مسأله وثلاث حلول

[my shabana]

بسم الله الرحمن الرحيم

هذه المسأله عرضها استاذنا أخى شريف بك تحت عنوان هواة المتعه
م.ح فيها حـ ن تتناسب مع ن2
أثبت ان ح ن تتناسب مع (2ن -1)
وفيما يلى ثلاث حلول ارجوا أن ارى التعليقات والنقد

الحل الاول:-
حيث ان حـ ن = ك ن2 حيث ك ثابت
يكون حـ 1 = ك = ح1
, حـ 2 = 4ك اى ان ح 2 = حـ2 - حـ 1 = 4ك -ك =3ك
وتكون المتتابعه ( ك , 3ك , ..........9
&ح ن = ك + (ن-1)×2ك = ك(2ن-1)
اى ان ح ن تتناسب مع (2ن-1)

الحل الثانى:
حيث ان حـ ن = ك ن2 اى ان حـ1 وهى = ح 1 = ك
اى ان أ = ك (ثابت التناسب) ......(1)
ويكون حـ ن = ن(( 2أ +(ن-1)ء) = ك ن2
اى ان ن(( 2أ +(ن-1)ء) =ك ن2 .....(2)
>>وهنا نحاول تحوير الطرف الايمن ليأخذ قيمة ح ن التى = أ = (ن-1)ء>>
بضرب طرفى (2) ×2/ن
يكون 2أ + (ن-1) ء = 2ك ن
اى ان أ +(ن-1)ء= 2ك ن - أ
ومن (1) يصبح أ +(ن-1)ء = 2ك ن - ك
اى ان ح ن = ك ( 2ن -1) اى ان ح ن تتناسب مع (2ن-1)

الحل الثالث:
وهو الاكثر تداول
ح ن = حـ ن - حـ (ن-1 ) ( اعتمادا على الفرق بين مجموعين متتالين يعطى اخر حد )
( اى ان حـ 2- حـ1 =ح2 & حـ 3- حـ2 =ح 3 وهكذا )
= ك ن2 - ك (ن -1)2
= ك (ن2 - ن2 +2ن -1)
= ك(2ن -1) اى ان ح ن تتناسب مع (2ن -1)

ومع خالص التحيه