الحلقة الثامنة
تحويلات لورنتز
تحويلات جاليليو
كما تعلمنا سابقا أن المشاهد يصف الأحداث بـ 3 إحداثيات مكانية و إحداثى زمنى . الأن لو لدينا مشاهدين يتحركان بالنسبة لبعضهما البعض فكيف سيرى كل منهما الحدث . سنناقش الأمر أولا من وجهة نظر تحويلات جاليليو . لو كان لدينا مناط الاسناد الساكن S و يوجد مناط اسناد أخر يتحرك لليمين بالنسبة ل S` بسرعة v و وقع حدث ما عند النقطة P فوظيفة تحويلات جاليليو هى أنها تمكنك من إيجاد الإحداثيات التى يراها مشاهد ما كدوال فى الاحداثيات التى يراها المشاهد الأخر و تتلخص تحويلات جاليليو هكذا
X` = X – v t
Y`=Y
Z`=Z
t` = t
و لكننا نحب دائما أن نتعامل مع فروق بين حدثين كالمسافة بينهما أو الفارق الزمنى بينهما و ببساطة لو اعتبرنا أن هناك حدثين عند النقط P ,Q فإن تحويلات جاليليو تعمل أيضا و قوموا بتجربة ذلك عن طريق طرح احداثيات الحدث عند النقطة p من احداثيات الحدث عند النقطة Q و سنجد أن صورة تحويلات جاليليو
dX` = dX – v dt
dY` = dY
dZ` = dZ
dt` = dt
d = دلتا (أى الفارق)
هذه التحويلات تقول أن كلا المشاهدين يقيس فارق زمنى واحد بين الأحداث كما أنها تقول أنه عندما يكون الفارق الزمنى بينهما صفرا يقيس كلا المشاهدين نفس المسافة بين الحدثين . لنجد هنا أن تحويلات جاليليو تناقد أهم نتيجتين للنسبية و هما تمدد الزمن و انكماش الطول . من هنا كان لا بد لنا من البحث عن معادلات أخرى تفى بالغرض دون التعارض مع النسبية و من هنا كان اللجوء لتحويلات لورنتز التى وضعها هندريك لورنتز قبل النسبية فى الكهرباء و المغناطيسية و لكن أينشتين هو من استخدمها فى النسبية و قام بوضع معنى فيزيائى لها كما أنه خلصها من اعتمادها على الأثير بجعلها تعتمد على السرعة النسبية بين المشاهدين .
فى الواقع لم تكن تلك هى السلسلة التاريخية للأحداث فانكماش الطول و تمدد الزمن و معادلاتهم هى نتائج لتحويلات لورنتز و ليست أسباب لها . و لكن بما أننا استنتجنا المعادلات السابقة من دون هذه التحويلات فلا يوجد مانع من السير بهذا الترتيب حيث أنه أبسط و أسهل لأنه فى الحقيقة اثبات تحويلات لورنتز من العدم أى من مبدأى النسبية الخاصة صعب و طويل . و لكننا سنضع اثباتا سهلا اعتمادا على ما قمنا به فى الحلقات السابقة .
تحويلات لورنتز
سنضع نفس الافتراضات التى وضعناها سابقا و هى أن لدينا مناطى اسناد يتحركان بالنسبة لبعضهما واحد ساكن و الأخر يتحرك باتجاه اليمين متوازى للأول . بالنسبة للبعدين Y,Z فلن يحدث شيئا لأن انكماش الطول يحدث فقط فى اتجاه الحركة . و الأن سنبدأ باستنتاج تحويلات لورنتز . لن أقوم بكتابة علامة (دلتا ) أو (d ) و لكن اعلموا أننا دائما نتحدث عن فوارق . احداثيات الساكن ستكون بدون شرطة و المتحرك بشرطة . و الأن لا بد لمعادلاتنا أن تكون لها الصورة الأتية
x = Ax` + B t`
t = C t` + D x
`
حيث A,B,C,D ثوابت تعتمد على السرعة النسبية . و بايجاد قيمة هذه الثوابت سوف نحصل على تحويلات لورنتز .
ملحوظة:
فى هذه المعادلات أعلاه قمنا بافتراض فرضين و هما :
1- أن هذه الدوال (المعادلات أو العلاقات ) خطية أى معادلات من الدرجة الأولى
2- أن الثوابت تعتمد فقط على السرعة النسبية و تتغير بتغيرها و لا تعتمد على أية إحداثيات
لا داعى للخوض فى اثبات هذين الفرضبين . إن اثباتهم قصير و لكن ربما لن تفهموه جيدا فلا داعى للتشتيت الأن .
