحل:
(1) 36 + 19 + 64 + 81
36 + 64 + 19 + 81 ( خاصية الإبدال)
(36 + 64 ) + ( 19 + 81 ) ( خاصية الدمج)
100 + 100 = 200
(2) 28 + 47 + 122 + 453
28 + 122 + 47 + 453 ( إبدال )
( 28 + 122 ) + ( 47 + 453 ) ( دمج )
200 + 500 = 700
تمرين 2
استخدم خواص الجمع في إيجاد
(1) 427 + 145 + 273 + (- 45)
(2) 109 + ( - 38 ) + 491 + 538
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
ثانيا طرح الأعداد الصحيحة
نعلم مما سبق دراسته الطرح غير ممكن دائما" في ط
إنما الطرح في صص ممكن دائما"
مثل ( 9 – 5 ) ممكن كتابتها على الصورة 9 + ( -5)
مثال 3
أوجد ناتج ما يلي
(1) 9 - 7 & 7 – 9 ماذا تلاحظ ؟
(2) -7 - (5 -3 ) & ( -7 -5 ) -3 ماذا تلاحظ ؟
الحل
(1) 9 – 7 = 2 & 7 – 9 = -2
إذن 9 – 7 لآ 7 – 9 إذن عملية الطرح ليست ابداليه
(3) -7 – ( 5 – 3 ) = -7 – 2 = -9
( -7 – 5 ) -3 = -12 -3 = -15
إذن -7 – ( 5 – 3 ) لآ ( -7 – 5 ) -3
إذن عملية الطرح ليست دامجه
تمرين 3
أوجد ناتج ما يلي
(1) 9- 4 (2) 6 – 8
(3) -4 -7 (4) -7 + 2
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 3
(1) استخدم خط الأعداد لتمثيل عمليات الجمع والطرح التالية:
(أ) -5 -2 (ب) -8 + 9 (
( ج ) 6 – ( -1 )
(2) ضع الرمز المناسب ي ، يي خ ، خخ فيما يلي
(أ) -3 000 ط (ب) ة4’0000 صص
(ج) - | 6 | 000 صص (د) %؛7 صص
(و) ؛5 صص
(3) استخدم خواص عملية الجمع في إيجاد ناتج ما يلي
(أ) -120 + 17 + 131
(ب) 157 + 786 + 843 + 214
(ت) 2015 +180 + ( -1015 )
(ث) 2354 + 700 + (-54 )
(ج) 845 + 967 + 155 + 33
(4) أودع رامى بالبنك مبلغا" من المال قدره 7480 جنيها" ثم سحب منه مبلغا" قدره 1480 جنيها" ثم قام بإيداع مبلغ اخر قدره 3000 جنيها" ، كم رصيده بالبنك ؟
( 5) غواصة على عمق 90 مترا" تحت مستوى سطح البحر ، ارتفعت 60 مترا" 0 استخدم العملية الحسابية المناسبة لحساب العمق الجديد للغواصة ؟
ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة
أولا" ضرب الأعداد الصحيحة:
قاعدة الإشارات فى الضرب في صص
عدد موجب × عدد موجب = عدد موجب مثال 5× 3 = 15
عدد موجب × عدد سالب = عدد سالب مثال 6 × -3 = -18
عدد سالب × عدد موجب = عدد سالب مثال -4 × 8 = -32
عدد سالب × عدد سالب = عدد موجب مثال -5 × -9 = 45
مثال 1
أوجد ناتج كلا" مما يأتي
(أ) -7 × 3 ( ب) -6 × -9 (ج) 7 × - ( - 6 )
الحل
(أ) -7 × 3 = -21 (ب) -6 × -9 = 54
(ج) 7 × - ( -6 ) = 7 × 6 = 42
تمرين 1
أوجد ناتج ما يأتي
(1) -12 × 6 (2) -34 × -54
(3) 456 × 13 (4) 234× -5
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000
خواص عملية الضرب
(1) خاصية الانغلاق
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان ا× ب = ج ، ج ي صص
( 2) خاصية الإبدال
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان ا × ب = ب × ا
مثال 5× 6 = 30 & 6 × 5 = 30 أى 5 × 6 = 6 × 5
(3) خاصية الدمج
إذا كان ا & ب & ج أعداد صحيحة فان
ا × { ب × ج } = { ا × ب } × ج
مثال 3 × (5× 4) = 3 × 20 = 60
(3 × 5 ) × 4 = 15 × 4 = 60
اى 3 × (5× 4) = (3 × 5 ) × 4
(4) خاصية المحايد الضربى
الواحد هو المحايد الضربى فىصص
اذا كان ا ي صص فان ا × 1 = ا & 1 × ا = ا
مثال 8 × 1 = 8 & -9 × 1 = -9
(5) خاصية توزيع الضرب على الجمع
اذا كان ا & ب & ج اعداد صحيحة فان
ا × { ب + ج } = ا × ب + ا × ج
مثال 6 × ( 3 + 7 ) 6 × 3 + 6 × 7
= 6 × 10 = 18 + 42
= 60 = 60
اى 6 × ( 3 + 7 ) = 6 × 3 + 6 × 7
مثال 2
استخدم خواص الضرب في إيجاد ما يأتي :
(1) 7 × ( 8 + ( -7 ) )
(2) 112 × 17 + 112 × -17
(3) 123 × 1002
(4) 454 × 99
الحل :
(1) 7 × ( 8 + ( -7 )) = 7 × 8 + 7 × -7
= 56 + (-49 )
= 7
(2) 112 × 17 + 112 × -17
= 112 × ( 17 + ( -17 ) )
= 112 × صفر = صفر
(3) 123 × 1002
= 123 × ( 1000 + 2 )
= 123 × 1000 + 123 +× 2
= 123000 + 236 = 123236
(4) 454 × 99
= 454 × ( 100 – 1 )
=454 × 100 - 454 × 1
=45400 – 454 = 44946
تمرين 2
استخدم خواص الضرب في إيجاد ما يأتي :
(1) 213 × 23 + 213 × 177
(2) 346 × 99
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000
ثانيا" قسمة الاعداد الصحيحة
القسمة غير ممكنة دائما" في صص أوعى تنسى
فمثلا" 8÷ 4 = 2 عدد موجب ÷ عدد موجب = عدد موجب
-15 ÷ 5 = -3 عدد موجب ÷ عدد سالب = عدد سالب
أما 5 ÷ 7 يي صص عدد سالب ÷ عدد موجب = عدد سالب
عدد سالب ÷ عدد سالب = عدد موجب
مثال 3
أوجد خارج القسمة فى الحالات الآتية
(1) 72 ÷ 9 (2) -72 ÷ 6
(3) 234 ÷ -3 (4) -36 ÷ -4
الحل :
(1) 72 ÷ 9 = 8 (2) -72 ÷ 6 = -12
(3) 234 ÷ -3 = - 78 (4) -36 ÷ -4 = 9
تمرين 3
(1) 468 ÷ -2 (2) 5 × س = 45
(3) 18÷ (3 ÷ 2 ) & (18 ÷ 3 ) ÷ 2 ماذا تلاحظ ؟
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 4
(1) أوجد ناتج ما يلي:
(أ) -131 × -3 (ب) 34 × -5
(ج) -9(-8) (د) –(-6) × -3
(و) -56 ÷ -2 (ر) $؛6*؛
(2) حدد عملية القسمة الممكنة في صص فيما يلي:
(أ) (-32) ÷ 8 (ب) 420 ÷ -15
(ج) 56 ÷ ( 3 + ( -3 ) ) (د) (4-4) ÷ 9
(3) استخدم خواص الضرب في ايجاد ما يأتي :
(أ) بح34 × 15 + 66 × 15
(ب) 69 × 101
(ت) 86 × 455 + 86 × 555
(ث) 434 × 1001
(ج) 57 × 499
(4) اذا كان س = 3 & ص = -1 & ع = -7
احسب قيمة كل من
(أ) 2س + ص –ع (ب) 3س ص – ع (ج) (س ÷ ص) × 3ع
(5) أوجد قيمة س اذا كان :
(أ) 8 × س = -48 (ب) س × 9 = 63
(ج) س × ( 5 × -13 ) = (-9 × 5 ) × -13
الضرب المتكرر
يقصد بالضرب المتكرر
تكرار ضرب العدد في نفسه عدد من المرات
فمثلا" 2 × 2 × 2 × 2 = 22$
بصفة عامه
اذا كان ا ي صص فان
ا × ا × ا × 00000000ن من المرات = ]نن
قاعدة هامة
(1) 2# 2 تسمى أساس & 3 تسمى أس
(2) فى حالة الضرب نجمع الأسس 2# × 2$ = 2 &
(3) في حالة القسمة نطرح الأسس 2& ÷ 2# = 2$
مثال 1
أوجد ناتج ما يلي
(أ) 5* × 5# (ب) 6$ × 6%
6*
الحل
(أ) 5* × 5# = 5% = 3125
(ب) 6$ × 6% 6)
6* = 6* = 6)-* = 6! =6
تذكر أن
اى عدد سالب مرفوع لأس زوجي يكون الناتج عدد موجب مثل -2 * =4
اى عدد سالب مرفوع لأس فردى يكون الناتج عدد سالب مثل -2 #= -8
اى عدد مرفوع لأس صفر = 1
مثال 2
اوجد ناتج ما يلي
(أ) -3 # × -3 * (ب) ( 2 # × - 2$ ) ÷ 2 %
الحل
(أ) -3 # × -3 * = -3 % = - 243
(ب) ( 2# × -2$ ) ÷ 2% = - ( 2 # × 2 $ ) ÷ 2%
- ( 2&) ÷ 2 % = - 2 * = 4
تمرين 1
أوجد ناتج ما يلي
(أ) 2 # × 2 # (ب) ( -3) * × 3 #
(ب) (-2) * × (-2 ) $ ÷ 2 ^
(ج) 5 # × 5 & ÷ 5 $ × 5 #
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 5
(1) اوجد ناتج ما يلي؛
(أ) (-7) * (ب) -5 * × 2*
(ج) (-2) # + (-3) $ (د) (-1) ((! + (-1) !(!
