* النهايــات
* بعـض المفـاهيـم و التعـاريـف
قبـل البـدء في دراسـة موضـوع النهـايـات فتـذكـر بعـض التعـاريـف والمفاهيم :
* أولاً : مجمـوعـة الأعـداد الحقيـقيـة
- مجمـوعـة الأعـداد الطبيـعيـة
ط = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، …………… }
مجمـوعـة غيـر منتهيـة
- مجمـوعـة الأعـداد الصحـيحـة
ص ={... ، 4، 3 ،2 ، 1 ، 0 ، -1 ، -1 ، -3 ، .........}
ص = ص + { . }ص -
- مجمـوعـة الأعـداد النسبيــة
- مجمـوعـة الأعـداد غيـر النسبيـة ن/
بحيـث أ ، بص يسمـى عـدد غيـر نسبـي
مثــل:
- مجمـوعـة الأعـداد الحقيقيـة
ح = ن ن/
مـلاحظــة :
1) طص نح
2) كـل عـدد حقيقـي يمـكن تمثيـله على خـط الأعـداد بنقـطة أي أن كل نقـطة
على خط الأعـداد تمثل عــدد حقيقـي .
* ثـانيـاً : مجـال الدالـة
نعـلم من دراستنـا للدالـة
و هـذا يعنـي أن الدالـة د( س ) لهـا قيمـة عنـد جميـع الأعـداد الحقيقيـة عـدا الصفـر
و يمكـن أن نقـول أن الدالـة ليسـت معـرفـة عنـد س = 0
* ثـالثـاً : الرمـزان ¥ ، -¥
عنـد اقتـراب قيمـة س من العدد صفـر أي عنـد س 0 ) س تـؤول إلـى الصفـر (
، د( 0.001 ) = 1000
أي كلمـا اقتربـت قيمـة س من الصـفر من اليميـن فان قيمـة الدالـة تتـزايـد بصـورة مستمـرة لدرجـة أنهـا تصبـح أكبـر من أي عـدد حقيقـي موجـب ، و فـي هـذه الحـالة نستخـدم الرمـز ( مـا لا نهـايـة )
، د( -0.001 )= -1000
أي أن عنـد اقتـراب قيمـة س من الصفـر من اليسـار فان قيمـة الدالـة تتنـاقـص لدرجـة أنهـا تصبـح أصغـر من أي عـدد حقيقـي سالـب،و فـي هـذه الحـالـة نستخـدم الرمـز-(سالـب مـا لا نهـايـة)
ملاحظـات هـامـة
* رابعـا:الكميـاتالمعينـةوالكميـات غيـرالمعينـة
1) الكميـات المعينـة هـي الكميـة التي لهـا قيمـة محـددة
مثـلاً:
أي أن أي عـدد حقيـقـي هـو كميـة معيـنة
ليـس لهـا معنـى ( غيـر معـرفـة )
3) الكميـة التـي ليـس لهـا جـواب محــدد
مثـل:
أو أو-
تسمـى كميـات غيــر معينــة
* النهـايـات : نهـاية دالـة عنـد نقطـة
لإيجـاد قيمـة دالـة د( س ) عنـدمـا س أ
فإننا نقـول أن س = أ + هـ
عنـد هـ < صفـر فـان س < أ
عنـد هـ > صفـر فـان س > أ
و تعبـر عـن ذلـك
س أ عنـدمـا هـ 0
مثـال :
إذا كـانت س 3
يعنـي أن س تقتـرب منالعـدد 3
أي أن س 3 أي س = 3 + هـ
مثـال :
إذا كـانت د( س ) = 3 س - 5 ،
أوجـد قيمـة مـا تؤول إليـه د( س ) عنـدمـا س 1
الحـل:
س 1 تعنـي أن س = 1 + هـ
د(1 + هـ) = 3( 1 + هـ ) - 5
