--------------------------------------------------------------------------------
حساب المثـلثـات
المثلث مكون من 6 عناصر 3 زوايا ، 3 أضلاع وأن إجراء العمليات على هذه العناصر الست قادنا للقول "علم حساب المثلثات" أو حساب المثلثات وكافة القوانين المذكورة هنا للمثلث الذي مجموع زواياه 180 درجة حيث يوجد مثلث كروي فيه مجموع الزوايا أكبر أو أقل من 180ه.
والمثلث المبين بالرسم أ ب حـ أضلاعه الثلاثة أ¯ ، ب¯ ، حـ¯ التي تقابل الزوايا أ ، ب ، حـ على الترتيب. والزاوية تقاس بالتقدير الستيني (الدرجات) والوارد من تقسيم الدرجة إلى 60 دقيقة (60َ ) والدقيقة 60 ثانية (60 ً ) على أساس الزاوية القائمة 90ه بتقسيمها لأقسام متساوية كل منها يسمى درجة ستينية (1ه) في حين التقدير الدائري للزاوية هو النسبة بين طول قوس دائري مركزه رأس الزاوية ومحصور بين ضلعيها وبين نصف القطر وعناصر الزاوية الأساسية ثلاثة هي وضعها الأصلي ووضعها النهائي واتجاه الحركة على أساس دوران مستقيم في مستو حول نقطة من نقاطه وسنتعامل مع الزاوية ذات القياس الرئيسي أي أقل من 360ه والتي تكبرها نطرح منها 360ه أو مضاعفاتها وحال الزاوية سالبة نضيف 360ه أو مضاعفاتها ويفضل إسناد الزوايا إلى 180ه عند حساب النسب المثلثية لها مع مراعاة الإشارة والعلاقات والقوانين التالية صحيحة:
ظل الزاوية ب: طاب = المقابل / المجاور
جيب الزاوية ب: حاب = المقابل / الوبر
جيب تمام الزاوية ب: حتاب= المجاور / الوتر
أ + ب + حـ = 5180
ظل تمام الزاوية ب: طتاب = المجاور / المقابل
أ ، ب زاويتان متتامتان ↔ أ + ب = 590
قاطع تمام الزاوية ب: قتاب = الوتر / المقابل
إذا كان: أ + ب = 590
فــــــإن: حاأ = حتاب ، طاأ= طتاب ، قاأ = قتاب
قاطع الزاوية ب: قاب = الوتر / المجاور
للتحويل من التقدير الدائري للستيني والعكس نستخدم
النسبة × مقلوبها = 1 أي:
طاب × طتاب =1، حاب× قتاب = 1، حتاب× قاب =1
قيم النسب الستة موجبة في الربع الأول لأي زاوية هـ
حاهـ ، مقلوبها موجبة في الربع الثاني والباقية سالبة
طاهـ ، مقلوبها موجبة في الربع الثالث والباقية سالبة
حتاهـ ، مقلوبها موجبة في الربع الرابع والباقية سالبة
حا – هـ = – حاهـ ، حتا – هـ = حتاهـ ، طا – هـ = – طاهـ
قتا – هـ = – قتاهـ ، قا– هـ = قاهـ ، طتا – هـ = – طتاهـ
حا(590 – هـ) = حتاهـ ، حتا(590 – هـ) = حاهـ طا(590 – هـ) = طتاهـ ، طتا(590 – هـ) = طاهـ
قا(590 – هـ) = قتاهـ ، قتا(590 – هـ) = قاهـ حا(590 + هـ) = حتاهـ ، حتا(590 + هـ) = – حاهـ
طا(590 + هـ) = – طتاهـ ، طتا(590+ هـ) = – طاهـ قا(590 + هـ) = – قتاهـ ، قتا(590+ هـ) = قاهـ
حا(5180 – هـ) = حاهـ ، حتا(5180 – هـ) = – حتاهـ طا(5180 – هـ)= – طاهـ ، طتا(5180– هـ)= – طتاهـ
قا(5180 – هـ) = – قاهـ ، قتا(5180 – هـ) = قتاهـ حا(5180+ هـ)= – حاهـ ، حتا(5180+ هـ)= – حتاهـ
طا(5180+ هـ) = طاهـ ، طتا(5180 + هـ) = طتاهـ قا(5180 + هـ) = – قاهـ ، قتا(5180 + هـ) = – قتاهـ
بنفس الطريقة للزاويتين (5270 ± هـ) وأن قيم نسب 5360 هي نفس قيم نسب 0ه ومن حيث في أي مثلث:
أ + ب + حـ = 5180 أي أ + ب = 5180 – حـ فإن حتا(أ+ب)= حتا(5180– حـ)= – حتاحـ ويمكن استنتاج الباقي
وعلى العموم تكتب إشارة النسبة حسب الربع الواقعة فيه الزاوية بعد وضعها على الصورة (م×90± هـ)، م موجبة، هـ حادة ونكتب نفس النسبة (حا) إذا كانت م عدداً زوجياً والنسبة المتممة إذا كانت م عدداً فردياً (حتا).