والأن فلنقم باستنتاج القانون
- عندما يرى المشاهد المتحرك المسافة بين حدثين صفرا فهو يقيس الزمن التام و سنحصل على الزمن الذى يقيسه الساكن بمعادلة تمدد الزمن
- عندما يقيس الساكن الزمن بين حدثين صفرا فهو يقيس المسافة التامة (الأطول) بينهم و يمكننا أن نحصل على ما يشاهده المتحرك بمعادلة انكماش الطول
- عندما يرى الساكن حدثين يحدثان فى نفس النقطة فلا شك أنه فى الزمن بين الحدثين سيكون المتحرك قد ابتعد لمسافة ما و بذلك فسيقول أن الحدث الثانى حدث فى نقطة أبعد عن الحدث الأول بمسافة تساوى السرعة النسبية بين المناطين مضروبة فى الزمن بين الحدثين كما يقيسه المتحرك (الساكن يقول أن المتحرك يتحرك لليمين بالسرعة V و المتحرك يقول أن الساكن وكل ما فى مناطه يتحرك لليسار بالسرعة –V )
- إذا كان الساكن يرى حدثين متزامنين فالتأكيد كما وضحنا سابقا أن المتحرك سيرى أن هناك فترة زمنية بين الحدثين هذه الفترة يمكن استنتاجها و ستساوى القيمة المكتوبة فى الجدول أعلاه .
و بهذه الطريقة و بالتعويض فى المعادلات بالأعلى سنستنتج أن هذه الثوابت هى :
و هكذا نصل إلى صورة المعادلات التى تربط بين ما يراه الساكان اعتمادا على ما يراه المتحرك . إذا أردنا أن نحصل على المعادلات العكسية فلا مشكلة ، كل ما علينا هو أن نعكس إشارة السرعة النسبية
لعلكم تتسألون كيف يكون استنتاج هذه التحويلات بهذه السرعة و البساطة . الإجابة هى أننا قمنا بمعظم العمل فى الحلقات السابقة و لكننا لو أردنا استنتاج قانون لورنتز ابتداء من فرضيات النسبية فقط فسوف يكون أطول و أصعب بالتأكيد .
تحويلات لورنتز للسرع
مع تغير مفاهيم الزمان و المكان و اختلافهما بالنسبة للمشاهدين لم يعد من الممكن الاحتفاظ بقانون جمع السرع الكلاسيكى الذى يعرفه الجميع و أصح لا بد من وجود قانون أخر لجمع السرع يمكن منه التنبؤ بسرعة جسيم ما بالنسبة للمشاهد المتحرك اعتمادا على السرعة التى يقيسها الساكن للجسيم و العكس صحيح . فكما يعرف الجميع أن السرعة تساوى معدل تغير المسافة مع الزمن . و بما أن المسافة لها 3 أبعاد فكذلك السرعة لها 3 مركبات و هم السرعة فى الاتجاه الطولى X و السرعة فى الاتجاهين الأخرين Y و Z . و سرعة أى جسيم ستتكون من هذه المركبات الثلاثة . من المعروف أن الاختلاف على المسافة يكون فى اتجاه الحركة فقط و بذلك فسيؤثر على السرعة فى اتجاه الحركة فقط و لكن لا تنسى أن الزمن يتغير فى كل الاتجاهات و بذلك فسوف نستنتج ثلاث قوانين . يعتمد الاستنتاج على مفاضلة X` و t` بالنسبة لt ثم نقسمهم على بعضهم فنحصل على dx`/dt` و هذا هو تعريف السرعة و بذلك نحصل على قانون السرعة . نفس الأمر فى الاتجاهين الأخرين . الاستنتاج كالأتى
بنفس الطريقة نحصل على المركبين الأخرين للسرعة :
الفاصل الزمكانى (القيمة الثابتة)
صدق أو لا تصدق . أخيرا وجدنا قيما ثابتة يتفق عليها جميع المشاهدين ألا و هى الفاصل الزمكانى بين حدثين . نرمز للفاصل هذا بالرمز (ds) و الd كما نعلم هى ترمز للتغير . فى زمكان رباعى الأبعاد يتم حساب الفاصل بهذه الطريقة :
(ds)2 = (dx)2+(dy)2+(dz)2-(c dt)2 بالنسبة للساكن
(ds`)2 = (dx`)2+(dy`)2+(dz`)2-(c dt`)2بالنسبة للمتحرك
هذه القيمة ثابتة بالنسبة للساكن و المتحرك (كل منهما حر فى اعتبار نفسه ساكن) . أى أن ds = ds`
المثير فعلا أن تحويلات لورنتز تقودنا لهذه النتيجة فلو أنك عوضت عن القيم التى يراها المتحرك بتحويلات لورنتز فستصل فى النهاية إلى أن القيمتين متساويتين .