= 3 هـ + 3 - 5
= 3 هـ - 2
عنـدمـا س 1 هـ 0
د( س ) -2 عنـدمـا س 1
و نعبـر عـن ذلـك:
نـهــا د( س ) = -2
س1
مـلاحظـة:
في المثـال السـابـق يمكـن إيجـاد نـهــا د( س ) بإيجـاد د( 1 )
د( س ) = 3 س - 5
د( 1 ) = 3( 1 ) - 5 = 3 - 5 = -2 = نـهــا د ( س )
و من ذلـك نستنتـج أن نـهــا د( س ) = د( 1 )
مثـال :
مثـال :
و لإيجـاد نـهــا د( س )
س3
مـلاحظـة
لإيجـاد نـهــا د( س )
سأ
- نوجــد د( أ )
1) إذا كـان د( أ ) كميـة معينـة
فـإن نـهــا د( س ) = د( أ )
سأ
2) إذا كـان د( أ ) كميـة غيـر معينـة
فـإن نـهــا د( س ) = نـهــا د(أ + هـ)
سأ هـ0
مثـال :
مثـال :
* بعـض النظـريـات الأسـاسيـة فـي النهـايـات
- نظـريـة (1)
نهـايــة دالـة كثيـرة الحـدود
إذا كـانت د( س ) كثيـرة حـدود فـي المتغيـر س
فـإن نـهــا د( س ) = د( أ )
سأ
نتيجـة:
إذا كـانت د( س ) = ك ، ك ح (ك عـدد ثـابـت)
فـإن نـهــا د( س ) = ك
سأ
مثـال :
أوجــد: نـهــا( 5س3 - 7س2 + 3س - 2 )
س2
الحـل:
نـهــا د( س ) = د( 2 )
س2
= 5( 2 )3 - 7( 2 )2 + 3( 2 )
= 40 - 28 + 6 - 2 = 16
نظـريـة (2)
إذا كـانـت د( س ) ، ر( س ) ، ……… ، ق( س ) دوال فـي المتغيـر س
و كـان نـهــا د( س ) = ل ، نـهــا ر( س ) = م
سأ
، نـهــا ق( س ) = ن .... فإن
سأ
1) نـهــا [ د( س ) ر( س ) …… ق( س )]
سأ
= ل م .. ن
2) نـهــا د( س ) . ر( س ) = ل . م
سأ
3) نـهــا ك د( س ) = ك نـهــا د( س ) = ك . ل
سأ سأ
مثـال :
- نظـريـة (3)
إذا كـان ق( س ) ، ل( س ) دالتيـن للمتغيـر س
و كانت ق( س ) = ل( س ) س ح - { أ }
و كانت نـهــا ل( س ) لهـا و جـود
سأ
فـإن نـهــا ق( س ) = نـهــا ل( س )
سأ سأ
- مـلاحظـات
تستخـدم نظـريـة (3) لإيجـاد نهـاية دالـة كسـريـةجبريـة
د( س ) عنـدمـا س أ و كان د( أ ) = كميـة غير معينـة
أي أن :
( س - أ ) عامل من عوامـل البسط و المقام (و يسمى بالعامل الصفري)
ولإيجـاد نـهــا د( س )
سأ
1) نختصـر العـامل ( س - أ ) من البسـط والمقـام بالتحليـل أوقسمـة كل من البسط و المقام على ( س - أ )باستخـدام القسمـة المطـولة
2) بعـد اختصـار العامـل المشتـرك نحصـل على دالـة جـديـدة
ل( س ) = د( س ) ، س أ
نـهــا د( س ) = نـهــا ل( س )
سأ سأ
مثـال :
مثـال :
* نهاية الدالة عند اللانهاية
فى هذا الدرس ندرس نهاية الدالة عندما تزداد قيمة س بغير حدود أى عند س
إذا كانت د(س) ل ' ح عند س
فأننا نعبر عن ذلك:
مثال تمهيدى:
د(9) = 2.8
د(99) = 2.98
د(999) = 2.998