( ه ) (-5) # × (-1) % (و) -2 # ÷ -2*
(ر) ( -4% × -4# ) ÷ ( -4 )^
(2) رتب ما يلي ترتيبا" تصاعديا"
-2% ، -3* ، -4( ، -1%! ، 3 *
(3) رتب ما يلي ترتيبا" تنازليا:
10* ، -1 % ، 100* ، (-10)# ، 1000000
(4) اذا كان ا =2 ، ب =- 3 أوجد قيمة ما يلى :
(أ) 3 ا (ب) 2 ا + 3 ب ( ج ) ا + ب + ا ب
(5) ضع علامة ( ى ، آ ، = ) فيما يلي:
(أ) 4* 00000 8
(ب) (-6)* 00000 -12
(ج) 9* 00000 (-3) $
(د) 1 × 7 % 00000 1
7 %
الأنماط العددية
النمط العددي : هو تتابع من الأعداد وفقا لقاعدة معينة
مثال
مجموعة الأعداد الطبيعية (ط) تمثل تتابعا من الأعداد وفق قاعدة
( كل عدد يزيد على سابقه بمقدار الواحد)
ة 0 ،1 ،2 ،3 ، 4 ،5 ،000000000’
ومنها بغض المجموعات الجزئية مثل ( مجموعة الأعداد الفردية)
وصف النمط: يقصد به اكتشاف قاعدة النمط والتعبير عنها لفظيا
تدريب 1
اكتب عدد المثلثات أسفل كل شكل
عدد المثلثات 00000 000000 0000000
النمط العددي : 000000000000000000000000000000000
وصف النمط: 00000000000000000000000000000000000
باستخدام عدد القطع المستقيمة اكتب نمطا أخر و صفه ؟
تمارين 6
(1) أكمل الأنماط العددية التالية بكتابة ثلاث أعداد متتالية :
(أ) 6 ، 14 ، 22 ، 30 ، 38 ، 0000 ، 0000 ، 0000
(ب) !؛2 ، !؛4 ، !؛8 ، !؛6 ؛1 ، 0000، 000000 ، 000000
(ت) 2 ، 3 ،5 ، 8 ، 13 ، 0000 ، 0000 ، 00000
(ث) 1 ، 4 ، 9 ، 16 ،25 ، 0000 ، 0000 ،0000
(2) اكتشف النمط العددى واكتب العدد الناقص في كل حالة:
(أ) 4 ، 7 ، 000 ، 13 ، 16 ، 0000 ، 00000
(ب) 7 ، 000 ،15 ، 19 ، 23 ، 0000 ، 0000
(ت) 128 ، 84 ، 0000 ، 16 ، 8 ، 0000 ، 0000
(ث) 0000، 15 ، 12 ، 9 ، 0000 ، 00000
(3) تستصلح شركة اراضى بصحراء مصر 6 افدنة فى اليوم الواحد ، كم يوما يلزم الشركة لاستصلاح ما يقرب من 50 فدان ؟
اكتب النمط العددى المعير عن ذلك وصفه ؟
الوحدة الثانية:
المعادلات و المتباينات
المعادلة والمتباينة من الدرجة الأولى :
المعادلة : هي جملة رياضية تتضمن علاقة تساوى بين عبارتين رياضيتين
إذا المعادلة لها طرفان بينهما علاقة ( =) الطرف الايمن غالبا ما يحتوى على العبارة الرياضية مثل س + 3 = 6 والرمز (س) هنا يعبر عن المجهول
ملاحظة هامة:
ص - 7 لاتمثل معادلة لأنها لا تحتوى على علاقة ( =)
25 – 9 =16 لاتمثل معادلة لأنها لا تتضمن تساوى عبارتين رياضيتين
درجة المعادلة :
هى اكبر ( اس ) مرفوع لها المجهول ( الرمز ) بالمعادلة
مثل س + 5 = 9 من الدرجة الأولى &
س* + 3 = 6 من الدرجة الثانية وهكذا
المتباينة : هي جملة رياضية تتضمن علامة التباين بين عبارتين رياضيتين
مثل س + 3 ى 5
حل المعادلة أو المتباينة :
يقصد به التوصل لقيمة الرمز الموجود بالمعادلة أو المتباينة
ونستخدم لذلك مبدئيا مجموعة التعويض
مثال 1
باعتبار مجموعة التعويض ن = ة 0 ، 2 ، 3 ، 5 ’ اوجد مجموعة الحل لكل من
(أ) س + 7 = 10 (ب) س + 4 آ 8
الحل : أولا المعادلة س + 7 = 10
نستخدم مجموعة التعويض بالتعويض في الطرف الأيمن لتحديد العناصر التى تحقق المعادلة
عندما س = 0 يكون 0 + 7 = 7 لآ 10
عندما س = 2 يكون 2 + 7 =9 لآ 10
عندما س = 3 يكون 3 + 7 = 10
عندما س = 5 يكون 5 + 7 = 12
إذن مجموعة الحل = ة 3 ’
(ب) س + 4 آ 8
عندما س =0 يكون 0 + 4 آ 8
عندما س = 2 يكون 2 + 4 آ 8
عندما س = 3 يكون 3 + 4 آ 8
عندما س = 5 يكون 5 + 4 آ 8
إذا مجموعة الحل = ة 0 ، 2 ، 3 ’
تمرين2
باعتبار مجموعة التعويض ل = ة 2 ، 3 ، 4 ’
أوجد مجموعة الحل لكل من
(أ) س + 2 = 6 (ب) س + 2 آ 6
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000
تمارين 7
أوجد مجموعة الحل لكل من المعادلات والمتباينات التالية:
(1) س – 2 = 5 ، مجموعة التعويض ة 4، 5 ، 6 ، 7 ’
(2) س + 2 = 6 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 1 ، -2 ، 4 ’
( 3) س + 7 = 10 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2، 3 ، 4 ’
(4) 2س + 1 =16 ، مجموعة التعويض ة 7 ، 8 ، 9 ’
(5) 3س – 1 = 11 ، مجموعة التعويض ة 2 ، 3 ، 4 ، 5 ’
(6) 5س + 3 = 13 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2 ، 3 ’
(7) 4س – 3 = 9 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 2 ، 4 ، 6 ’
(8) س + 1 آ 4 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 1 ، -2 ، 4 ’
(9) س - 1 ى 1 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2، 3 ، 4 ’
(10) س + 3 آ 5 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2 ،3 ، -2’
(11) 3س – 1 ى -2 ، مجموعة التعويض ة -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ’
(12) - س + 1 آ 4 ، مجموعة التعويض ة -3 ، -2 ، 0 ، 2 ، 3 ’
حل المعادلات من الدرجة الأولى
فى مجهول واحد
ويقصد بحل المعادلة :
هو إيجاد قيمة المجهول ( الرمز ) الموجود في المعادلة
فى الدرس السابق تم الاستعانة بمجموعة التعويض
ولكن الآن سنستخدم خواص التساوي فى ط ، صص
خواص التساوي في ط ، صص
(1) خاصية الإضافة والحذف :
بمعنى عندما 4 + 5 = 9 إذا أضفنا واحد للطرفين لم نغير في المعادلة
4 + 5 + 1 = 9 + 1
كذلك اذا حذفنا من الطرفين واحد مثلا فلا نغير من المعادلة
مثال1
أوجد حل المعادلة س - 1 = 3 في صص
الحل : س – 1 = 3 باضافة + 1 للطرفين
س – 1+ 1 = 3 + 1
س = 4 اذن مجموعة الحل س = ة 4 ’ م 0 ح = ة 4’
مثال 2 أوجد مجموعة الحل للمعادلات الاتية :
(1) س + 2 = 5 (2) س + 4 = 2
(3) س – 5 = -3 (4) س + 1 =- 2
الحل :
(1) س + 2 = 5 س = 5 - 2 لاحظ ان ( +2) نقلت بعكس الإشارة
إذن س = 3 اذن م 0 ح = ة 3 ’
(2) س + 4 = 2 س = 2 – 4 س = -2
إذن م 0 ح = ة -2 ’
(3) س -5 = -3 س = -3 + 5 س = 2
م 0 ح = ة 2 ’
(4) س + 1 = -2 س = -2 -1 س = -3
م 0 ح = ة -3 ’
(2) خاصية الضرب والقسمة
اذا كان ا ، ب ، ج ثلاثة اعدد ي ط أ، صص وكان
ا = ب فان ا × ج = ب × ج ،
ا = ب فان ا÷ ج = ب ÷ ج
مثال3
أوجد حل المعادلة 2س = 10 فى صص
الحل : 2س = 10 بالقسمة على 2
2س ÷ 2 = 10 ÷ 2
س = 5 اذا م 0 ح = ة 5 ’
مثال4
أوجد حل المعادلة س = 3 في ط
4
الحل
س = 3 بالضرب × 4
4
س × 4 = 3 × 4
4
اذا س = 12
مثال5
أوجد مجموعة الحل فى صص
(1) س + 2 = 5 (2) س + 4 = 2 (3) س + 1 = -1
(4) س – 3 = 2 (5) س – 5 = -3 (6) س – 2 = -5
(1) س + 2 = 5
س = 5 – 2
س = 3
م 0 ح = ة 3 ’ (2) س + 4= 2
س = 2 – 00000
س = 00000
م 0 ح = ة00000 000000 0 0 0 0 0’ (3) س + 1 = -1
00000000000
00000000000
00000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000 0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000 0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
تمرين
(1) س + 4 = 5 ( 2 ) س – 5 = 3
(3) س - 6 = -2 (4) س + 5 = -2
(5) س – 4 = -4 (6) س + 3 = 6
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 000