ملحوظة : بعض الكتب بدلا من أن تطرح مربع الزمان من مربع الأبعاد المكانية تقوم بعمل العكس . على العموم لا فرق بينهما .
ملحوظة : نحن سنتجاهل y و Z . لأننا كما قلنا لا نلاحظ شيئا غريبا بصددهما .
أنواع الفاصل
قبل أن نناقش أنواع الفاصل علينا أن نتذكر ما قلناه عن الزمكان . تذكر أن الزمكان متصل رباعى الأبعاد كل نقطة فيه تمثل حدث . هذا الحدث يتم وصفه بأربع إحداثيات ثلاث منها مكانية و الأخر زمانى.
الأن حان الوقت أن نعلم لماذا فقد الزمان استقلاله و هذا واضح من المعادلة الخاصة بتحويلات الزمن فى معادلات لورنتز بالأعلى حيث أننا وضعنا الزمن كدالة فى إحداثيات الزمان و المكان و بهذا أصبح الزمن أيضا يعتمد على المسافة بين الأحداث . بهذه الطريقة لم يعد الزمن مستقلا . و قد قام منكوفسكى بالتمثيل الرياضى لهذه الحقيقة بجعل الإحداثى الزمنى هو ict حيث
الجذر التربيعى ل -1 = i
سرعة الضوء = c
الزمن يساوى = t
و سيتم شرح هذه الحقيقة الرياضية و تأثيرها فيما بعد.
الأن نأتى لأنواع الفاصل و هى ثلاث أنواع حسب إشارة قيمة الفاصل S سالبة أو موجبة أو صفر . أو بمعنى أخر الثلاث أنواع هم:
1- فاصل مكانى (المسافة المكانية أطول من المسافة القادر على قطعها الضوء فى الفارق الزمنى و بذلك فالقيمة موجبة)
2- فاصل زمانى (المسافة الزمانية أقصر من المسافة القادر على قطعها الضوء فى الفارق الزمنى و بذلك فالقيمة سالبة)
3- فاصل صفرى (كلاهما متساويين و بذلك فالنتيجة صفر)
فى الشكل القادم سنستعرض المعنى الهندسى للفاصل الزمكانى
الخطوط الصفراء تمثل مسار أشعة الضوء . الخطان الصفر المتجهان للأعلى هما شعاعان ضوئيان انطلقا من عند نقطة الأصل بينما الخطان القادمان من أسفل هما شعاعان قادمان من الماضى و متجهان لنقطة الأصل . تخيل أن هناك حدث معين يحدث عند نقطة الأصل . الخطوط الحمراء تربط هذا الحدث بأحداث أخرى الفاصل بينها و بين الحدث عند نقطة الأصل زمانيا.
على العكس تربط الخطوط الزرقاء بين هذا الحدث و أحداث أخرى تبعد عنه بفاصل مكانى .
النقطة على شعاع الضوء تبعد عن الحدث عند نقطة الأصل بفاصل صفرى .
طبعا أنتم تعرفون أن النقاط أسفل المحور العرضى تعتبر فى ماضى هذا الحدث بينما تلك التى فوق المحور العرضى هى فى مستقبل الحدث.
من هذا التوضيح يتضح لنا أنه لكى تسافر من نقطتان الفاصل بينهما :
1- مكانيا : عليك أن تسير أسرع من الضوء (غير ممكن)
2- زمانيا : عليك أن تسير أبطأ من الضوء (ممكن)
3- صفريا : عليك أن تسير بنفس سرعة الضوء (الموجات الكهرومغناطيسية فقط يمكنها ذلك)
حسنا هنا نصل إلى نقطة مهمة و هى أن الأحداث المفصولة مكانيا لا يمكن أن تؤثر فى بعضها البعض بينما تلك المفصولة زمانيا أو صفريا يمكنها أن تتأثر ببعضها البعض و هنا ظهر لدينا مفهوم جديد و هو المخروط الضوئى.