د(9999) = 2.9998
د(99999) = 2.99998
من الخطوات السابقة نلاحظ أن عند س
فأن د(س) 3
مع ملاحظة أنه بالتعويض المباشر بوضع س =
, د(س) = كمية غير معينة
مثال:
إذا كانت د(س) =
أوجد
الحل:
إدخال عدد محدود من الأوساط الهندسية بين عددين
* النهايــات
* بعـض المفـاهيـم و التعـاريـف
قبـل البـدء في دراسـة موضـوع النهـايـات فتـذكـر بعـض التعـاريـف والمفاهيم :
* أولاً : مجمـوعـة الأعـداد الحقيـقيـة
- مجمـوعـة الأعـداد الطبيـعيـة
ط = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، …………… }
مجمـوعـة غيـر منتهيـة
- مجمـوعـة الأعـداد الصحـيحـة
ص ={... ، 4، 3 ،2 ، 1 ، 0 ، -1 ، -1 ، -3 ، .........}
ص = ص + { . } ص -
- مجمـوعـة الأعـداد النسبيــة
- مجمـوعـة الأعـداد غيـر النسبيـة ن/
بحيـث أ ، ب ص يسمـى عـدد غيـر نسبـي
مثــل:
- مجمـوعـة الأعـداد الحقيقيـة
ح = ن ن/
مـلاحظــة :
1) ط ص ن ح
2) كـل عـدد حقيقـي يمـكن تمثيـله على خـط الأعـداد بنقـطة أي أن كل نقـطة
على خط الأعـداد تمثل عــدد حقيقـي .
* ثـانيـاً : مجـال الدالـة
نعـلم من دراستنـا للدالـة
و هـذا يعنـي أن الدالـة د( س ) لهـا قيمـة عنـد جميـع الأعـداد الحقيقيـة عـدا الصفـر
و يمكـن أن نقـول أن الدالـة ليسـت معـرفـة عنـد س = 0
* ثـالثـاً : الرمـزان ، -
عنـد اقتـراب قيمـة س من العدد صفـر أي عنـد س 0 ) س تـؤول إلـى الصفـر (
، د( 0.001 ) = 1000
أي كلمـا اقتربـت قيمـة س من الصـفر من اليميـن فان قيمـة الدالـة تتـزايـد بصـورة مستمـرة لدرجـة أنهـا تصبـح أكبـر من أي عـدد حقيقـي موجـب ، و فـي هـذه الحـالة نستخـدم الرمـز ( مـا لا نهـايـة )
، د( -0.001 )= -1000
أي أن عنـد اقتـراب قيمـة س من الصفـر من اليسـار فان قيمـة الدالـة تتنـاقـص لدرجـة أنهـا تصبـح أصغـر من أي عـدد حقيقـي سالـب،و فـي هـذه الحـالـة نستخـدم الرمـز- (سالـب مـا لا نهـايـة)
ملاحظـات هـامـة
* رابعـا:الكميـات المعينـةوالكميـات غيـر المعينـة
1) الكميـات المعينـة هـي الكميـة التي لهـا قيمـة محـددة
مثـلاً:
أي أن أي عـدد حقيـقـي هـو كميـة معيـنة
ليـس لهـا معنـى ( غيـر معـرفـة )
3) الكميـة التـي ليـس لهـا جـواب محــدد
مثـل:
أو أو -
تسمـى كميـات غيــر معينــة
* النهـايـات : نهـاية دالـة عنـد نقطـة
لإيجـاد قيمـة دالـة د( س ) عنـدمـا س أ
فإننا نقـول أن س = أ + هـ
عنـد هـ < صفـر فـان س < أ
عنـد هـ > صفـر فـان س > أ
و تعبـر عـن ذلـك
س أ عنـدمـا هـ 0
