2) متتابعة حسابية مجموع حدودها بداية من حدها الثاني = - 36 ، مجموع حدودها ماعدا حدها الأخير = صفرا والفرق بين حدها العاشر
وحدها السادس = -16 أوجد المتتابعة .



نفرض عدد حدود المتتابعه = ن+ 1

مجموعها ابتداء من ح2 = - 36

عدد الحدود = ن

جـ ن = ن / 2 [ 2 ( أ + د ) + ( ن - 1 ) د ] = - 36 .............. ( 1 )

مجموع حدودها ما عدا الاخير = 0

عدد الحدود ايضا = ن

جـ ن = ن / 2 [ 2 أ + ( ن - 1 ) د ] = 0 ...............................( 2 )

بالتعويض من ( 2 ) فى ( 1 )

صفـــــــر + ن / 2 [ 2 د ] = - 36

ن د = - 36 .......................................... ( 3 )

ح 10 - ح6 = -16

أ + 9 د - أ - 5 د = - 16

د = - 4 بالتعويض فى ( 3 )

ن = 9

عدد الحدود المتتابعه = 9 + 1 = 10

جـ ن ما عدا الاخير = 0

ن / 2 [ 2 أ + ( ن - 1 ) د ] = 0

9 / 2 [ 2 أ + 8 × - 4 ] = 0

أ = 16

المتتابعه هى ( 16 ، 12، 8 ، .............. ، -20 )

) متتابعة حسابية عدد حدودها ن ، حدها الأول = س ، حدها الأخير = ص ومجموع حدودها = ( س + ص )^2 أوجد المتتابعة .
.



الحل

حـ ن = ن ( أ + ل ) / 2
(س + ص ) ^ 2 = ن ( س + ص ) / 2 بالقسمه على ( س + ص )

ن = 2 (س + ص )
عدد الحدود

باستخدام الحد الاخير

ل = أ + (ن ـ 1 ) د
ص = س + [ 2 (س + ص ) ــ 1] د
منها

د = (ص ــ س ) / [ 2 ( س+ ص ) ــ 1 ]

المتتابعه
الان حدها الاول س
واساسها (ص ــ س ) / [ 2 ( س+ ص ) ــ 1 ]
وعدد حدودها ن = 2 (س + ص )

3) متتابعة حسابية عدد حدودها ن ، حدها الأول = س ، حدها الأخير = ص ومجموع حدودها = ( س + ص )^2 أوجد المتتابعة .
.



الحل

حـ ن = ن ( أ + ل ) / 2
(س + ص ) ^ 2 = ن ( س + ص ) / 2 بالقسمه على ( س + ص )

ن = 2 (س + ص )
عدد الحدود

باستخدام الحد الاخير

ل = أ + (ن ـ 1 ) د
ص = س + [ 2 (س + ص ) ــ 1] د
منها

د = (ص ــ س ) / [ 2 ( س+ ص ) ــ 1 ]

المتتابعه
الان حدها الاول س
واساسها (ص ــ س ) / [ 2 ( س+ ص ) ــ 1 ]
وعدد حدودها ن = 2 (س + ص )

النسبة بين مجموعي حدود عددها ن من متتابعتين حسابيتين مختلفتين ابتداء من الحد الأول كنسبة 3 ن : ( ن + 2 ) فبرهن أن الحد الثالث من الأولي يساوي الحد السابع من الثانية ، النسبة بين الحد الخامس في الأولي الي الحد العاشر من الثانية كنسبة 9 : 7 .


الحل:
من المعلوم ان جـ(ن) للمتتابعه الحسابيه = مقدار من الدرجه الثانيه فى ن
وبما ان جـ (ن) / جـّ(ن) = 3ن / (ن+2) بالضرب × ن
جـ (ن)/ جّ (ن) = 3ن^2 / (ن^2 +2 ن)
اذا جـ (ن) = 3ن^2 م
جـّ (ن) = (ن^2+2ن) م [ حيث م ثابت التناسب]
ح1 = جـ1 = 3م
حّ 1 = جـّ1 = 3م
ح2 = جـ2-جـ1= 12م-3م= 9م
حّ2 =جـّ2-جـّ1 = 8م-3م=5م
ح3 =جـ3 -جـ2 = 27م-12م=15م
حّ3 =جـّ3-جـّ2 = 15م-8م=7م
اذا المتتابعه ( 3م، 9م، 15م،.................)
اذا المتتابعه =( 3م ، 5م، 7م،...............)
ح3= 15 م
ح7ّ = 3م+ 6 ×2م = 15 م
اذا ح3 = حّ 7 المطلوب الاول
ح5 / حّ10 = ( 3م+4× 6م) /( 3م+9×2م)
= 27م/ 21م = 9 / 7 وهوالمطلوب الثانى

