تعاريف و مفاهيم أساسية
1) أوجد قياس القوس الذي يساوي 2/5 من قياس دائرة طول نصف قطرها 35 سم
، و كذلك طوله ؟ ( ط = 22/7 )
2) أ ب حـ د مستطيل مرسوم داخل دائرة ، رسم الوتر د هـ بحيث د هـ = د حـ ،
برهن أن ب هـ = أ د ؟
3) أ ب ، حـ د وتران متوازيان في الدائرة م ، ق ( حـ م أ ) = 75 ْ
، ق ( م أ ب ) = 50 ْ . أوجد قياس القوس ( حـ د ) ؟
4) أ ب حـ د شكل رباعي مرسوم داخل دائرة بحيث أ حـ قطر ، أ د = أ ب ،
برهن أن د حـ = ب حـ ؟
5) أ ب حـ د شكل رباعي مرسوم داخل دائرة م بحيث ق ( م ب أ ) = 42 ْ
، ق ( م ب حـ ) = 50 ْ . أوجد قياس القوس ( حـ د )
6) أ ب حـ د مستطيل مرسوم داخل دائرة ، هـ منتصف القوس ( د حـ ) ،
برهن أن أ هـ = ب هـ ؟
7) قياس 1/2 الدائرة = …….. ، قياس 1/4 الدائرة = ……..
8) طول 1/2 الدائرة = …….. ، طول 1/4 الدائرة = ……..
تمارين علي نظرية ( 1 )
1) أ ب حـ مثلث مرسوم داخل دائرة م ، ق ( < ب ) = 30 ْ برهن أن أ حـ = نق ؟
2) أ ب حـ مثلث مرسوم داخل دائرة م ، رسم م أ ، م ب بحيث ق (< م أ حـ) = 35 ْ
، ق ( م ب حـ ) = 32 ْ . أوجد ق ( < أ م ب )؟
3) أ ، ب ، حـ ثلاث نقط تنتمي للدائرة م بحيث يقعوا جميعا في جهة واحدة من م . فإذا كان ق ( أ حـ ب ) = 120 ْ . أوجد قياس (< أ ب م ) ؟
4) ب حـ ، د هـ وتران في دائرة م بحيث حـ ب ∩ هـ د = { أ }
، ق ( < حـ م هـ )= 100 ْ ، ق (< ب م د ) = 40 ْ . أوجد ق (< أ ) ؟
5) ب هـ ، حـ د وتران في الدائرة ، الشعاع ب د ∩ الشعاع هـ حـ = { و }
، الشعاع ب هـ ∩ الشعاع حـ د = { أ }
فإذا كان ق (< ب و حـ) = 80 ْ ، ق القوس ( هـ د ) = 50 ْ ، أوجد :
1) ق القوس ( ب حـ ) 2) ق ( < ب أ حـ )
نظرية ( 2 )
1) أ ب قطر في دائرة م ، د ، حـ في جهة واحدة من أ ب ، رسم ب حـ ، ب د ، أ د بحيث
ق ( < أ ب حـ ) = 20 ْ أوجد ق ( < ب د حـ ) ؟
2) حـ ب ، هـ د وتران في دائرة بحيث حـ ب ∩ هـ د = { أ } ،الشعاع حـ د ∩الشعاع هـ ب = { س } فإذا كان ق ( < أ ) = 45 ْ ، ق ( < ب هـ د ) = 27 ْ أوجد :
1) ق ( < حـ د هـ ) 2) ق ( < حـ س هـ )
3) أ ب ، أ د وتران متساويان في الدائرة بحيث ق ( < أ ب د ) = 75 ْ، حـ ' للقوس (أ ب ) أوجد ق ( < ب حـ د ) ؟
الرباعي الدائري
1) إذا كان أ ب حـ د شكل رباعي ، أ د ∕∕ ب حـ ، أ حـ ∩ ب د = { و } ، بحيث و ب = و جـ فهل يكون الشكل أ ب حـ د رباعي دائري ؟
2) أ ب حـ مثلث فيه د تنتمي الي أ حـ ، هـ تنتمي الي أ ب بحيث ق ( < أ هـ حـ ) = ق ( < أ د ب ) ،
أثبت أن الشكل هـ ب حـ د رباعي دائري ؟
3) أ ب حـ د رباعي دائري ، الشعاع أ هـ ينصف ( < ب أ حـ ) ، الشعاع د و ينصف ( < ب و حـ )،
أثبت أن : 1) الشكل أ هـ و د دائري .
2) هـ و // ب حـ .
4) أ ب قطر في الدائرة م ,هـ تنتمي الي م أ ، رسم هـ د ┴ أ ب بحيث د تـقع خارج الدائرة م
، رسمت د ب فقطعت الدائرة م في حـ ، أثبت أن : الشكل أهـ حـ د دائري .
