جموع ن حدا ً من المتتابعة الحسابية
حـن = ( ن / 2 ) ( أ + ل )
مثال (1)
أوجد مجموع العشرين حدا ً الأولى من المتتابعة الحسابية التى حدها الأول 60 وحدها العشرين 10 ؟
الحل
حـن = ( ن / 2 )( أ + ل ) =10( 60 + 10 ) = 700
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
مثال (2)
أوجد مجموع الأربعين حدا ً الأولى من المتتابعة الحسابية ( 4 ، 7 ، 10 ،............ )
الحل
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن = ( 40 / 2 ) [ 2×4 + ( 40 – 1) ×3 ]
ﺣ ن = 20[ 8 + 117 ] = 2500
مثال (3)
أوجد مجموع متتابعة حسابية مكونة من 20 حدا ً ، حدها الرابع = 11 ، حدها السابع عشر = 76 ؟
الحل
ح4 =11 أ + 3 ء = 11 (1)
ح17 =76 أ + 16 ء = 76 (2)
13 ء = 65
ء = 5 بالتعويض
أ + 3 × 5 = 11 أ = ــ 4
المتتابعة هى ( ــ 4 ، 1 ، 6 ، ................. )
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن = ( 20 / 2 )[ 2× ــ4 + ( 20 – 1) ×5 ]
ﺣ ن = 10[ ــ 8 + 95 ] = 870
مثال (4)
أوجد عدد الحدود التى يجب أخذها من المتتابعة الحسابية ( 9 ، 12 ، 15 ، ............ ) ابتداء من حدها الأول ليكون المجموع 306 ؟
الحل
ﺣ ن =( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
306 = ( ن / 2 )[ 2× 9 + ( ن – 1) ×3 ]
612 = ن[18 + 3 ن – 3 ]
612 = 3 ن2 + 15 ن (÷3)
ن2 + 5 ن – 204 = 0
( ن – 12 )( ن + 17) =0
ن = 12 ن = ــ 17 مرفوض
مثال (5)
فى المتتابعة ( 36 ، 32 ، 28 ، 0000000 )
• أوجد مجموع العشرة حدود الأولى
• أوجد مجموع العشرة حدود التالية
• كم حدا ً يلزم أخذها ابتداء ً من الحد الأول ليكون المجموع 176 ( فسر الجواب )
الحل
المتتابعة هى ( 36 ، 32 ، 28 ، 0000 )
مجموع العشرة حدود الأولى
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن =( 10 / 2 )[ 2× 36 + ( 10 – 1) ×ــ 4 ]
ﺣ ن = 5[ 72 – 36 ] = 5 × 36 = 180
ح11 = أ + 10 ء = 36 + 10 × ــ 4 = 36 – 40 = – 4
مجموع العشرة حدود التالية
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2ح11 + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن = ( 10 / 2 ) [ 2× – 4 + ( 10 – 1) × – 4]
ﺣ ن = 5[ ــ 8 – 36 ] = ــ 220
ليكون المجموع 176
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
176=( ن / 2 )[ 2× 36 + ( ن – 1) ×ــ 4 ]
352= ن[72 – 4 ن + 4 ]
352 = ــ 4 ن2 + 76 ن
4 ن2 – 76 ن + 352 = 0 (÷4)
ن2 – 19ن + 88 = 0
( ن – 8 )( ن – 11 ) = 0
ن = 8 ن = 11
التفسير هو : ح9 + ح10 + ح11 = صفر
مثال (6)
أوجد متتابعة حسابية مكونة من 21 حدا ً ، مجموع الأحد عشر حدا ًالأولى منها 91 ، مجموع الأحد عشر حدا ً الأخيرة = 385
• أوجد المتتابعة
• أوجد مجموع الثلاثة حدود الوسطى منها ؟
الحل
الأحد عشر حدا ًالأولى :
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
91=( 11 / 2 )[ 2 أ+ ( 11 – 1) ء ]
182 = 11[ 2أ +10 ء ]
91 = 11أ + 55 ء
11 أ + 55 ء = 91 (1)
الأحد عشر حدا ًالأخيرة :
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
385=( 11 / 2 ) [ 2 ح11 + ( 11 – 1) ء ]
385 = 11[ ( أ + 10 ء ) + 5 ء ]
35 = أ + 10 ء +5ء
35= أ + 15 ء (÷2)
أ + 15 ء = 35 (2)
11 أ + 55 ء = 91 (1)
14 ء = = 42 (÷ 14)
ء = 3
بالتعويض فى (1) نجد أن
أ + 3 × 3 = 13
أ + 9 = 13
أ = 4
المتتابعة هى ( 4 ، 7 ، 10 ، 00000 )
رتبة الحد الأوسط = ن + 1 / 2 = 21 + 1 / 2 = 22 / 2 = 11
الحدود الثلاث الوسطى هى ( ح 10 ، ح11 ، ح 12 )
ح 10 + ح11 + ح 12 = أ + 9 ء + أ + 10 ء + أ + 11 ء
= 3 أ + 30 ء
= 3 × 4 + 30 × 3 = 102
مثال (7)
أوجد عدد الحدود التى يجب أخذها من المتتابعة الحسابية ( 18 ، 15 ، 12 ، 0000 ) ابتداء من حدها الأول لتكون النسبة بين مجموع الثلث الأول منها : مجموع باقى الحدود كنسبة 3 : - 2
الحل
نفرض أن عدد الحدود هو 3ن
الثلث الأول
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 1=( ن / 2 ) [ 2 × 18+ ( ن – 1) × – 3]
جـ 1 =( ن / 2 )[ 36 – 3ن + 3 ]
جـ 1 = ( ن / 2 ) ( 39 – 3ن ) (1)
باقى الحدود
ﺣ 2ن = ( ن / 2 )[ 2ح ن + 1 + ( 2ن – 1) ء ]
جـ 2ن = ( ن / 2 ) [ 2 ( 18 – 3ن)+ ( 2ن – 1)× - 3]
جـ 2 = ن[ 36 – 6ن – 6ن + 3 ]
جـ 2 = ن[ 39 – 12 ن ] (2)
جـ 1 / جـ 2 = 3 / - 2
من (1) ، (2) نجد أن
جـ 1 ......( ن / 2 ) ( 39 – 3ن ) ...............3
ــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ
جـ 2 ن .....[ 39 – 12 ن ] ــ 2................. 39 – 3ن 3
– 39 + 3ن = 117 – 36 ن
3 ن + 36 ن = 117 + 39
39 ن = 156 (÷ 39)
ن = 4
عدد حدود المتتابعة = 3 ن = 3 × 4 = 12
|