00000000000000000000000000000000000000000000000000 0
مثال6
اوجد مجموعة الحل في صص
(1) 2س = 6 (2) -3س = 12 (3) 4س = -20
(4) 3س – 15 = 0 (5) 2س + 12 = 0 (6) 3س – 1 = 11
2س = 6
بالقسمة على 2 للطرفين
2س ÷ 2 = 6 ÷ 2
س = 3
م 0 ح = ة 3 ’ -3س = 12
بالقسمة على للطرفين
-3س ÷ = 12 ÷
س =
م 0 ح = ة ’ 4س = -20
000000000000
000000000000
000000000000
000000000000
3س – 15 = 0
3س = 15
بالقسمة على 3 للطرفين
3س ÷ 3 = 15 ÷ 3
س = 5
م0ح = ة 5 ’ 2س + 12 = 0
2س = 0000
بالقسمة على 00للطرفين
2س ÷ 00= 00 ÷ 00
س = 000
م0ح = ة ’ 3س – 1 = 11
3س = 11 + 1
3س = 12
بالقسمة على 3 للطرفين
3س ÷ 3 = 12 ÷ 3
س = 4
م0ح = ة 4 ’
مثال7
اوجد مجموعة الحل للمعادلة الآتية
3س – 2 = 5س + 8
الحل
3س – 2 = 5س + 8 3س – 5س = 8 + 2
-2س = 10 بالقسمة على -2 -2س ÷ -2 = 10÷ -2
س = -5 م0ح = ة -5 ’
تمارين 8
أوجد مجموعة الحل في ص
(1) س + 3 = 7 (2) س + 5 = 8 (3) س - 1 = 3 (4) س + 5 = 2
(5) س + 6 = 1 (6) س – 6 = -2
(7) س – 5 = -4 (8) س – 4 = 2 (9) س – 2 = 5 (10) 3س = -6
(11) 5س = -15 (12) 2س = -10
(13) 4س = 24 (14) 6س = -18
(15) 2س – 8 =0 (16) 3س -21 = 0
(17) 4س + 12 = 0 (18) 6س + 24 = 0
(19) 3س -7 = 2 (20) 2س -1 = 9
(21) 2س + 4 = 12 (22) 3س + 7 = 10
(23) 2س + 11 + 3س = 1 (24) 4س – 9 = س + 3
(25) 3س + 2 = س + 8 (26) 5س + 3 = 2س + 15
(27) س – 5 = 6س – 5 (28) س -1 = 4س + 11
تطبيقات على حل المعادلة من
الدرجة الأولى في صص
مثال1
(1) عدد صحيح اذا الى ضعفه 5 كان الناتج 17 أوجد العدد؟
(2) عدد صحيح اذا طرح من ضعفه 3 كان الناتج 11 أوجد العدد؟
الحل
(1) نفرض أن العدد س
(2) ،ضعف العدد2س
2س + 5 = 17
2س = 17 -5
2س = 12
بالقسمة على 2
إذا س = 6
إذا العدد هو 6 (3) نفرض أن العدد س،
(4) ضعف العدد 2س
2س – 3 = 11
2س = 11 + 3
2س = 14
بالقسمة على 2
إذا س = 7
إذا العدد هو 7
مثال 2
(1) عدد صحيح إذا أضيف إلى ثلاثة أمثاله 14 كان الناتج هو نفس العدد ، أوجد العدد ؟
(2) عدد صحيح إذا أضيف إليه 5 كان الناتج المعكوس الجمعي لنفس العدد مضافا اليه 21 أوجد العدد؟
الحل
(1) نفرض أن العدد س ،
(2) ثلاثة أمثاله = 3س
3س + 14 = س
3س – س = -14
2س = -14
بالقسمة على 2
إذا س = -7
العدد هو -7 نفرض أن العدد = س ،
س + 5 = - س + 21
س + س = 21 – 5
2س = 16
بالقسمة على 2
إذا س = 8
العدد هو 8
مثال3
(1) عددان صحيحان متتاليان مجموعهما 17 ، أوجد العددان ؟
(2) عددان أحدهما يزيد عن الآخر بمقدار 3 ومجموعهما 19 ، أوجد العددان ؟
الحل
(1) نفرض أن العدد الأول = س
والثاني = س + 1
اذا مجموعهما س + س + 1 = 17
2س + 1 = 17
2س = 17 – 1
2س = 16 بالقسمة على 2
س = 16 ÷ 2
س = 8
اذا الاول = 8 الثاني = 9 (2) نفرض الاول = س
والثاني = س + 3
مجموعهما س + س + 3 = 19
2س + 3 =19
2س = 19 = 3
2س = 16 بالقسمة علي 2
س = 16 ÷ 2
س = 8
اذا الاول = 8 الثاني = 11
مثال4
(1) ثلاثة أعداد صحيحة متتالية ومجموعهم 18 ، أوجد هذه الأعداد ؟
(2) ثلاثة أعداد صحيحة زوجية متتالية ومجموعهم 18، أوجد هذه الأعداد ؟
(1) نفرض الأول = س
الثاني س + 1
الثالث س + 2
إذا س + س + 1 + س + 2 = 18
3س + 3 = 18
3س = 18 – 3
3س = 15 بالقسمة ÷ 3
س = 15 ÷ 3
س = 5
الأول = 5 الثاني = 6 الثالث = 7 نفرض الأول = س
الثاني = 000000000
الثالث = 0000000000
000000000000000000
000000000000000000
000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
تمارين 9
(1) عدد صحيح إذا أضيف إلى ضعفه 4 كان الناتج 14، اوجد العدد ؟
(2) عدد صحيح إذا أضيف إلى ضعفه 3 كان الناتج 17 ، اوجد العدد؟
(3) عدد صحيح إذا أضيف إلي ضعفه 14 كان الناتج 48، اوجد العدد؟
(4) عدد صحيح إذا طرح من ضعفه 3 كان الناتج 9 ، اوجد العدد؟
(5)عدد صحيح إذا طرح من ضعفه 4 كان الناتج 10 ، اوجد العدد؟
(6)عدد صحيح إذا أضيف إلية 10 كان الناتج المعكوس الجمعي لنفس العدد ، أوجد العدد ؟
(7)عددان متتاليان مجموعهما 15 اوجد العددين ؟
(8) ثلاثة أعداد متتالية مجموعهم 27 أوجد هذه الأعداد ؟
(9) ثلاثة أعداد فردية متتالية مجموعهم 33 أوجد هذه الأعداد ؟
(10) ثلاثة أعداد زوجية متتالية مجموعهم 66 أوجد هذه الأعداد ؟
حل المتباينة من الدرجة الأولى
في مجهول واحد
خواص التباين في صص
(1) خاصية الإضافة و الحذف 0
(2) خاصية الضرب والقسمة
مثال 1 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
س + 1 آ 3 بإضافة ( -1 ) للطرفين س + 1 -1 آ 3 – 1
س آ 2 مجموعة الحل = ة 1 ، 0 ، -1 ، -2 ، 00000 ’
مثال2 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
س -2 جمس 1 بإضافة +2 للطرفين س – 2 + 2 جمس 1 + 2
س جمس 2 مجموعة الحل = ة 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 00000’
مثال3 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
2 س جمس 4 بالقسمة على 2 2س ÷ 2 جمس 4 ÷ 2
س جمس 2 مجموعة الحل = ة 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 00000000’
مثال4 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
2س + 1 ى 7 بإضافة -1 للطرفين 2س + 1 -1 ى 7 -1
2س ى 6 بالقسمة على 2 2 س ÷ 2 ى 6÷ 2
س ى 3 م 0 ح = ة 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 00000000’
ملاحظة مهمة جدا"
عند ضرب أو قسمة المتباينة في عدد سالب نغير علامة التباين من اكبر إلى
اصغر والعكس
مثال5 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
-5 س جمس 10 بالقسمة ÷ -5 -5 س ÷ -5 حمس 10 ÷ -5
س حمس -2 م 0 ح ة -2 ، -3 ،-4 ، -5 ، 00000000’
مثال6 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
-1 آ س – 3 حمس 4 بإضافة + 3 للطرفين
-1 +3 آ س -3 +3 حمس 4 + 3 2 آ س حمس 7
م 0 ح = ة 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ’
تمارين 10
أوجد مجموعة الحل في ص للمتبنيات الآتية :
{1} س + 1 آ 4 (2) س – 2 ى 1
(3) س – 2 حمس 3 (4) س + 7 جمس 10
(5) س + 3 حمس 5 (6) س – 5 ى -3
(7) 4س ى 12 (8) 2س آ 8
(9) 3س حمس -9 (10) 7س جمس -14
(11) 2س + 7 حمس 11 (12) 5س + 4 آ 19
(13) 3س – 5 حمس -11 (14) 4س + 5 آ 13
(15) -1 آ س + 2 آ 3 (16) 1 حمس 2س + 1 حمس 3
الوحدة الثالثة
الهندسة والقياس
المسافة بين نقطتين في مستوى الإحداثيات
(أ) المسافة بين نقطتين على شعاع :
لاحظ الشكل التالي
ج ب أ
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
النقاط أ & ب & ج تمثلها الاعداد 1 & 7 & 11
المسافة بين النقطتين أ & ب هى
طول أب = إحداثي نقطة النهاية – إحداثي نقطة البداية
= 7 – 1 = 6 سم
أكمل : ا ج = 00000 – 000000 = 000000 سم
ب ج = 0000 – 000000 = 0000000سم
(ب) المسافة بين نقطتين في مستو الإحداثيات فى ط صص
9
8
7
6
5
4
3
2
1
سس 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