مثـال :
إذا كـانت س 3
يعنـي أن س تقتـرب من العـدد 3
أي أن س 3 أي س = 3 + هـ
مثـال :
إذا كـانت د( س ) = 3 س - 5 ،
أوجـد قيمـة مـا تؤول إليـه د( س ) عنـدمـا س 1
الحـل:
س 1 تعنـي أن س = 1 + هـ
د(1 + هـ) = 3( 1 + هـ ) - 5
= 3 هـ + 3 - 5
= 3 هـ - 2
عنـدمـا س 1 هـ 0
د( س ) -2 عنـدمـا س 1
و نعبـر عـن ذلـك:
نـهــا د( س ) = -2
س 1
مـلاحظـة:
في المثـال السـابـق يمكـن إيجـاد نـهــا د( س ) بإيجـاد د( 1 )
د( س ) = 3 س - 5
د( 1 ) = 3( 1 ) - 5 = 3 - 5 = -2 = نـهــا د ( س )
و من ذلـك نستنتـج أن نـهــا د( س ) = د( 1 )
مثـال :
مثـال :
و لإيجـاد نـهــا د( س )
س 3
مـلاحظـة
لإيجـاد نـهــا د( س )
س أ
- نوجــد د( أ )
1) إذا كـان د( أ ) كميـة معينـة
فـإن نـهــا د( س ) = د( أ )
س أ
2) إذا كـان د( أ ) كميـة غيـر معينـة
فـإن نـهــا د( س ) = نـهــا د(أ + هـ)
س أ هـ 0
مثـال :
مثـال :
* بعـض النظـريـات الأسـاسيـة فـي النهـايـات
- نظـريـة (1)
نهـايــة دالـة كثيـرة الحـدود
إذا كـانت د( س ) كثيـرة حـدود فـي المتغيـر س
فـإن نـهــا د( س ) = د( أ )
س أ
نتيجـة:
إذا كـانت د( س ) = ك ، ك ح (ك عـدد ثـابـت)
فـإن نـهــا د( س ) = ك
س أ
مثـال :
أوجــد: نـهــا( 5س3 - 7س2 + 3س - 2 )
س 2
الحـل:
نـهــا د( س ) = د( 2 )
س 2
= 5( 2 )3 - 7( 2 )2 + 3( 2 )
= 40 - 28 + 6 - 2 = 16
نظـريـة (2)
إذا كـانـت د( س ) ، ر( س ) ، ……… ، ق( س ) دوال فـي المتغيـر س
و كـان نـهــا د( س ) = ل ، نـهــا ر( س ) = م
س أ
، نـهــا ق( س ) = ن .... فإن
س أ
1) نـهــا [ د( س ) ر( س ) …… ق( س )]
س أ
= ل م .. ن
2) نـهــا د( س ) . ر( س ) = ل . م
س أ
3) نـهــا ك د( س ) = ك نـهــا د( س ) = ك . ل
س أ س أ
مثـال :
- نظـريـة (3)
إذا كـان ق( س ) ، ل( س ) دالتيـن للمتغيـر س
و كانت ق( س ) = ل( س ) س ح - { أ }
و كانت نـهــا ل( س ) لهـا و جـود
س أ
فـإن نـهــا ق( س ) = نـهــا ل( س )
س أ س أ
- مـلاحظـات
تستخـدم نظـريـة (3) لإيجـاد نهـاية دالـة كسـريـةجبريـة
د( س ) عنـدمـا س أ و كان د( أ ) = كميـة غير معينـة
أي أن :
( س - أ ) عامل من عوامـل البسط و المقام (و يسمى بالعامل الصفري)
ولإيجـاد نـهــا د( س )
س أ
1) نختصـر العـامل ( س - أ ) من البسـط والمقـام بالتحليـل أوقسمـة كل من البسط و المقام على ( س - أ )باستخـدام القسمـة المطـولة
2) بعـد اختصـار العامـل المشتـرك نحصـل على دالـة جـديـدة
ل( س ) = د( س ) ، س أ