المتتابعة الحسابية

* هى متتابعة فيها ح ن+1 – ح ن = مقدار ثابت
* يسمى المقدار الثابت أساس المتتابعة الحسابية
* نرمز له بالرمز ء
مثال (1)
بين أى من المتتابعات الآتية حسابيه
1) ح ن = 3ن + 5 2) ح ن = 11 – 2ن
3) ح ن = ن2 + 3 4) ح ن = لو ص ن + 1
الحل
1) ح ن = 3ن + 5
ح ن+1 = 3( ن + 1) + 5 = 3 ن + 3 + 5 = 3ن + 8
ح ن+1 –ح ن = 3 ن + 8 – ( 3ن + 5 ) = 3 ن + 8 – 3ن – 5 = 3
ح ن+1 –ح ن = 3 مقدار ثابت (متتابعة حسابية )
(2) ح ن = 11 – 2ن
ح ن+1 = 11 – 2 ( ن + 1 ) = 11 – 2ن – 2 = 9 – 2 ن
ح ن+1 – حن = 9 – 2 ن – ( 11 – 2 ن ) = 9 – 2ن – 11 + 2 ن = – 2
ح ن+1 – ح ن = – 2 مقدار ثابت حن متتابعة حسابية
(3) ح ن = ن2 + 3
ح ن+1 = ( ن + 1)2 + 3= ن2 + 2ن + 1 + 3 = ن2 + 2ن + 4
ح ن+1 –حن = ن2 + 2ن + 4 – ( ن2 + 3)
ح ن+1 –ح ن = ن2 + 2ن + 4 – ن2 – 3
ح ن+1 –ح ن = 2 ن + 1 ( مقدار غير ثابت ) حن ليست متتابعة حسابية
ح ن = لـــــــو ص ن + 1
ح ن+1 = لـــــو ص ن + 1 + 1 = لـــــو ص ن + 2
ح ن+1 –ح ن = لـــــو ص ن + 2 ÷ لـــــو ص ن + 1

نظرية
إذا كانت ح ن دالة من الدرجة الأولى فى ن فإنها تكون متتابعة حسابية


مثال (2)
بين أى من المتتابعات الآتية حسابيه
(1) ح ن = 3ن + 5 ( 2) ح ن = 11 – 2ن
(3) ح ن = ن2 + 3 (4) ح ن = لو ص ن + 1
الحل
(1) ح ن = 3ن + 5 دالة من الدرجة الأولى فهى متتابعة حسابية
(2) ح ن = 11 – 2ن دالة من الدرجة الأولى فهى متتابعة حسابية
(3) ح ن = ن2 + 3 دالة من الدرجة الثانية لبست متتابعة حسابية
(4) ح ن = لــــــو ص ن + 1 = (ن + 1) لــــــــو ص
ح ن = ن لو ص + لــو ص دالة من الدرجة الأولى فى ن
فهى متتابعة حسابية

لحد العام للمتتابعة الحسابية

ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
* أ هو أول حد نبداء به المتتابعة (إذا لم يشترط بداية أحرى )
* ء هو أساس المتتابعة
* ن هى رتبة الحد
* ح ن قيمة الحد
مثال (3)
فى المتتابعة ( 3 ، 7 ، 11 ، 000000 ، 487 )
• أوجد الحد السابع ؟
• أوجد رتبة الحد الذى قيمته 67 ؟
• أوجد عدد حدود المتتابعة ؟
الحل
* ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
ح7 =3 + ( 7 – 1 ) × 4= 27
++++++++++++*
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
67= 3 + ( ن – 1 ) × 4
67 = 3 + 4ن – 4
67 = 4ن – 1
68 = 4ن ن = 17 #
++++++++++++*
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
487= 3 + ( ن – 1 ) × 4
487 = 3 + 4ن – 4
487 = 4ن – 1
487 = 4ن ن = 122 #
ملاحظة : -
• عدد حدود المتتابعة يساوى رتبة الحد الأخير
• ن Э ص+ دائما ً
• الأساس من النهاية هو المعكوس الجمعى للأساس من البداية
• أخر حد من البداية هو أول حد من النهاية
مثال ( 4)
اوجد الحد السابع من النهاية فى المتتابعة ( 3 ، 7 ، 11 ، 0000000 ، 487 )
الحل
• الأساس من النهاية هو المعكوس الجمعى للأساس من البداية
• أخر حد من البداية هو أول حد من النهاية
* ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
ح7 =487 + ( 7 – 1)× -4 = 511
الحد السابع من النهاية = 511
مثال (5)
أي من القيمتين 151 أ، 173 ينتمى للمتتابعة الحسابية ( 13 ، 17 ، 21 ، 0000 )
الحل
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
151 = 13 + ( ن – 1 ) × 4
151 = 13 + 4 ن – 4
151 = 4ن + 9
4ن = 151 – 9 = 142
4 ن = 142
ن = 35.5 Э ص +
151 Э للمتتابعة الحسابية ( 13 ، 17 ، 21 ، 0000 )
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
173 = 13 + ( ن – 1 ) × 4
173 = 13 + 4 ن – 4
173 = 4ن + 9
4ن = 173 – 9 = 164
4ن = 164
ن = 41 Э ص +
173 Э للمتتابعة الحسابية ( 13 ، 17 ، 21 ، 0000 )

