[شحات جامع]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

المجموع المطلوب=7(1+11+111+.......................الى 20حدا)
وبملاحظة ان 1 سيتكرر 20مرة فى خانة الاحاد و19مرة فى العشرات،.. وبالتالى يكون المجموع

=7(1*20+10*19+100*18+..........................+10 ^19) وبفرض 10=س

=7(20+19س+18س^2+.............+2س^18 +س^19) ------->(1)

ولكن (س-1)(20+19س+18س^2+.....+2س^18+س^19)

=س+س^2+س^3+........+س^20 -20 وما فوق الخط مجموع متتابعة هندسية

=(س^21 -س)/(س-1) -20

اذن 20+19س+18س^2+......+س^19=(س^21 -21س+20)/(س-1)^2
يالتعويض فى1 والتعويض عن س=10

المجموع المطلوب=7* (10^21 -210+20)/81 =7(10^21 -190)/81