حدد في المستوى النقط ا (3 ، 3 ) & ب (3 ، 7 ) & ج ( 7 ، 3 )
عند حساب المسافة بين النقطتين ا & ب مثلا
(5) نحدد القطعة المستقيمة الواصلة بينهما
(6) حدد هل هى توازي وس & وص
المسافة بين نقطتين مستوى الإحداثيات صص :
يتحدد موضع اى نقطة
بزوج مرتب ( س ، ص )
ولكي نحدد المسافة بين أي
نقطتين نستخدم نفس
الخطوات التي استخدمت في
المستوى الإحداثى ط
مثال
حدد موضع النقط الآتية
في مستوى الإحداثى صص
ا (0 ، 3 ) & ب ( -3 ، 0 )
ج ( 0 ، 0 )
ثم أوجد طول ا ب & ا ج & ب ج
ثم أذكر نوع المثلث
تمارين 11
(1) في مستوى الإحداثيات المقابل
ارسم الشكل ا ب ج د
حيث ا ( 3 ، 5 ) & ب ( 0 ، 1 )
ج (-3 ، 5 ) & د (0 ، 9 )
أكمل
طول ا ج = 000000000000
طول ب د = 0000000000000
ز
مساحة الشكل = 00000000 × 000000000000
(2)
على مستوى الإحداثيات المقابل
(أ) حدد موضع النقاط التالية
س ( -1 ، 1 )
ص ( 1 ، 1 ) & ع ( 1 ، 8 ) &
ل ( -1 ، 8 )
(ب) أوجد محيط ومساحة
الشكل س ص ع ل
(ج) حدد هل الشكل متماثل
ام لا ؟
التحويلات الهندسية : تحويل الانتقال
درسنا فيما سبق التحويلية الهندسية
وعلمنا أن
التحويلية الهندسية :
تحول كل نقطة ا في المستوى الى نقطة اَ في نفس المستوى
كما درسنا الانعكاس
الآن سوف ندرس الانتقال
لكى يتم الانتقال يجب معرفة شيئين
(أ) مقدار الانتقال (ب) اتجاه الانتقال
أولا انتقال نقطة في مستوى
(1) في مستوى الصفحة
مثال 0 ا
المطلوب إزاحة النقطة ا مسافة 5 سم في اتجاه م ن
م
ن
الحل
(1) ارسم من ا شعاعا يوازى م ن ليأخذ نفس الاتجاه
(2) عين علي ا ب النقطة اَ بحيث ا اَ = 5 سم
تمارين 12
مساحة الدائرة
مساحة الدائرة = ط نق* حيث ط قيمة ثابتة دائما
إما *؛7*؛ &
تمارين 13
قوانين هامة
المساحة الجانبية للمكعب = مساحة الوجه الواحد × 4
المساحة الكلية للمكعب = مساحة الوجه الواحد × 6
المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = محيط القاعدة × الارتفاع
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات =
مساحته الجانبية +مجموع مساحتي القاعدتين
مثال(4)
متوازي مستطيلات قاعدته على شكل مربع طول ضلعه 5 سم
وارتفاعه 7سم اوجد مساحته الكلية ؟
الحل :
المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = محيط القاعدة × الارتفاع
= ( 5 × 4 ) × 7 = 140 سم*
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبية + مساحتي القاعدتين
= 140 + 2 × ( 5 × 5 )
= 140 + 2 × 25 = 140 + 50 = 190 سم *
تمارين 14
الوحدة الرابعة
تمثيل البيانات بالقطاعات الدائرية:
تمارين 15
التجربة العشوائية
مثال 1
تمارين 16
الاحتمال
مثال1
أنواع الحدث واحتمالاته :
تمارين 17
مجموعة الأعداد الصحيحة
أولا الحاجة إلى مزيد من الأعداد :
درسنا فيما سبق العمليات على مجموعة الأعداد الطبيعية ( ط ) ومنها عملية الطرح
مثال1: اطرح 5-3 = 2 & أما 3-5 = غير ممكنة فى ط
وهناك أمثلة أخرى لا تصلح معها الأعداد الطبيعية مثل درجات الحرارة مثل درجة الحرارة
تحت الصفر فى بعض المدن0 ومن هما وجب علينا توسيع مجموعة الأعداد الطبيعية
فظهرت مجموعة الأعداد الصحيحة0
مما تتكون مجموعة العداد الصحيحة:
رمز مجموعة الاعداد الصحيحة (صص } وتتكون من
ة 000000 00 ، 5 ، 4 ، 3 ،2 ، 1 ، 0،-1،-2،-3،-4،-5، 0000000000’
صص + مجموعة الأعداد الصجيجة الموجبة ة5،4،3،2،1، 0000000000’
صص - مجموعة الأعداد الصجيجة السالبة ة -1،-2،-3،-4،-5، 000000000’
اذا صص =صص + حح ةالصفر ’ حح صص –
وتمثل على خط العداد كما يلى
ملحوظات هامة:
(1) الصفر ليس موجبا ولا سالبا
(2) -1 هو أكبر عدد صحيح سالب
(3) الواحد هو أصغر عدد صحيح موجب
(4) لا يوجد اكبر عدد صحيح موجب ولا اصغر عدد صحيح سالب
القيمة المطلقة للعدد الصحيح
هى المسافة بين موقع النقطة أ & ب وموقع الصفر على خط الأعداد- وهى دائما موجبة
ويرمز لها بالرمز ‘ أ ‘
مثلا ‘ 4‘= 4 & ‘ -4‘ = 4
مثال:
‘ -6 ‘ + ‘ 4 ‘ = 6+4 =10
تمرين 1
اكمل ما ياتى
(1) | 8| =000000000
(2) |-102 | = 00000
(3) - | - 45 | = 000000000
(4) | 91 | + | -11 | = 00000000
(5) | -34 | - | 23| = 0000000000
ماذا تُلاحظ !؟؟
) أدرس مجموعة الأزواج العددية التالية : (+5 ، ـ5) ، (ـ9 ، +9) ، (0 ، 0)
ما هو النظير الجمعي للعدد الصحيح الموجب (+5) ؟
ما هو النظير الجمعي للعدد الصحيح السالب (ـ9) ؟
ما هو النظير الجمعي للصفر ؟
ماذا تعلمنا ؟!
1. نظير الصفر هو الصفر .
2. نظير العدد الصحيح الموجب عدد صحيح سالب .
3. نظير العدد الصحيح السالب عدد صحيح موجب .
4. للعدد الصحيح ونظيره نفس المطلق ، بمعنى أن العدد الصحيح ونظيره يكونان على بعدين متساويين من النقطة التي تمثل الصفر على خط الأعداد .
تمارين 1
(1) مثل الاعداد الاتية على خط الاعداد
7، -5 ، -7 ، 2 ، 0 ، 1 ، -1 ، -9 ، 9
(2) اكتب معكوس كلا من الاعداد الاتية
124 ، 76 ، -46 ، 23 ، -56 ، 12
(3) أوجد قيمة س التي تجعل العبارة الآتية صحيحة :
(أ) -3 ي ة 1 ، -1 ، س ، 5 ’
(ب) س ي ة 3 ، 8 ،9 ’ ط ة -8 ، 9 ، -3 ’
(4) أكمل ما ياتى
(أ) نظير العدد -4 هو 000000000
(ب) نظير العدد 9 هو 000000000
(ج) نظير العدد | -7 |هو 000000000
(5) ضع علامة ( ض ) امام العبارة الصحيحة وعلامة (ضض ) امام العبارة الخاطئة0
(أ) الصفر ي صص – { }
)ب( صص + حح صص - =صص { }
(ج) صص + = ع ( )
( د) ة-7’ ي صص { }
نستخدم خط الأعداد في مقارنة الأعداد الصحيحة للتعرفِ على الأكبر والأصغر .
عرفت سابقاً أن الصفر على خط الأعداد يمثل نقطة مرجعية ، ولعلك لاحظت أن :
جميع الأعداد الصحيحة السالبة تقعُ على اليسارِ أو للأسفل من الصفرِ.
جميعَ الأعدادِ الصحيحة الموجبة تقعُ على اليمين أو للأعلى من الصفر .
1) الصفر أكبر من أيِّ عددٍ صحيح سالب .
2) والصفر أصغر من أيٍِّ عددٍ صحيح موجب .
3) أي عدد صحيح موجب أكبر من أي عدد صحيح سالب .
4) وأي عدد صحيح سالب أصغر من أي عدد صحيح موجب .
أولاً : أيهما أكبر +5 أم +2
لاحظ أن (+5) تقع على اليمين من +2 على خط الأعداد في وضع أفقي .
+5 أكبر من +2
لاحظ أن (+5) تقع فوق (أعلى من ) +2 على خط الأعداد في وضع رأسي .
\ +5 < +2
ثانياً : أيهما أكبر ـ3 أم ـ5
لاحظ أن ـ3 تقع على اليمين من ـ5 على خط الأعداد في وضع افقي .
ـ3 ـ5
لاحظ أنَّ ـ3 تقع فوق (أعلى من ) ـ5 على خط الأعداد في وضع رأسي .
ـ3 ـ5
الترتيب التصاعدي :
مثل1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ3 ، +4 ، 0 ، ـ5 ، +6
لاحظ أن ـ5 يقع أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليمين منه العدد ـ3 ثم الصفر ثم +4 وأخيراً +6 .
الأعداد المذكورة تأخذ الترتيب التصاعدي الآتي : ـ5 ، ـ3 ، 0 ، +4 ، +6
مثل 2 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +5 ، ـ4 ، 0 ، +2 ، ـ1
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تصاعدياً ، أي من الأصغر إلى الأكبر .
