[الابوتيجي]

د(س) = جتاس

د(س+هـ) - د(س) جتا(س+هـ) - جتاس
دَ(س) = نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ = نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ←0 هـ هـ←0 هـ

بإستعمال متطابقة مجموع زاويتين ...

جتاس جتاهـ - جاس جاهـ - جتاس
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــ
هـ←0 هـ

بتوزيع البسط والنهاية على المقام بالطرييقة التالية ...

جتاس جتاهـ - جتاس جاس جاهـ
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــ - نهــــــــــا ــــــــــــــــــ
هـ←0 هـ هـ←0 هـ

وهنا اريد ان انبه على شىء هام جداً وهى ان هذه النهايات بالنسبة لـ هـ
اذاً القسمة س نستطع ان نضعها خارجها كما يلى ..

جتاهـ - 1 جاهـ
= جتاس نهــــــــا ــــــــــــــــــ - جاس نهـــــــا ــــــــــ
هـ←0 هـ هـ←0 هـ

جتاهـ - 1
= جتاس × نهـــــا ــــــــــــــــ - جاس
هـ←0 هـ

((لأن النهاية الثانية جاهـ/هـ = 1 عندما هـ تؤول للصفر ))

الآن : نعزل النهاية التى نريد ايجادها عن المقدار ...

جتاهـ - 1
نهـــــــا ــــــــــــــــ = 0 مباشرة ً اذا ما استعملت قاعدة لوبيتال .
هـ←0 هـ

ولكن كيف نوجدها بدون استعمال قاعدة لوبيتال ؟

بالضرب بسطاً ومقاماً فى مرافق البسط

جتاهـ - 1 جتاهـ + 1 جتا²هـ - 1
نهــــــــا ــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــ = نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــ
هـ←0 هـ هـ هـ←0 هـ (جتاهـ+1)

1 - جتا²هـ
= - نهــــــــا ـــــــــــــــــــ (( البسط عبارة متطابقة مثلثية))
هـ←0 هـ(1+جتاهـ)

جا²هـ جاهـ × جاهـ
= - نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــ = - نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ←0 هـ (1+جتاهـ) هـ←0 هـ (1+جتاهـ)

جاهـ جاهـ
= - نهـــــــا ـــــــــــــــ × نهــــــــا ـــــــــــــــــ
هـ←0 هـ هـ←0 1+جتاهـ

النهاية الأولى = -1 والنهاية الثانية بعد التعويض المباشر تعطى 0

= -1 × 0 = 0

اذاً وفى المسألة الرئيسية وصلنا الى ...

جتاهـ - 1
= جتاس × نهـــــا ــــــــــــــــ - جاس
هـ←0 هـ

= جتاس × 0 - جاس = - جاس

اى ان : مشتقة جتاس هى - جاس