* للحصول على رتبة أول حد سالب نضع حن < صفر
* للحصول على رتبة أول حد موجب نضع حن > صفر
مثال (6)
اوجد رتبة أول حد سالب فى المتتابعة الحسابية ( 95 ، 92 ، 89 ، 0000000 )
الحل
نضع حن < صفر
أ + ( ن – 1 ) × ء < صفر
95 + ( ن – 1 ) × - 3 < صفر
95 – 3ن + 3< 0
98< 3ن ( ÷ 3)
32.6666 < ن
ن = 33
رتبة أول حد سالب هو 33
مثال (7)
اوجد رتبة أول حد موجب فى المتتابعة الحسابية (- 135 ، - 133 ، - 131 ، 000 )
الحل
نضع ح ن > صفر
أ + ( ن – 1 ) × ء > صفر
ــ 135 + ( ن – 1 ) × 2 > 0
ــ 135 + 2ن – 2 > 0
ــ 137 + 2ن > 0
2ن > 137 ( ÷2)
ن > 68.5
ن = 69
مثال (http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gif
اوجد رتبة أول حد أكبر من 200 فى المتتابعة الحسابية ( 10 ، 21 ، 32 ، 000 )
الحل
نضع ح ن > 200
أ + ( ن – 1 ) × ء > 200
10 + ( ن – 1 ) × 11 > 200
10 + 11ن – 11 > 200
ــ 1 + 11ن > 200
11ن > 201 ( ÷11)
ن > 18.272727
ن = 19
مثال (9)
إذا كانت ( 75 ، 3 س ، 00000 ، 2س ، 45 ) متتابعة حسابية اوجد قيمة س
اوجد عدد حدود المتتابعة ؟
الحل
3س – 75 = 45 – س
3س + 2س = 45 + 75
5س = 120 ( ÷5)
س = 24
( 75 ، 72 ، 00000، 48 ، 45 )
ح ن = 2 أ + ( ن – 1 ) ء
45 = 2 × 75 + ( ن – 1 ) × ( ــ 3)
45 = 150 – 3 ن + 3
45 = 153 – 3ن
3ن = 153 – 45 = 108
ن = 36

تعين المتتابعة

معناه إيجاد قيمة كل من أ ، ء
( أ ، أ + ء ، أ + 2ء ، أ + 3 ء ، 0000000 )
* ح1 = أ * ح2 = أ + ء
* ح3 = أ + 2ء * ح4 = أ + 3ء
* ح23 = أ + 22 ء * ح45 = أ + 44 ء
* ح96 = أ + 95 ء * ح96 = أ + 95 ء
مثال (1)
اوجد متتابعة حسابية مجموع حديها الثانى والثالث 12 ومجموع حدودها الثالث الخامس و السادس يساوى 31 ؟
الحل
ح2 + ح3 = 12
أ + ء + أ + 2ء = 12
2 أ + 3ء = 12 (1) × 3
ح3 + ح5 +ح6 = 31
أ + 2ء + أ + 4ء + أ + 5ء = 31
3 أ + 11ء = 31 (2) × ــ 2
6 أ + 9ء = 36
ــ 6 أ ــ 22ء = ــ 62
ــ 13 ء = ــ 26 ء = 2
أ = 3 المتتابعة هى ( 3 ، 5 ، 7 ، 0000000000 )
مثال (2)
متتابعة حسابية حدها السابع يزيد عن مجموع حديها الثالث والرابع بمقدار الوحدة ، حدها الثانى ينقص عن حدها الخامس بمقدار 12 أوجد المتتابعة ؟
الحل
ح7 – ( ح3 + ح4 ) = 1
أ + 6 ء – ( أ + 2ء + أ + 3 ء ) = 1
أ + 6 ء – 2أ – 5 ء = 1
ء – أ = 1 (1)
ح5 – ح2 = 12
أ + 4 ء – ( أ + ء ) = 12
أ + 4 ء – أ – ء = 12
3 ء = 12 ( ÷ 3)
ء = 4
بالتعويض في (1) نجد أن
4 – أ = 1
أ = 3
المتتابعة هى ( 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، 0000 )
مثال (3)
متتابعة حسابية مجموع حديها الثانى والثالث – 7 ومجموع مربعيهما 29 أوجد المتتابعة
الحل
ح2 + ح3 = – 7
أ + ء + أ + 2ء = – 7
2 أ + 3ء = – 7
2 أ = – 7 – 3ء
أ = ( - 7 - 3 د ) / 2 00000000 (1)