لاحظ أن العدد ـ4 يقع في الأسفل بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع رأسي ، يليه مباشرة وإلى الأعلى الأعداد ـ1 ثم أعلى منه الصفر ثمَ +2 واخيراً +5 .
الأعداد المذكورة تأخذ الترتيب التصاعدي الآتي :
ـ4 ، ـ1 ، 0 ، +2 ، + 5
الترتيب التنازلى :
مثل1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +2 ، +4 ، ـ1 ، ـ3 ، 0
لترتيب هذه الاعداد ترتيباً تنازليا ، أي من الأكبر إلى الأصغر :
العدد +4 يقع أقصى اليمين بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليسار العدد +2 ثم الصفر ثم ـ1 وأخيراً في أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد العدد ـ3 .
الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي 4 ، 2 ، 0 ، ـ1 ، ـ 3
-3 > -1 > 0 > +2 > +4
مثل 2 :
لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ4 ، +2 ، ـ 2 ، 0 ، +4
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تنازلياً ، أي من الأكبر إلى الأصغر .
العدد +4 يقع في الأعلى بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضعٍ رأسي ، يليه مباشرة إلى الأسفل منه العدد +2 ثم الصفر ثم ـ2 واخيراً يقع العدد ـ4 في الاسفل بالنسبة لباقي هذه الأعداد .
الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي :
+4 ، +2 ، 0 ، ـ2 ، ـ4
تمارين 2
( 1) رتب الأعداد الآتية ترتيبا تصاعديا :
( أ ) 7 ، -5 ، 9 ، 0 ، -1 ، -11 ، 10
( ب) 3 ،9 ،1 ، 7 ، 5 ، 12 ، 10
( ج ) -2 ، -6 ، 0 ، -1 ، -9 ، 1
(2 ) ضع علامة ( ى } او { آ} أو { = } فيما يلى :
( أ ) 2 5 (ب) -2 -6
(ج) | -3 | 3 (د) -12 -9
(ر) 3+ |-3| 8 (و) -|-6| 4
(3) اكتب العدد الصحيح السابق & والتالي لكل عدد صحيح فيما يلى:
(أ) -4 (ب) 14 (ج) -1 (د) صفر
(4) اكتب الأعداد الصحيحة المحصورة بين كل عددين صحيحين مما يلي:
(أ) -3 ، 3 (ب) -6 ، 1 (ج) -5 ، 0
(5) أكمل بنفس التسلسل:
(أ) -9 ، -8 ، -7 ، 000000000000
(ب) -3 ، 0 ، 3 ، 0000000000000
(ج) -60 ، -50 ، -40 ، 0000000000
جمع وطرح الأعداد الصحيحة
اولا جمع الاعداد الصحيحة:
عملية الجمع ممكنة دائما في صص
عند إجراء عملية الجمع نستخدم مبدأ المكسب والخسارة
بمعنى
(أ) 5+3 مكسب 5 + مكسب 3 = مكسب 8
وممكن إجراء هذه العملية باستخدام خط الأعداد كما يلى
1- نبدأ من الصفر ونتحرك يمينا خمس وحدات لتمثيل العدد ( 5 )
2- نبدأ من العدد ( 5) ونتحرك يمينا ثلاث وحدات لتمثيل العدد ( 3 )
3- نصل الى العدد ( 8 ) وهو ناتج الجمع
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن 5+3=8
(ب) اجمع ( -1) + ( -2 ) باستخدام خط الأعداد
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن ( -1) + ( -2 )= -3
( ج) اجمع 5 + ( -3 )
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
إذن 5 + ( -3 ) = 2
ومن الأمثلة السابقة يتضح لنا القاعدة الآتية
عند جمع عددين كلاهما موجب يكون الناتج موجب
عند جمع عددين كلاهما سالب يكون الناتج سالب
عند جمع عددين احدهما سالب والأخر موجب يكون الناتج إما موجب اوسالب
حسب إشارة العدد الأكبر ونطرح
مثال 1
أوجد ناتج:
(1) 7+5 (2) 8 + (-5)
(3) 0 + (-3) (4) (-4) + ( -9)
الحل:
(1) 7+5=12 (2) 8+(-5)= 3
(3) 0 + (-3)= -3 (4) (-4) + (-9) =-13
تمرين 1
أوجد ناتج ما يلي:
(1) 6+8 ( 2) (-5) + 4
(3) 3 + (-4) (4) 8 + (-8)
(5) (-4) + (-1) (6) 12 + (-10)
الحل:
000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000
خواص عملية الجمع فيصص :
(1) خاصية الانغلاق
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان
ا + ب = ج ي صص
(2) خاصية الإبدال
إذا كان ا & ب عددين صحيحين
ا + ب = ب + ا
مثلا"
3 + 6 = 6 + 3 =9
( -4) + 9 = 9 + (-4) = 5
( 3) خاصية الدمج
إذا كان ا & ب & ج ثلاث أعداد صحيحة فان
{ ا + ب } + ج = ا + { ب + ج }
مثلا"
( -5 + 3 ) + 2 = -5 + ( 3 + 2 ) = 0
( 4 ) خاصية المحايد الجمعي
الصفر هو المحايد الجمعي في صص
إذا كان ا عددا" صحيحا" فان
ا + 0 = 0 + ا = ا
مثلا"
9 + 0 = 0 + 9 = 9
(5) خاصية المعكوس الجمعي
كل عدد صحيح موجب ا يقابله عدد صحيح سالب – ا بحيث إن
العدد + معكوس = صفر مثل 8 + ( -8 ) = صفر
مثال2:
استخدم خواص الجمع في إيجاد ناتج ما يلي
(1) 36 + 19 + 64 + 81
(2) 28 + 47 + 122 + 453
الحل:
(1) 36 + 19 + 64 + 81
36 + 64 + 19 + 81 ( خاصية الإبدال)
(36 + 64 ) + ( 19 + 81 ) ( خاصية الدمج)
100 + 100 = 200
(2) 28 + 47 + 122 + 453
28 + 122 + 47 + 453 ( إبدال )
( 28 + 122 ) + ( 47 + 453 ) ( دمج )
200 + 500 = 700
تمرين 2
استخدم خواص الجمع في إيجاد
(1) 427 + 145 + 273 + (- 45)
(2) 109 + ( - 38 ) + 491 + 538
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
ثانيا طرح الأعداد الصحيحة
نعلم مما سبق دراسته الطرح غير ممكن دائما" في ط
إنما الطرح في صص ممكن دائما"
مثل ( 9 – 5 ) ممكن كتابتها على الصورة 9 + ( -5)
مثال 3
أوجد ناتج ما يلي
(1) 9 - 7 & 7 – 9 ماذا تلاحظ ؟
(2) -7 - (5 -3 ) & ( -7 -5 ) -3 ماذا تلاحظ ؟
الحل
(1) 9 – 7 = 2 & 7 – 9 = -2
إذن 9 – 7 لآ 7 – 9 إذن عملية الطرح ليست ابداليه
(3) -7 – ( 5 – 3 ) = -7 – 2 = -9
( -7 – 5 ) -3 = -12 -3 = -15
إذن -7 – ( 5 – 3 ) لآ ( -7 – 5 ) -3
إذن عملية الطرح ليست دامجه
تمرين 3
أوجد ناتج ما يلي
(1) 9- 4 (2) 6 – 8
(3) -4 -7 (4) -7 + 2
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 3
(1) استخدم خط الأعداد لتمثيل عمليات الجمع والطرح التالية:
(أ) -5 -2 (ب) -8 + 9 (
( ج ) 6 – ( -1 )
(2) ضع الرمز المناسب ي ، يي خ ، خخ فيما يلي
(أ) -3 000 ط (ب) ة4’0000 صص
(ج) - | 6 | 000 صص (د) %؛7 صص
(و) ؛5 صص
(3) استخدم خواص عملية الجمع في إيجاد ناتج ما يلي
(أ) -120 + 17 + 131
(ب) 157 + 786 + 843 + 214
(ت) 2015 +180 + ( -1015 )
(ث) 2354 + 700 + (-54 )
(ج) 845 + 967 + 155 + 33
(4) أودع رامى بالبنك مبلغا" من المال قدره 7480 جنيها" ثم سحب منه مبلغا" قدره 1480 جنيها" ثم قام بإيداع مبلغ اخر قدره 3000 جنيها" ، كم رصيده بالبنك ؟
( 5) غواصة على عمق 90 مترا" تحت مستوى سطح البحر ، ارتفعت 60 مترا" 0 استخدم العملية الحسابية المناسبة لحساب العمق الجديد للغواصة ؟
ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة
أولا" ضرب الأعداد الصحيحة:
قاعدة الإشارات فى الضرب في صص
عدد موجب × عدد موجب = عدد موجب مثال 5× 3 = 15
عدد موجب × عدد سالب = عدد سالب مثال 6 × -3 = -18
عدد سالب × عدد موجب = عدد سالب مثال -4 × 8 = -32
عدد سالب × عدد سالب = عدد موجب مثال -5 × -9 = 45
مثال 1
أوجد ناتج كلا" مما يأتي
(أ) -7 × 3 ( ب) -6 × -9 (ج) 7 × - ( - 6 )
الحل
(أ) -7 × 3 = -21 (ب) -6 × -9 = 54
(ج) 7 × - ( -6 ) = 7 × 6 = 42