نـهــا د( س ) = نـهــا ل( س )
س أ س أ
مثـال :
مثـال :
* نهاية الدالة عند اللانهاية
فى هذا الدرس ندرس نهاية الدالة عندما تزداد قيمة س بغير حدود أى عند س
إذا كانت د(س) ل ح عند س
فأننا نعبر عن ذلك:
مثال تمهيدى:
د(9) = 2.8
د(99) = 2.98
د(999) = 2.998
د(9999) = 2.9998
د(99999) = 2.99998
من الخطوات السابقة نلاحظ أن عند س
فأن د(س) 3
مع ملاحظة أنه بالتعويض المباشر بوضع س =
د(س) = كمية غير معينة
مثال:
إذا كانت د(س) =
أوجد
الحل:
إدخال عدد محدود من الأوساط الهندسية بين عددين
إذا كان أ ، ب كميتين معلومتين وأردنا إدخال ن من الأوساط الهندسية بينهما فإنه تنتج متتابعة هندسية
حدها الأول أ وحدها الأخير ب وعدد حدودها ن + 2
مثال :
أدخل 3 أوساط هندسية بين العددين 5 ، 405
الحل :
الحد الأول أ = 5 الحد الأخير ح5 = 405
أ ر4 = 405
5 ر4 = 4.5 ر4 = 81
ر4 = ( ± 3 )4
ر = ± 3
الأوساط الهندسية أ ر ، أ ر2 ، أ ر3
15 ، 45 ، 135 أو -15 ، 45 ، -135
مثال :
إذا كانت أ + 1 ، أ + 9 ، 2 أ + 30 ثلاثة حدود متتالية من متتابعة هندسية . أوجد قيمة أ
الحل :
أ + 1 ، أ + 9 ، 2 أ + 30
تكون متتابعة هندسية
( أ + 9 )2 = ( أ + 1 ) ( 2 أ + 30 )
أ2 + 18 أ + 81 = 2 أ2 + 32 أ + 30
أ2 + 14 أ - 51 = 0
( أ + 17 ) ( أ - 3 ) = 0
أ = -17 أو أ = 3
مثال:
* نهاية الدوال المثلثية
من دراستنا السابقة نجد أن:
الأشتقاق
* دالة التغير - دالة متوسط التغير - معدل التغير
إذا كانت د: ] أ، ب [ ح
حيث ص = د(س)
لكل س ] أ ، ب [ يناظرها قيمة واحدة للمتغير ص
إذا تغيرت س من س1 إلى س2
فأن: ص تتغير من ص1 = د(س1) إلى ص2 = د(س2)
أى أن :
التغير فى س هـ = س2 - س1
يقابله التغير فى ص د(س2) - د(س1)
س2 = س1 + هـ
التغير فى ص ∆ص = د(س2) - د(س1)
∆ص = د(س1 + هــ) - د(س1)
أى أن:
التغير هـ فى س يقابله تغير د(س1 + هـ )-د(س1)فى ص
إذااعتبرنا س1 نقطة فى مجال الدالة)د( يكون لنا دالة جديدة
تسمى دالة التغير
بقسمة دالة التغير ت على هـ هـ ≠ 0 نحصل على دالة جديدة:
* التفسير الهندسى لمعدل التغير - المشتقة الأولى
* قواعد الاشتقاق
لايجاد المشتقة الأولى باستخدام التعريف نجد أنها عملية طويلة وفيها صعوبة وسوف نقوم بدراسة بعض النظريات الاولية التى يمكن استخدامها لايجاد مشتقات بعض الدوال.
* نظرية (1)
* نظرية (2)
* بعض قواعد الاشتقاق بدون برهان
مثال:
مثال:
* مشتقة دالة الدالة
* نظرية (1)
مثال:
نتائج هامة:
مثال:
* المشتقة الأولى للدوال المثلثية