( ح2 )2+( ح3 )2= 29
( أ + ء )2+( أ + 2ء )2 = 29 (2)
بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن
[ (( - 7 - 3 د ) / 2) + ء ]^2 + [( ( - 7 - 3 د ) / 2)+ 2ء ]^2= 29

( – 7 – 3ء + 2ء / 2 )^2 + ( – 7 – 3ء + 4ء / 2 )^2 = 29

( - 7 - د / 2)2 + (- 7 + د / 2 )2 = 29

49 + 14 ء + ء2 / 4 +49 – 14 ء + ء2 / 4 = 29

98 + 2ء2 / 4 = 29

98 + 2ء2 = 116
2ء2 = 18
ء2 = 9
ء = 3 بالتعويض في (1)
أ = ــ 8
المتابعة هي ( ــ 8 ، ــ 5 ، ــ 2 ، 000 )
ء = ــ 3 بالتعويض في (1)
أ = 1
المتتابعة هي ( 1 ، ــ 2 ، ــ 5 ، 0000 )
مثال (4)
متتابعة حسابية تناقصية النسبة بين حديها الثالث والثامن هى 2 : 5 ، حدها الخامس يساوى مكعب حدها الأول أوجد المتتابعة ؟
الحل
ح3 : ح8 = 2 : 5
أ + 2ء : أ + 7 ء = 2 : 5
أ + 2 ء / أ + 7ء = 2/5

5 أ + 10 ء = 2أ + 14 ء
5 أ – 2أ = 14ء – 10 ء
3 أ = 4 ء (1)
ح5 = ح1 3
أ + 4 ء = أ3 (2)
بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن :
أ + 3أ = أ3
أ3 – 4 أ = 0
أ ( أ2 – 4 ) = 0
أ ( أ – 2 ) ( أ +2) = 0
أ = 0 مرفوض أ = 2مرفوض أ = ــ 2
بالتعويض فى (1) نجد أن
3 × ــ 2 = 4 ء
ء = - 3 / 2
المتتابعة هى : ( ــ 2 ، - 7 / 2، ــ 5 ، 00000 )

•ملحوظة : إذا كان عدد حدود المتتابعة فردى وأقل من عشرة بشرط أن يكون مجموعهم معلوم نفرض المتتابعة على الصورة :
• 000 ، أ – ء ، أ ، أ + ء ، 0000
مثال (5)
أوجد ثلاثة أعداد فى تتابع حسابى مجموعهم 15 ومجموع مربعتها 83 ؟
الحل
الأعداد هى : أ – ء ، أ ، أ + ء
أ – ء + أ + أ + ء = 15
3أ = 15
أ = 5
( أ – ء )2+ أ2 +( أ + ء )2 = 83
( 5 – ء )2+ 5 2 + ( 5 + ء )2 = 83
25– 10ء + ء2+ 25 + 25 + 10 ء + ء2 = 83
75 + 2ء2 = 83
2ء2 = 83 – 75 = 8
2ء2 = 8 (÷2)
ء2 = 4
ء = 2 ، ء = -2
الأعداد هى : الأعداد هى :
( 3 ، 5 ، 7 ) ، ( 7 ، 5 ، 3 )
مثال (6)
مثلث قياسات زواياه الثلاث فى تتابع حسابى ، الفرق بين قياسى الزاويتين الكبرى والصغرى يساوى 80 ْ أوجد قياس كل زاوية من زوايا المثلث ؟
الحل
قياسات الزوايا هى : أ – ء ، أ ، أ + ء
أ – ء + أ + أ + ء = 180
3أ = 180 (÷3)
أ =60
أ + ء – ( أ – ء ) = 80 ْ
أ + ء – أ + ء = 80
2 ء = 80 (÷2)
ء = 40
قياسات الزوايا هى 20 ، 60 ، 100