تمرين 1
أوجد ناتج ما يأتي
(1) -12 × 6 (2) -34 × -54
(3) 456 × 13 (4) 234× -5
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000
خواص عملية الضرب
(1) خاصية الانغلاق
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان ا× ب = ج ، ج ي صص
( 2) خاصية الإبدال
إذا كان ا ي صص & ب ي صص فان ا × ب = ب × ا
مثال 5× 6 = 30 & 6 × 5 = 30 أى 5 × 6 = 6 × 5
(3) خاصية الدمج
إذا كان ا & ب & ج أعداد صحيحة فان
ا × { ب × ج } = { ا × ب } × ج
مثال 3 × (5× 4) = 3 × 20 = 60
(3 × 5 ) × 4 = 15 × 4 = 60
اى 3 × (5× 4) = (3 × 5 ) × 4
(4) خاصية المحايد الضربى
الواحد هو المحايد الضربى فىصص
اذا كان ا ي صص فان ا × 1 = ا & 1 × ا = ا
مثال 8 × 1 = 8 & -9 × 1 = -9
(5) خاصية توزيع الضرب على الجمع
اذا كان ا & ب & ج اعداد صحيحة فان
ا × { ب + ج } = ا × ب + ا × ج
مثال 6 × ( 3 + 7 ) 6 × 3 + 6 × 7
= 6 × 10 = 18 + 42
= 60 = 60
اى 6 × ( 3 + 7 ) = 6 × 3 + 6 × 7
مثال 2
استخدم خواص الضرب في إيجاد ما يأتي :
(1) 7 × ( 8 + ( -7 ) )
(2) 112 × 17 + 112 × -17
(3) 123 × 1002
(4) 454 × 99
الحل :
(1) 7 × ( 8 + ( -7 )) = 7 × 8 + 7 × -7
= 56 + (-49 )
= 7
(2) 112 × 17 + 112 × -17
= 112 × ( 17 + ( -17 ) )
= 112 × صفر = صفر
(3) 123 × 1002
= 123 × ( 1000 + 2 )
= 123 × 1000 + 123 +× 2
= 123000 + 236 = 123236
(4) 454 × 99
= 454 × ( 100 – 1 )
=454 × 100 - 454 × 1
=45400 – 454 = 44946
تمرين 2
استخدم خواص الضرب في إيجاد ما يأتي :
(1) 213 × 23 + 213 × 177
(2) 346 × 99
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000
ثانيا" قسمة الاعداد الصحيحة
القسمة غير ممكنة دائما" في صص أوعى تنسى
فمثلا" 8÷ 4 = 2 عدد موجب ÷ عدد موجب = عدد موجب
-15 ÷ 5 = -3 عدد موجب ÷ عدد سالب = عدد سالب
أما 5 ÷ 7 يي صص عدد سالب ÷ عدد موجب = عدد سالب
عدد سالب ÷ عدد سالب = عدد موجب
مثال 3
أوجد خارج القسمة فى الحالات الآتية
(1) 72 ÷ 9 (2) -72 ÷ 6
(3) 234 ÷ -3 (4) -36 ÷ -4
الحل :
(1) 72 ÷ 9 = 8 (2) -72 ÷ 6 = -12
(3) 234 ÷ -3 = - 78 (4) -36 ÷ -4 = 9
تمرين 3
(1) 468 ÷ -2 (2) 5 × س = 45
(3) 18÷ (3 ÷ 2 ) & (18 ÷ 3 ) ÷ 2 ماذا تلاحظ ؟
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 4
(1) أوجد ناتج ما يلي:
(أ) -131 × -3 (ب) 34 × -5
(ج) -9(-8) (د) –(-6) × -3
(و) -56 ÷ -2 (ر) $؛6*؛
(2) حدد عملية القسمة الممكنة في صص فيما يلي:
(أ) (-32) ÷ 8 (ب) 420 ÷ -15
(ج) 56 ÷ ( 3 + ( -3 ) ) (د) (4-4) ÷ 9
(3) استخدم خواص الضرب في ايجاد ما يأتي :
(أ) بح34 × 15 + 66 × 15
(ب) 69 × 101
(ت) 86 × 455 + 86 × 555
(ث) 434 × 1001
(ج) 57 × 499
(4) اذا كان س = 3 & ص = -1 & ع = -7
احسب قيمة كل من
(أ) 2س + ص –ع (ب) 3س ص – ع (ج) (س ÷ ص) × 3ع
(5) أوجد قيمة س اذا كان :
(أ) 8 × س = -48 (ب) س × 9 = 63
(ج) س × ( 5 × -13 ) = (-9 × 5 ) × -13
الضرب المتكرر
يقصد بالضرب المتكرر
تكرار ضرب العدد في نفسه عدد من المرات
فمثلا" 2 × 2 × 2 × 2 = 22$
بصفة عامه
اذا كان ا ي صص فان
ا × ا × ا × 00000000ن من المرات = ]نن
قاعدة هامة
(1) 2# 2 تسمى أساس & 3 تسمى أس
(2) فى حالة الضرب نجمع الأسس 2# × 2$ = 2 &
(3) في حالة القسمة نطرح الأسس 2& ÷ 2# = 2$
مثال 1
أوجد ناتج ما يلي
(أ) 5* × 5# (ب) 6$ × 6%
6*
الحل
(أ) 5* × 5# = 5% = 3125
(ب) 6$ × 6% 6)
6* = 6* = 6)-* = 6! =6
تذكر أن
اى عدد سالب مرفوع لأس زوجي يكون الناتج عدد موجب مثل -2 * =4
اى عدد سالب مرفوع لأس فردى يكون الناتج عدد سالب مثل -2 #= -8
اى عدد مرفوع لأس صفر = 1
مثال 2
اوجد ناتج ما يلي
(أ) -3 # × -3 * (ب) ( 2 # × - 2$ ) ÷ 2 %
الحل
(أ) -3 # × -3 * = -3 % = - 243
(ب) ( 2# × -2$ ) ÷ 2% = - ( 2 # × 2 $ ) ÷ 2%
- ( 2&) ÷ 2 % = - 2 * = 4
تمرين 1
أوجد ناتج ما يلي
(أ) 2 # × 2 # (ب) ( -3) * × 3 #
(ب) (-2) * × (-2 ) $ ÷ 2 ^
(ج) 5 # × 5 & ÷ 5 $ × 5 #
الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000
تمارين 5
(1) اوجد ناتج ما يلي؛
(أ) (-7) * (ب) -5 * × 2*
(ج) (-2) # + (-3) $ (د) (-1) ((! + (-1) !(!
( ه ) (-5) # × (-1) % (و) -2 # ÷ -2*
(ر) ( -4% × -4# ) ÷ ( -4 )^
(2) رتب ما يلي ترتيبا" تصاعديا"
-2% ، -3* ، -4( ، -1%! ، 3 *
(3) رتب ما يلي ترتيبا" تنازليا:
10* ، -1 % ، 100* ، (-10)# ، 1000000
(4) اذا كان ا =2 ، ب =- 3 أوجد قيمة ما يلى :
(أ) 3 ا (ب) 2 ا + 3 ب ( ج ) ا + ب + ا ب
(5) ضع علامة ( ى ، آ ، = ) فيما يلي:
(أ) 4* 00000 8
(ب) (-6)* 00000 -12
(ج) 9* 00000 (-3) $
(د) 1 × 7 % 00000 1
7 %
الأنماط العددية
النمط العددي : هو تتابع من الأعداد وفقا لقاعدة معينة
مثال
مجموعة الأعداد الطبيعية (ط) تمثل تتابعا من الأعداد وفق قاعدة
( كل عدد يزيد على سابقه بمقدار الواحد)
ة 0 ،1 ،2 ،3 ، 4 ،5 ،000000000’
ومنها بغض المجموعات الجزئية مثل ( مجموعة الأعداد الفردية)
وصف النمط: يقصد به اكتشاف قاعدة النمط والتعبير عنها لفظيا
تدريب 1
اكتب عدد المثلثات أسفل كل شكل
عدد المثلثات 00000 000000 0000000
النمط العددي : 000000000000000000000000000000000
وصف النمط: 00000000000000000000000000000000000
باستخدام عدد القطع المستقيمة اكتب نمطا أخر و صفه ؟
تمارين 6
(1) أكمل الأنماط العددية التالية بكتابة ثلاث أعداد متتالية :
(أ) 6 ، 14 ، 22 ، 30 ، 38 ، 0000 ، 0000 ، 0000
(ب) !؛2 ، !؛4 ، !؛8 ، !؛6 ؛1 ، 0000، 000000 ، 000000
(ت) 2 ، 3 ،5 ، 8 ، 13 ، 0000 ، 0000 ، 00000
(ث) 1 ، 4 ، 9 ، 16 ،25 ، 0000 ، 0000 ،0000
(2) اكتشف النمط العددى واكتب العدد الناقص في كل حالة:
(أ) 4 ، 7 ، 000 ، 13 ، 16 ، 0000 ، 00000
(ب) 7 ، 000 ،15 ، 19 ، 23 ، 0000 ، 0000
(ت) 128 ، 84 ، 0000 ، 16 ، 8 ، 0000 ، 0000
(ث) 0000، 15 ، 12 ، 9 ، 0000 ، 00000
(3) تستصلح شركة اراضى بصحراء مصر 6 افدنة فى اليوم الواحد ، كم يوما يلزم الشركة لاستصلاح ما يقرب من 50 فدان ؟
اكتب النمط العددى المعير عن ذلك وصفه ؟
الوحدة الثانية:
المعادلات و المتباينات
المعادلة والمتباينة من الدرجة الأولى :
المعادلة : هي جملة رياضية تتضمن علاقة تساوى بين عبارتين رياضيتين
إذا المعادلة لها طرفان بينهما علاقة ( =) الطرف الايمن غالبا ما يحتوى على العبارة الرياضية مثل س + 3 = 6 والرمز (س) هنا يعبر عن المجهول
ملاحظة هامة:
ص - 7 لاتمثل معادلة لأنها لا تحتوى على علاقة ( =)
25 – 9 =16 لاتمثل معادلة لأنها لا تتضمن تساوى عبارتين رياضيتين
درجة المعادلة :
هى اكبر ( اس ) مرفوع لها المجهول ( الرمز ) بالمعادلة
مثل س + 5 = 9 من الدرجة الأولى &
س* + 3 = 6 من الدرجة الثانية وهكذا
المتباينة : هي جملة رياضية تتضمن علامة التباين بين عبارتين رياضيتين
مثل س + 3 ى 5