5) أ ب قطر في الدائرة م ، أحـ وتر فيها ، د منتصف أ حـ ، رسم الشعاع د م فقطع الدائرة م
في هـ ، ورسم ب و ┴ أ ب فقطع الشعاع أحـ في و أثبت أن :
1 ) الشكل م ب و د دائري 2) ق ( < و ) = 2 ق (< ب أ هـ )
6) أ ب قطر في الدائرة د تنتمي الي أ ب ، رسم د هـ ┴ أ ب بحيث هـ خارج الدائرة ، ورسم
هـ أ فقطع الدائرة في س ، رسم الشعاع س د فقطع الدائرة في ص ، أ ثبت أن :
1) الشكل هـ ب د س دائري . 2) الشعاع ب أ ينصف ( < هـ ب ص )
7) أحـ قطر في الدائرة م ، س منتصف القوس( أ جـ) ، حـ ص مماس للدائرة يقطع الشعاع س م في ص
أثبت أن : (1) الشكل أس حـ ص دائري .
(2) ق ( < س م حـ) = 2 ق ( م ص حـ )
& خاص بالطلبة الفائقين :
8) أ ب حـ د شكل رباعي دائري ، الشعاع أ س ،الشعاع ب ص ، الشعاع حـ ع ، الشعاع د ل منصفات زوايا رؤوسه ،
أثبت أن : الشكل س ص ع ل دائري ؟
9) أ ب حـ مثلث مرسوم داخل دائرة الشعاع أ د ┴ ب حـ يقطعه في د ، و يقطع الدائرة في و
، ب هـ ┴ أ حـ أثبت أن : 1) الشكل أ ب د هـ دائري .
2) ب حـ ينصف ( < هـ ب و ) .
10) أ ب حـ مثلث حاد الزوايا مرسوم داخل دائرة ، رسم الشعاع أ د ┴ ب حـ فقطع ب حـ في د
و الدائرة في هـ ، رسم حـ و ┴ أ ب ، و قطع أ ب في و . أثبت أن :
1) الشكل أ و د حـ دائري . 2) ق (< ب و د ) = ق ( < ب هـ د )
11) أ ب حـ د شكل رباعي دائري ق ( < أ ) = س ْ ، ق ( ب حـ د ) = 4س ْ ،
أوجد: 1) قيمة س بالدرجات . 2) ق ( < ب م د ) .
12) أ ب حـ د شكل رباعي دائري فيه س ص // ب حـ ، أثبت أن :
الشكل أ س ص د رباعي دائري ؟
13) أ ب حـ مثلث متساوي الساقين فيه أ ب = أ حـ ، س تنتمي الي أ ب ، ص 'تنتمي الي أ حـ بحيث
س ص // ب حـ أثبت أن الشكل س ب حـ ص رباعي دائري ؟
14) أ ب حـ د شكل رباعي دائري ، ق ( < أ ) = 60 ْ ، حـ د = حـ هـ ، رسم هـ تنتمي الي الشعاع ب حـ
بحيث حـ هـ = حـ د . برهن أن المثلث د حـ هـ متساوي الأضلاع .
15) أ ب ، أ حـ وتران متساويان يحصران بينهما زاوية 45 ْ ، د ، هـ منتصفي أ ب ، أ حـ
رسم الشعاع هـ م فقطع أ ب في و . برهن أن :
1) الشكل أ د م هـ دائري . 2) م د = م هـ = د و .
16) أ س ص ع شكل رباعي دائري في دائرة ن بحيث ق ( < ن س ص ) = 50 ْ
، ق ( < ن ع ص ) = 70 ْ . أوجد ق ( < أ ) .
* خاص بالطلبة الفائقين :
* أ ب حـ مثلث فيه ب هـ ┴ أ حـ ، أ د ┴ ب حـ ، أ د ∩ ب هـ = { م } رسم الشعاع حـ م
فقطع أ ب في و . برهن أن : 1)لشكل ب و هـ حـ دائري .2) أذكر ستة أشكال دائرية .
التماس ( نظرية 4 )
1) دائرة م تمس أضلاع المثلث أ ب حـ من الداخل في س ، ص ، ع . فإذا كان أ س = 4 سم
، ب ص = 3 سم ، حـ ع = 5 سم فأوجد محيط المثلث أ ب حـ .
2) دائرتان م ، ن متماستان من الخارج في نقطة أ ، رسم ب حـ مماس مشترك خارجي
أثبت أن ق ( < ب أ حـ ) = 90 ْ .