•ملحوظة إذا كان عدد حدود المتتابعة زوجى و أقل من عشرة بشرط أن يكون مجموعهم معلوم نفرض المتتابعة على الصورة :
• 000، أ – 3ء ، أ – ء ، أ + ء ، أ + 3ء ، 000
مثال (7) أوجد أربعة أعداد فى تتابع حسابى مجموعهم 32 وحاصل ضرب حديها الثانى و الثالث يساوى 60 ؟
الحل
نفرض أن الأعداد هى :
أ – 3ء ، أ – ء ، أ + ء ، أ + 3ء
أ – 3ء + أ – ء + أ+ ء + أ+ 3ء =32
4 أ = 32
أ = 8
( أ – ء ) ( أ + ء ) = 60
( 8 – ء ) ( 8 + ء ) = 60
64 – ء2 = 60
ء2 = 4
ء = 2 ء = - 2 (مرفوض)
الأعداد هى : 00000000000000000000000الأعداد هى :
( 2 ، 6 ، 10 ، 14 ) 0000000000000000000000( 14 ، 10 ، 6 ، 2 )
مثال (http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gif
س ص ع ل شكل رباعى زواياه فى تتابع حسابي فإذا كان س أصغر الزوايا ، ل أكبر الزوايا وكان جـــــا س + جــــا ل = ظـــــا 60 أوجد قياسات زوايا الشكل الرباعى ؟
الحل
نفرض أن الزوايا هى : أ – 3ء ، أ – ء ، أ + ء ، أ + 3ء
أ – 3ء + أ – ء + أ+ ء + أ+ 3ء =360
4 أ = 360
أ =90
جـــــا س + جــــا ل = ظـــــا 60
جـــــا ( أ – 3ء ) + جــــا ( أ + 3 ء ) = ظـــــا 60
جـــــا (90 – 3ء ) + جــــا ( 90 + 3 ء ) = ظـــــا 60
جـــتــا ( 3ء ) + جــتــا ( 3 ء ) = جذر 3
2جــتــا ( 3 ء ) = جذر 3
جــــتــــا 3ء = جذر 3 / 2
3 ء = 30
ء = 10
س = 90 – 3 × 10 = 60
ص = 90 – 10 = 80
ع = 90 + 10 = 100
ل = 90 + 3× 10 = 120

الوسط الحسابى

إذا كان أ ، ب ، ﺟ فى تتابع حسابي فإن ب تسمى وسط حسابى بين أ ، ﺟ
2 ب = أ + ﺟ
مثال (1)
إذا كان ( 3س – 11 ، 4س + 9 ، 2س + 5 ) فى تتابع حسابي فاوجد قيمة س ؟
الحل
2 ب = أ + ﺟ
2( 4س + 9) = 3س – 11 + 2س+ 5
8س + 18 = 5س – 6
8س – 5س = – 6 – 18
3س = – 24
س = – 8
مثال (2)
إذا كان (س ، 24 ، ص ، 32 ، ع ) فى تتابع حسابي فاوجد قيمة س ، ص ، ع ؟
الحل
ص وسط حسابي بين 24 ، 32
2 ص = 24 + 32
2ص = 56 ( ÷2 )
ص = 28
2 × 24 = س + ص س + 28 = 48
س = 48 – 28 = 20
ع + ص = 2 × 32 ع + 28 = 64
ع = 36
ملحوظة :
* عدد الحدود = عدد الأوساط + 2
مثال (3)
أدخل 15 وسطا ً حسابيا ً بين 45 ، - 19
الحل
45 ، * ، * ، * ، 00000 ، * ، * ،* ، - 19
* عدد الحدود = عدد الأوساط + 2
* عدد الحدود = 15 + 2 = 17
* ح17 = - 19 * أ = 45
* ء = ؟؟
ح17 = أ + 16ء = - 19
45 + 16ء = - 19
16 ء = - 19 – 45
16 ء = - 64 ( ÷ 16 )
ء = - 4
الأوساط هى : ( 41،37،33 ، 000، - 15 )
ملحوظة : -
• رتبة الحد = رتبة الوسط + 1
• ح5 = و4
• ح81 = و80
مثال (4)
أوجد متتابعة حسابية مجموع الحد الخامس ووسطها الحادى عشر – 40 ، ضعف وسطها الرابع عشر يزيد عن حدها الثالث بمقدار 54 ؟
الحل
ح5 + و11 = - 40
ح5 + ح12 = ــ 40
أ + 4ء + أ + 11ء = ــ 40
2أ + 15ء = ــ 40 (1) × ــ 1
2و14 – ح3 = 54
2ح15 – ح3 = 54
2 ( أ + 14ء ) – ( أ + 2ء ) = 54
2 أ + 28 ء – أ – 2ء = 54
أ + 26 ء = 54 (2) × 2
2أ + 52 ء = 108
ــ 2أ – 15 ء = 40
37 ء = 148 (÷ 37)
ء = 4 بالتعويض في (1) نجد أن
أ = ــ 50
المتتابعة هى ( ــ 50 ، ــ 46 ، ــ 42 ، 00000 )
مثال (5)
إذا أدخلنا عدة أوساط حسابية بين 3 ، 53 وكانت النسبة بين مجموع الوسطين الأولين إلى مجموع الوسطين الأخيرين هى 3 : 13 فما عدد الأوساط ؟
الحل
نفرض أن المتابعة هى :
( 3 ، 3 + ء ، 3 + 2ء ، 00000 ، 53 – 2ء ، 53 – ء ، 53 )
الوسطين الأولين الوسطين الأخيرين