حل المعادلة أو المتباينة :
يقصد به التوصل لقيمة الرمز الموجود بالمعادلة أو المتباينة
ونستخدم لذلك مبدئيا مجموعة التعويض
مثال 1
باعتبار مجموعة التعويض ن = ة 0 ، 2 ، 3 ، 5 ’ اوجد مجموعة الحل لكل من
(أ) س + 7 = 10 (ب) س + 4 آ 8
الحل : أولا المعادلة س + 7 = 10
نستخدم مجموعة التعويض بالتعويض في الطرف الأيمن لتحديد العناصر التى تحقق المعادلة
عندما س = 0 يكون 0 + 7 = 7 لآ 10
عندما س = 2 يكون 2 + 7 =9 لآ 10
عندما س = 3 يكون 3 + 7 = 10
عندما س = 5 يكون 5 + 7 = 12
إذن مجموعة الحل = ة 3 ’
(ب) س + 4 آ 8
عندما س =0 يكون 0 + 4 آ 8
عندما س = 2 يكون 2 + 4 آ 8
عندما س = 3 يكون 3 + 4 آ 8
عندما س = 5 يكون 5 + 4 آ 8
إذا مجموعة الحل = ة 0 ، 2 ، 3 ’
تمرين2
باعتبار مجموعة التعويض ل = ة 2 ، 3 ، 4 ’
أوجد مجموعة الحل لكل من
(أ) س + 2 = 6 (ب) س + 2 آ 6
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000
تمارين 7
أوجد مجموعة الحل لكل من المعادلات والمتباينات التالية:
(1) س – 2 = 5 ، مجموعة التعويض ة 4، 5 ، 6 ، 7 ’
(2) س + 2 = 6 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 1 ، -2 ، 4 ’
( 3) س + 7 = 10 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2، 3 ، 4 ’
(4) 2س + 1 =16 ، مجموعة التعويض ة 7 ، 8 ، 9 ’
(5) 3س – 1 = 11 ، مجموعة التعويض ة 2 ، 3 ، 4 ، 5 ’
(6) 5س + 3 = 13 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2 ، 3 ’
(7) 4س – 3 = 9 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 2 ، 4 ، 6 ’
(8) س + 1 آ 4 ، مجموعة التعويض ة 0 ، 1 ، -2 ، 4 ’
(9) س - 1 ى 1 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2، 3 ، 4 ’
(10) س + 3 آ 5 ، مجموعة التعويض ة 1 ، 2 ،3 ، -2’
(11) 3س – 1 ى -2 ، مجموعة التعويض ة -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ’
(12) - س + 1 آ 4 ، مجموعة التعويض ة -3 ، -2 ، 0 ، 2 ، 3 ’
حل المعادلات من الدرجة الأولى
فى مجهول واحد
ويقصد بحل المعادلة :
هو إيجاد قيمة المجهول ( الرمز ) الموجود في المعادلة
فى الدرس السابق تم الاستعانة بمجموعة التعويض
ولكن الآن سنستخدم خواص التساوي فى ط ، صص
خواص التساوي في ط ، صص
(1) خاصية الإضافة والحذف :
بمعنى عندما 4 + 5 = 9 إذا أضفنا واحد للطرفين لم نغير في المعادلة
4 + 5 + 1 = 9 + 1
كذلك اذا حذفنا من الطرفين واحد مثلا فلا نغير من المعادلة
مثال1
أوجد حل المعادلة س - 1 = 3 في صص
الحل : س – 1 = 3 باضافة + 1 للطرفين
س – 1+ 1 = 3 + 1
س = 4 اذن مجموعة الحل س = ة 4 ’ م 0 ح = ة 4’
مثال 2 أوجد مجموعة الحل للمعادلات الاتية :
(1) س + 2 = 5 (2) س + 4 = 2
(3) س – 5 = -3 (4) س + 1 =- 2
الحل :
(1) س + 2 = 5 س = 5 - 2 لاحظ ان ( +2) نقلت بعكس الإشارة
إذن س = 3 اذن م 0 ح = ة 3 ’
(2) س + 4 = 2 س = 2 – 4 س = -2
إذن م 0 ح = ة -2 ’
(3) س -5 = -3 س = -3 + 5 س = 2
م 0 ح = ة 2 ’
(4) س + 1 = -2 س = -2 -1 س = -3
م 0 ح = ة -3 ’
(2) خاصية الضرب والقسمة
اذا كان ا ، ب ، ج ثلاثة اعدد ي ط أ، صص وكان
ا = ب فان ا × ج = ب × ج ،
ا = ب فان ا÷ ج = ب ÷ ج
مثال3
أوجد حل المعادلة 2س = 10 فى صص
الحل : 2س = 10 بالقسمة على 2
2س ÷ 2 = 10 ÷ 2
س = 5 اذا م 0 ح = ة 5 ’
مثال4
أوجد حل المعادلة س = 3 في ط
4
الحل
س = 3 بالضرب × 4
4
س × 4 = 3 × 4
4
اذا س = 12
مثال5
أوجد مجموعة الحل فى صص
(1) س + 2 = 5 (2) س + 4 = 2 (3) س + 1 = -1
(4) س – 3 = 2 (5) س – 5 = -3 (6) س – 2 = -5
(1) س + 2 = 5
س = 5 – 2
س = 3
م 0 ح = ة 3 ’ (2) س + 4= 2
س = 2 – 00000
س = 00000
م 0 ح = ة00000 000000 0 0 0 0 0’ (3) س + 1 = -1
00000000000
00000000000
00000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000 0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000 0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
تمرين
(1) س + 4 = 5 ( 2 ) س – 5 = 3
(3) س - 6 = -2 (4) س + 5 = -2
(5) س – 4 = -4 (6) س + 3 = 6
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 000
00000000000000000000000000000000000000000000000000 0
مثال6
اوجد مجموعة الحل في صص
(1) 2س = 6 (2) -3س = 12 (3) 4س = -20
(4) 3س – 15 = 0 (5) 2س + 12 = 0 (6) 3س – 1 = 11
2س = 6
بالقسمة على 2 للطرفين
2س ÷ 2 = 6 ÷ 2
س = 3
م 0 ح = ة 3 ’ -3س = 12
بالقسمة على للطرفين
-3س ÷ = 12 ÷
س =
م 0 ح = ة ’ 4س = -20
000000000000
000000000000
000000000000
000000000000
3س – 15 = 0
3س = 15
بالقسمة على 3 للطرفين
3س ÷ 3 = 15 ÷ 3
س = 5
م0ح = ة 5 ’ 2س + 12 = 0
2س = 0000
بالقسمة على 00للطرفين
2س ÷ 00= 00 ÷ 00
س = 000
م0ح = ة ’ 3س – 1 = 11
3س = 11 + 1
3س = 12
بالقسمة على 3 للطرفين
3س ÷ 3 = 12 ÷ 3
س = 4
م0ح = ة 4 ’
مثال7
اوجد مجموعة الحل للمعادلة الآتية
3س – 2 = 5س + 8
الحل
3س – 2 = 5س + 8 3س – 5س = 8 + 2
-2س = 10 بالقسمة على -2 -2س ÷ -2 = 10÷ -2
س = -5 م0ح = ة -5 ’
تمارين 8
أوجد مجموعة الحل في ص
(1) س + 3 = 7 (2) س + 5 = 8 (3) س - 1 = 3 (4) س + 5 = 2
(5) س + 6 = 1 (6) س – 6 = -2
(7) س – 5 = -4 (8) س – 4 = 2 (9) س – 2 = 5 (10) 3س = -6
(11) 5س = -15 (12) 2س = -10
(13) 4س = 24 (14) 6س = -18
(15) 2س – 8 =0 (16) 3س -21 = 0
(17) 4س + 12 = 0 (18) 6س + 24 = 0
(19) 3س -7 = 2 (20) 2س -1 = 9
(21) 2س + 4 = 12 (22) 3س + 7 = 10
(23) 2س + 11 + 3س = 1 (24) 4س – 9 = س + 3
(25) 3س + 2 = س + 8 (26) 5س + 3 = 2س + 15
(27) س – 5 = 6س – 5 (28) س -1 = 4س + 11
تطبيقات على حل المعادلة من
الدرجة الأولى في صص
مثال1
(1) عدد صحيح اذا الى ضعفه 5 كان الناتج 17 أوجد العدد؟
(2) عدد صحيح اذا طرح من ضعفه 3 كان الناتج 11 أوجد العدد؟
الحل
(1) نفرض أن العدد س
(2) ،ضعف العدد2س
2س + 5 = 17
2س = 17 -5
2س = 12
بالقسمة على 2
إذا س = 6
إذا العدد هو 6 (3) نفرض أن العدد س،
(4) ضعف العدد 2س
2س – 3 = 11
2س = 11 + 3
2س = 14
بالقسمة على 2
إذا س = 7
إذا العدد هو 7
مثال 2
(1) عدد صحيح إذا أضيف إلى ثلاثة أمثاله 14 كان الناتج هو نفس العدد ، أوجد العدد ؟
(2) عدد صحيح إذا أضيف إليه 5 كان الناتج المعكوس الجمعي لنفس العدد مضافا اليه 21 أوجد العدد؟
الحل
(1) نفرض أن العدد س ،
(2) ثلاثة أمثاله = 3س
3س + 14 = س
3س – س = -14
2س = -14
بالقسمة على 2
إذا س = -7
العدد هو -7 نفرض أن العدد = س ،
س + 5 = - س + 21
س + س = 21 – 5
2س = 16
بالقسمة على 2
إذا س = 8
العدد هو 8
مثال3
(1) عددان صحيحان متتاليان مجموعهما 17 ، أوجد العددان ؟
(2) عددان أحدهما يزيد عن الآخر بمقدار 3 ومجموعهما 19 ، أوجد العددان ؟
الحل
(1) نفرض أن العدد الأول = س
والثاني = س + 1
اذا مجموعهما س + س + 1 = 17
2س + 1 = 17
