مسألة فى الرياضيات(أرشيف تجميعى )

[لومى _مرمر]

إذا كان أ ب ج مثلث , و كان ظتاأ + ظتاب + ظتاجـ = جذر 3
أثبت أن اب ج مثلث متساوى الأضلاع
الحل :
أ + ب + جـ = 180
أ + ب = 180 - جـ
ظا ( أ + ب ) = ظا ( 180 - جـ )
( ظا أ + ظا ب ) / ( 1 - ظا أ ظا ب ) = - ظا جـ
وبالضرب التبادلى نصل إلى :
ظا أ + ظا ب + ظا جـ = ظا أ ظا ب ظا جـ ................. ( 1 )
ولكن من المعطيات نجد أن :
1 / ظا أ + 1 / ظا ب + 1 / ظا جـ = جذر 3
بتوحيد المقامات والضرب التبادلى :
ظا أ ظا ب + ظا أ ظا جـ + ظا ب ظا جـ = جذر 3 ×ظا أ ظا ب ظا جـ
وبالتعويض من ( 1 )
ظا أ ظا ب + ظا أ ظا جـ + ظا ب ظا جـ = جذر 3 × ( ظا أ + ظا ب + ظا جـ )
وبالمقارنة نجد أن :
ظا أ = ظا ب = ظا جـ = جذر 3
إذن : أ = ب= جـ = 60 درجة
إذن المثلث متساوى الأضلاع