1) اذا كانت ب الوسط الحسابي بين أ , ج فاثبت ان:
أ(2 ب + ج - أ)= ج ( أ +2 ب + ج)
الحل
ب وسط جسابي بين أ ، ج
فيكون 2 ب = أ + جـ ومنها
الطرف الاول
أ(2 ب + ج - أ)= أ(أ + جـ + ج - أ)= أ ( 2 جـ ) = 2 أ جـ
الطرف الثاتي
ج ( أ + 2 ب+ ج)= ج ( أ+ أ + ج - جـ )= 2 أجـ
الطرفان متساويان

2) اذا كانت ج, د وسطين حسابين بين العددين أ,ب فاثبت ان:
اولا: أ+ ب = ج + د ثانيا: أ- ب =3( ج - د )
الحل

حيث أن
جـ ، د وسطان بين أ ، ب فأن
2 جـ = أ + د ومنها أ = 2 جـ ــــ د
بالمثل
2 د = جـ + ب ومنها ب = 2 د ـــ جـ
بالجمع
أ + ب = 2 جـ ــــ د + 2 د ـــ جـ = جــ + د اولا
بالطرح
أ ـــ ب = 2 جـ ــــ د ـــ 2 د + جـ = 3 ( جــ ــــ د ) ثانيا

ص وسط حسابي بين س ، ع فأثبت أن
( ص + 2 س ) ÷ ( ص ــ ع ) + ( ص + 2 ع ) ÷ ( ص ـــ س ) = 4
الحل
حيث أن
ص وسط بين س ، ع
فأن
2 ص = س + ع
الطرف الاول علي جزئين يكون
( ص + 2 س ) ÷ ( ص ــ ع ) بالضرب في ( 2 ) بسطا ومقاما يكون
2 ( ص + 2 س ) ÷ 2 ( ص ــ ع ) = ( 2ص + 4 س ) ÷ ( 2ص ــ 2ع ) ثم التعويض عن قيمة ( 2 ص ) مجد ان
( س + ع + 4 س ) ÷ ( س + ع ــ 2ع ) = ( 5 س + ع ) ÷ ( س ـــ ع )
الجزء الثاني من االطرف االاول
( ص + 2 ع ) ÷ ( ص ـــ س ) بالضرب في ( 2 ) بسطا ومقاما يكون
2 ( ص + 2 ع ) ÷ 2 ( ص ــ س ) = ( 2ص + 4 ع ) ÷ ( 2ص ــ 2س) ثم التعويض عن قيمة ( 2 ص ) مجد ان
( س + ع + 4 ع ) ÷ ( س + ع ــ 2س ) = ( 5 ع + س ) ÷ ( ع ـــ س)
فيكون الطرف الاول كلة
( 5 س + ع ) ÷ ( س ـــ ع ) + ( 5 ع + س ) ÷ ( ع ـــ س)
وبعد التصفية نحد ان
4( ع ـــ س ) ÷ ( ع ـــ س) = 4