2س = 17 – 1
2س = 16 بالقسمة على 2
س = 16 ÷ 2
س = 8
اذا الاول = 8 الثاني = 9 (2) نفرض الاول = س
والثاني = س + 3
مجموعهما س + س + 3 = 19
2س + 3 =19
2س = 19 = 3
2س = 16 بالقسمة علي 2
س = 16 ÷ 2
س = 8
اذا الاول = 8 الثاني = 11
مثال4
(1) ثلاثة أعداد صحيحة متتالية ومجموعهم 18 ، أوجد هذه الأعداد ؟
(2) ثلاثة أعداد صحيحة زوجية متتالية ومجموعهم 18، أوجد هذه الأعداد ؟
(1) نفرض الأول = س
الثاني س + 1
الثالث س + 2
إذا س + س + 1 + س + 2 = 18
3س + 3 = 18
3س = 18 – 3
3س = 15 بالقسمة ÷ 3
س = 15 ÷ 3
س = 5
الأول = 5 الثاني = 6 الثالث = 7 نفرض الأول = س
الثاني = 000000000
الثالث = 0000000000
000000000000000000
000000000000000000
000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
تمارين 9
(1) عدد صحيح إذا أضيف إلى ضعفه 4 كان الناتج 14، اوجد العدد ؟
(2) عدد صحيح إذا أضيف إلى ضعفه 3 كان الناتج 17 ، اوجد العدد؟
(3) عدد صحيح إذا أضيف إلي ضعفه 14 كان الناتج 48، اوجد العدد؟
(4) عدد صحيح إذا طرح من ضعفه 3 كان الناتج 9 ، اوجد العدد؟
(5)عدد صحيح إذا طرح من ضعفه 4 كان الناتج 10 ، اوجد العدد؟
(6)عدد صحيح إذا أضيف إلية 10 كان الناتج المعكوس الجمعي لنفس العدد ، أوجد العدد ؟
(7)عددان متتاليان مجموعهما 15 اوجد العددين ؟
(8) ثلاثة أعداد متتالية مجموعهم 27 أوجد هذه الأعداد ؟
(9) ثلاثة أعداد فردية متتالية مجموعهم 33 أوجد هذه الأعداد ؟
(10) ثلاثة أعداد زوجية متتالية مجموعهم 66 أوجد هذه الأعداد ؟
حل المتباينة من الدرجة الأولى
في مجهول واحد
خواص التباين في صص
(1) خاصية الإضافة و الحذف 0
(2) خاصية الضرب والقسمة
مثال 1 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
س + 1 آ 3 بإضافة ( -1 ) للطرفين س + 1 -1 آ 3 – 1
س آ 2 مجموعة الحل = ة 1 ، 0 ، -1 ، -2 ، 00000 ’
مثال2 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
س -2 جمس 1 بإضافة +2 للطرفين س – 2 + 2 جمس 1 + 2
س جمس 2 مجموعة الحل = ة 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 00000’
مثال3 اوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
2 س جمس 4 بالقسمة على 2 2س ÷ 2 جمس 4 ÷ 2
س جمس 2 مجموعة الحل = ة 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 00000000’
مثال4 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
2س + 1 ى 7 بإضافة -1 للطرفين 2س + 1 -1 ى 7 -1
2س ى 6 بالقسمة على 2 2 س ÷ 2 ى 6÷ 2
س ى 3 م 0 ح = ة 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 00000000’
ملاحظة مهمة جدا"
عند ضرب أو قسمة المتباينة في عدد سالب نغير علامة التباين من اكبر إلى
اصغر والعكس
مثال5 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
-5 س جمس 10 بالقسمة ÷ -5 -5 س ÷ -5 حمس 10 ÷ -5
س حمس -2 م 0 ح ة -2 ، -3 ،-4 ، -5 ، 00000000’
مثال6 أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
-1 آ س – 3 حمس 4 بإضافة + 3 للطرفين
-1 +3 آ س -3 +3 حمس 4 + 3 2 آ س حمس 7
م 0 ح = ة 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ’
تمارين 10
أوجد مجموعة الحل في ص للمتبنيات الآتية :
{1} س + 1 آ 4 (2) س – 2 ى 1
(3) س – 2 حمس 3 (4) س + 7 جمس 10
(5) س + 3 حمس 5 (6) س – 5 ى -3
(7) 4س ى 12 (8) 2س آ 8
(9) 3س حمس -9 (10) 7س جمس -14
(11) 2س + 7 حمس 11 (12) 5س + 4 آ 19
(13) 3س – 5 حمس -11 (14) 4س + 5 آ 13
(15) -1 آ س + 2 آ 3 (16) 1 حمس 2س + 1 حمس 3
الوحدة الثالثة
الهندسة والقياس
المسافة بين نقطتين في مستوى الإحداثيات
(أ) المسافة بين نقطتين على شعاع :
لاحظ الشكل التالي
ج ب أ
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
النقاط أ & ب & ج تمثلها الاعداد 1 & 7 & 11
المسافة بين النقطتين أ & ب هى
طول أب = إحداثي نقطة النهاية – إحداثي نقطة البداية
= 7 – 1 = 6 سم
أكمل : ا ج = 00000 – 000000 = 000000 سم
ب ج = 0000 – 000000 = 0000000سم
(ب) المسافة بين نقطتين في مستو الإحداثيات فى ط صص
9
8
7
6
5
4
3
2
1
سس 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
حدد في المستوى النقط ا (3 ، 3 ) & ب (3 ، 7 ) & ج ( 7 ، 3 )
عند حساب المسافة بين النقطتين ا & ب مثلا
(5) نحدد القطعة المستقيمة الواصلة بينهما
(6) حدد هل هى توازي وس & وص
المسافة بين نقطتين مستوى الإحداثيات صص :
يتحدد موضع اى نقطة
بزوج مرتب ( س ، ص )
ولكي نحدد المسافة بين أي
نقطتين نستخدم نفس
الخطوات التي استخدمت في
المستوى الإحداثى ط
مثال
حدد موضع النقط الآتية
في مستوى الإحداثى صص
ا (0 ، 3 ) & ب ( -3 ، 0 )
ج ( 0 ، 0 )
ثم أوجد طول ا ب & ا ج & ب ج
ثم أذكر نوع المثلث
تمارين 11
(1) في مستوى الإحداثيات المقابل
ارسم الشكل ا ب ج د
حيث ا ( 3 ، 5 ) & ب ( 0 ، 1 )
ج (-3 ، 5 ) & د (0 ، 9 )
أكمل
طول ا ج = 000000000000
طول ب د = 0000000000000
ز
مساحة الشكل = 00000000 × 000000000000
(2)
على مستوى الإحداثيات المقابل
(أ) حدد موضع النقاط التالية
س ( -1 ، 1 )
ص ( 1 ، 1 ) & ع ( 1 ، 8 ) &
ل ( -1 ، 8 )
(ب) أوجد محيط ومساحة
الشكل س ص ع ل
(ج) حدد هل الشكل متماثل
ام لا ؟
التحويلات الهندسية : تحويل الانتقال
درسنا فيما سبق التحويلية الهندسية
وعلمنا أن
التحويلية الهندسية :
تحول كل نقطة ا في المستوى الى نقطة اَ في نفس المستوى
كما درسنا الانعكاس
الآن سوف ندرس الانتقال
لكى يتم الانتقال يجب معرفة شيئين
(أ) مقدار الانتقال (ب) اتجاه الانتقال
أولا انتقال نقطة في مستوى
(1) في مستوى الصفحة
مثال 0 ا
المطلوب إزاحة النقطة ا مسافة 5 سم في اتجاه م ن
م
ن
الحل
(1) ارسم من ا شعاعا يوازى م ن ليأخذ نفس الاتجاه
(2) عين علي ا ب النقطة اَ بحيث ا اَ = 5 سم
تمارين 12
مساحة الدائرة
مساحة الدائرة = ط نق* حيث ط قيمة ثابتة دائما
إما *؛7*؛ &
تمارين 13
قوانين هامة
المساحة الجانبية للمكعب = مساحة الوجه الواحد × 4
المساحة الكلية للمكعب = مساحة الوجه الواحد × 6
المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = محيط القاعدة × الارتفاع
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات =
مساحته الجانبية +مجموع مساحتي القاعدتين
مثال(4)
متوازي مستطيلات قاعدته على شكل مربع طول ضلعه 5 سم
وارتفاعه 7سم اوجد مساحته الكلية ؟
الحل :
المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = محيط القاعدة × الارتفاع
= ( 5 × 4 ) × 7 = 140 سم*
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبية + مساحتي القاعدتين
= 140 + 2 × ( 5 × 5 )
= 140 + 2 × 25 = 140 + 50 = 190 سم *
تمارين 14
الوحدة الرابعة
تمثيل البيانات بالقطاعات الدائرية:
تمارين 15
التجربة العشوائية
مثال 1
تمارين 16
الاحتمال
مثال1
أنواع الحدث واحتمالاته :
تمارين 17