حا^2 هـ + حتا^2هـ = 1
1 + طا^2هـ = قا^2هـ
1 + طتا^2هـ = قتا^2هـ
حا(أ ± ب) = حاأ حتاب ± حتاأ حاب
حتا(أ + ب) = حتاأ حتاب – حاأ حاب
حتا(أ – ب) = حتاأ حتاب + حاأ حاب
طا( أ + ب) = ( طاأ + طاب) / ( 1 – طاأ طاب )
طا( أ – ب) = ( طاأ - طاب) / ( 1 + طاأ طاب )
حتا(ب – حـ) × حتا(ب + حـ) = حتا^2 ب + حتا^2 حـ – 1
حا(ب + حـ) × حا(ب – حـ) = حا^2ب – حا^2حـ
حا2حـ = 2حاحـ حتاحـ
حتا2حـ= حتا^2 حـ – حا^2 حـ= 2حتا^2 حـ – 1=1–2حا^2 حـ
طا2حـ = ( 2طاحـ ) / ( 1 – طا^2 حـ )
طا3حـ =( طاحـ – طا^3 حـ ) / ( 1 –3طا^2 حـ )
حتا3حـ = 4حتا^3 حـ – 3حتاحـ
حا3حـ = 3حاحـ – 4حا^3 حـ
2حتا^2 حـ = 1 + حتا2حـ (هامة للتكامل)
2حا^2 حـ = 1 – حتا2حـ (هامة للتكامل)
حاب + حا د = 2حا ( ب + د ) / 2 حتا ( ب - د ) / 2
حاب – حا د = 2حتا ( ب + د ) / 2 حا ( ب – د ) / 2
حتاب + حتا د = 2حتا ( ب + د ) / 2 حتا ( ب - د ) / 2
حتاب – حتا د = –2حا( ب + د ) / 2 حا( ب – د ) / 2
2حاب حتا د = حا( ب + د) + حا( ب – د)
2حتاب حا د = حا( ب + د) – حا( ب – د)
2حتاب حتا د = حتا( ب + د) + حتا( ب – د)
2حاب حا د = حتا( ب – د) – حتا( ب + د)
في ∆ أ ب حـ ( أ¯ / حا أ ) = ( ب¯ /حاب ) =( حـ¯ / جا جـ ) = 2 نق
نق نصف قطر الدائرة الخارجة للمثلث (المارة برؤوسه)
أ¯ = ب¯حتاحـ + حـ¯حتاب
ب¯ = حـ¯حتاأ + أ¯حتاحـ
حـ¯ = أ¯حتاب + ب¯حتاأ
( أ¯ )^2= ( ب¯ )^2 + ( حـ¯ )^2 – 2 ب¯حـ¯ حتاأ
حتاأ = [ ( ب¯ )2+ (حـ¯ )2– ( أ¯ )2 ] / 2 ب¯حـ¯
( ب¯ )2= ( حـ¯ )2 + ( أ¯ )2 – 2 حـ¯ أ¯ حتاب
حتاب= [ (حـ¯ )2+ ( أ¯ )2– ( ب¯ )2 ] / 2 حـ¯ أ¯
( حـ¯ )2= ( أ¯ )2 + ( ب¯ )2 – 2 أ¯ ب¯ حتاحـ
حتاحـ= [ ( أ¯ )2+ (ب¯ )2– ( حـ¯ )2 ] / 2 أ¯ ب¯
المثلث أ ب حـ ، بوضع أ¯ + ب¯ + حـ¯ = 2ح، نق نصف قطر الدائرة الداخلة، ∆ رمز لمساحة المثلث أ ب حـ
∆ = جذر [ ح( ح – أ¯ )(ح – ب¯ )(ح – حـ¯ ) ]
حل المثلث في حالاته
الحالة الأولى: إذا علمت أضلاع المثلث الثلاث
نستخدم قانون ظل نصف الزاوية كأفضل القوانين وأدقها ويفضل التقريب لنصف دقيقة وفي حالة استخدام قانون جيب التمام للأعداد البسيطة تحدد الإشارة في الناتج كون الزاوية حادة(+) أو منفرجة(–) ومع كون الضلع الأكبر يقابل الزاوية الكبرى والضلع الأصغر يقابل الزاوية الصغرى.
الحالة الثانية: إذا علم من المثلث زاويتان وضلع
نوجد الزاوية الثالثة من أ + ب + حـ = 180ه ونوجد الضلعين الآخرين من قانون الجيب
( أ¯ / حا أ ) = ( ب¯ /حاب ) =( حـ¯ / جا جـ )
الحالة الثالثة: إذا علم من المثلث ضلعان والزاوية المحصورة بينهما
ليكن الضلعان المعلومان هما ب¯ ، حـ¯ ، ب¯> حـ¯ ونوجد ( ب – حـ / 2 ) من القانون
طا ( ب – حـ / 2 ) =( ب¯ – حـ¯ / ب¯ + حـ¯ ) طتا ( أ / 2 )
آخر مواضيع
abo_rami9 موسوعة أسئلة أكمل في الهندسة لجميع صفوف المرحلة الاعدادية 
المفاهيم الرياضية مشكلة التأخر الدراسي خطوات حل المسائل الرياضية شرح حساب المثلثات للمرحلة الثانوية