لاحظ أن أشعة الضوء فى الشكل تكون شكلين مخروطين واحد فوق المحور العرضى و الأخر أسفله . هذين المخروطين يضمان داخلهما كل النقاط المفصولة زمانيا عن نقطة الأصل (النقطة التى يلتقى فيها المخروطين) و يقع على حوافهما النقاط المفصولة صفريا عن نقطة الأصل بينما تقع خارجهما كل النقاط المفصولة مكانيا عن نقطة الأصل. و لقد أطلقنا على كل مخروط منهما اسما
- مخروط الماضى : ذلك الذى يقع أسفل المحور العرضى و يضم داخله كل الأحداث التى يمكنها أن تؤثر فى الحدث عند نقطة الأصل (أو ممكن أن يكون قد جاء منها مشاهدا يقف عند نقطة الأصل)
- مخروط المستقبل : ذلك الذى يقع فوق المحور العرضى و يضم داخله جميع النقاط التى يمكنها أن تتأثر بالحدث عند نقطة الأصل (أو يمكن أن يصل إليها مشاهد يقف عند نقطة الأصل)
بالطبع هذا الكلام ليس حكرا على نقطة الأصل بل إن كل مشاهد لديه هذين المخروطين يتحركان معه دائما. و يشكلان مستقبله و ماضيه .
النسبية و السببية
عندما تناولنا نسبية التزامن تكلمنا عن كيفية اختلاف ترتيب الأحداث بالنسبة للمشاهدين المختلفين و بذلك أصبح لا معنى لكلمة قبل و بعد و لكن لعل أحدكم لاحظ ماذا يمكن أن ينتج عن هذا الفرض.
تخيلوا معى أنك ترمى سهما ليسقط تفاحة . نحن هنا لدينا حدثين و هما رمى السهم و سقوط التفاحة . يبدو هنا أن رمى السهم كان سببا و سقوط التفاحة هو نتيجة . السببية تقول أن السبب لا بد أن يكون قبل النتيجة أى أنه لا بد من رمى السهم لكى تسقط التفاحة و هذا كلام منطقى و لا بد أن يكون صحيحا . و لكننا قلنا أنه لا معنى لترتيب الأحداث فإنه يختلف من مناط لآخر . يا لها من ورطة!
حل هذه الورطة يكمن فى أنه لا يمكن لأى مشاهد أن يسير بأسرع من الضوء كما أنه لا يمكن أن يتأثر حدث بأخر بأى وسيلة أسرع من الضوء . و بهذا فإنه لا بد أن رمى السهم و سقوط التفاحة مفصولان فاصلا زمانيا . و تلك هى النقطة : جميع المشاهدين يتفقون على ترتيب الأحداث المفصولة زمانيا مهما كانت حالتهم من الحركة ، لاحظ أن الفترة بين الحدثين تختلف من مشاهد لأخر و لكن جميعهم يتفق على أن السبب حدث قبل النتيجة . و هذا ينتج عن أنه لا يوجد مشاهد منهم يتحرك أسرع من الضوء . و لهذا كان السير أسرع من الضوء غير ممكن . لأننا لو سرنا أسرع من الضوء لرأينا تفاحات تسقط قبل رمى السهم و رسالات تصل قبل أن تُرسَل و ما إلى ذلك .
الشكل التالى يوضح ماذا سيحدث لو سار السهم أسرع من الضوء
لاحظ قيم الزمن (ct ) فى كل مناط .
اثبات رياضى
كنت وعدتكم بتوضيح كيف يكون الخط المتعرج يشير إلى قيمة زمانية أقل من الخط المستقيم و هنا تكمن أهمية فرض منكوفسكى . لقد نقلت لكم هذه الصورة من مكان ما و قد رسمها شخص أخر غيرى و هى ليست ملكا لى
هكذا تظهر أهمية فرضيات منكوفسكى . عند هذه النقطة نكون قد أنهينا جزئا كبيرا جدا من النسبية الخاصة و الباقى يقع تحت اسم ديناميك النسبية . و هذا الجزء يعتبر رياضيا أكثر و بذلك فإن الجزء السابق هو الأهم و لذلك أنصح بقرائته جيدا . بالطبع لن نستغرق و قتا طويلا فى النسبية العامة أو الكم لأننا لن نتوسع فيهما . بعد ختام هذا الجزء سوف نقدم ميكانيك الكم، و ستكون بلا أى رياضيات و لن نتوسع فيها لأن التوسع فيها يحتاج إلى رياضيات عالية المستوى