3) دائرتان متحدتا المركز م ، رسم أ ب ، أ حـ وتران في الكبري يمسان الصغري في د ، هـ
برهن أن :
1- د ب = هـ حـ 2- د هـ // ب حـ
& خاص بالطلبة الفائقين :
4) أ ب ، أ حـ مماسان للدائرة م ، رسم هـ و مماس للدائرة م عند س حيث هـ تنتمي الي أ ب ، و تنتمي الي أ حـ
برهن أن محيط المثلث أ هـ و = 2 أ ب
5) أ ب ، أ حـ قطعتان مماستان للدائرة م ، يحصران بينهما زاوية قياسها 45 ْ ، رسم ب م
فقطع أ حـ في د أوجد ق (< حـ م د ) ثم برهن أن :
أ د = أ ب + حـ م
نظرية ( 5 )
1) أ ب ، أ حـ وتران متساويان في دائرة ، رسم حـ د مماس للدائرة بحيث ق ( < ب حـ د ) = 70 ْ أوجـــد
ق ( < حـ أ ب) ، ق ( < حـ ب أ ) .
2) د نقطة خارج دائرة ، رسم د أ ، د ب مماسان للدائرة ، حـ تنتمي الي القوس أ ب الأكبر فإذا كان ق ( < د ) = 64 ْ أوجـد
ق ( < ب أ حـ ) ، ق ( < د ب أ ) .
3) دائرة مركزها م ، أ ب قطر فيها ، حـ تنتمي الي أ ب ، رسم حـ د مماس للدائرة م بحيث ق ( < د أ ب ) = 25 ْ
أوجد ق ( < ب د حـ ) ، ق ( < حـ ) .
4) أ ب حـ د شكل رباعي مرسوم داخل دائرة بحيث ق ( < حـ ) = 105 ْ ، ق ( < ب د أ ) = 35 ْ رســم
س أ ص مماس للدائرة عند أ . أوجد ق (< س أ ب ) ، ق ( < ص أ د ) .
5) دائرة تمس أضلاع المثلث أ ب حـ من الداخل في س ، ص ، ع علي الترتيب فإذا كان ق ( < ب ) = 40 ْ
، ق ( < حـ ) = 60 ْ فأوجد قياس كل زاوية من زوايا المثلث س ص ع .
6) دائرة تمس أضلاع المثلث أ ب حـ من الداخل في س ، ص ، ع علي الترتيب فإذا كان ق ( < ع ) = 44 ْ
، ق ( < س ) = 70 ْ . فأوجد قياس كل زاوية من زوايا المثلث أ ب حـ .
7) أ ب ، أ حـ قطعتان مماستان للدائرة م ، د تنتمي الي القوس ب حـ الأكبر بحيث ق ( < د م ب ) = 100 ْ ، ق (< أ )= 80ْ
أوجد ق ( < ب حـ د ) ، ق ( < حـ د م ) .
8) دائرتان متماستان من الداخل في أ ، رسم أ حـ ، أ هـ وتران في الكبري يقطعان الصغري في ب ، د . برهن أن
ب د // حـ هـ .
اختبار عام علي الفصل الدراسي الثاني
( 1 ) أ – ضع علامة صح أمام العبارة الصحيحة و علامة ( × ) أمام العبارة الخاطئة :-
1) قياس الزاوية المحيطية = 1/2 قياس الزاوية المركزية .
2) القوسان المحصوران بين وتر و مماس يوازيه في الدائرة متساويان في القياس .
3) قياس نصف الدائرة = ط نق
ب) دائرة مركزها م ، أ حـ قطر فيها ، ب ، د تنتمي الي أ حـ في جهتين مختلفتين من أ حـ ، ق ( < حـ أ ب ) = 25 ْ ( ملاحظة ب , د تنتمي الي القوس أ جـ ) أوجد ق ( < أ ب حـ ) ، ق ( < أ د ب ) .
( 2 ) أ- أكمل العبارات الآتية بكلمات مناسبة :
1) المماسان المرسومان من نهايتي قطر في دائرة ………….
2) القطعتان المماستان المرسومتان من نقطة خارج دائرة ……….
3) قياس الزاوية المماسية = قياس الزاوية ………….
ب- أ ب حـ مثلث مرسوم داخل دائرة ، د تنتمي الي أ ب ، هـ تنتمي الي أ حـ ، رسم الشعاع أ س مماس بحيث
ق ( < س أ ب ) = ق (< د هـ أ ) . برهن أن : د هـ // ب حـ .
( 3 ) أ- أوجــد قياس القوس الذي يمثل 1/5 قيــاس الدائرة التي نصف قطرها 35 سم
، و كذلك أوجد طوله . ( ط = 22/7 )
ب- رسمت دائرة م داخل المثلث أ ب حـ تمس أضلاعه في س ، ص ، ع علي الترتيب فإذا كان
أ س = 4سم ، ب ص = 3 سم ، حـ ع = 5 سم . أحسب محيط المثلث أ ب حـ .
( 4 ) أ ب حـ مثلث مرسوم داخل دائرة ، الشعاع أ د ┴ ب حـ يقطعه في د و يقطع الدائرة في ص ، ب هـ ┴ أ حـ
يقطعه في هـ برهن أن :-
1- الشكل أ ب د هـ رباعي دائري .
2- ق (< أ ص حـ ) = ق (< د هـ حـ ) .
3- ب حـ ينصف (< هـ ب ص )
منقول