( 3 + ء + 3 + 2ء) / ( 53 – 2ء + 53- د ) = 3 / 13

( 6 + 3ء ) / ( 106 – 3ء ) = 3/013
39 ء + 78 = 318 – 9 ء
39 ء + 9 ء = 318 – 78
48 ء = 240 (÷ 4http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gif
ء = 5
المتتابعة هى ( 3 ، 8 ، 13 ، 0000 ، 53 )
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
53 = 3 + ( ن – 1 ) × 5
53 = 3 + 5 ن – 5
53 = 5 ن – 2
5ن = 53 + 2 = 55
5 ن = 55 (÷5)
ن = 11
مثال (6)
إذا كان س ، ص وسطين حسابيين بين أ ، ب أثبت أن : أ – ب = 3( س – ص )
الحل
( أ ، س ، ص ، ب ) فى تتابع حسابى
( أ ، أ + ء ، أ + 2ء ، أ + 3ء )
ألأيمن = أ – ب
= أ – ( أ + 3ء )
= أ – أ – 3ء
= - 3ء
الأيسر = 3 (س – ص )
= 3 ( أ + ء – [ أ + 2ء ] )
= 3 ( أ + ء – أ – 2ء )
= - 3ء = الطرف الأيمن
مثال(7)
إذا كانت ب وسط حسابى بين أ ، ﺟ فاثبت أن: ﺟ ( أ + 2ب - ﺟ ) = أ( 2ب + ﺟ - أ )
الحل
ب وسط حسابى بين أ ، ﺟ
( أ ، ب ، جـ ) فى تتابع حسابي
( أ ، أ + ء ، أ + 2 ء )
ب = أ + ء
جـ = أ + 2 ء
الطرف الأيمن = ﺟ ( أ + 2ب - ﺟ )
= ( أ + 2 ء ) ( أ + 2 ( أ + ء ) – ( أ + 2 ء ) )
= ( أ + 2ء ) ( أ + 2أ + 2ء – أ – 2ء )
= ( أ + 2ء ) (2أ )
= 2أ2 + 4أء
الطرف الأيسر = أ ( 2ب + جـ ــ أ )
= أ ( 2 ( أ + ء ) + أ + 2ء – أ )
= أ ( 2أ + 2ء + أ + 2ء – أ )
= أ ( أ + 4ء )
= أ2 + 4أء = الأيمن

جموع ن حدا ً من المتتابعة الحسابية


حـن = ( ن / 2 ) ( أ + ل )

مثال (1)
أوجد مجموع العشرين حدا ً الأولى من المتتابعة الحسابية التى حدها الأول 60 وحدها العشرين 10 ؟
الحل
حـن = ( ن / 2 )( أ + ل ) =10( 60 + 10 ) = 700


ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]

مثال (2)
أوجد مجموع الأربعين حدا ً الأولى من المتتابعة الحسابية ( 4 ، 7 ، 10 ،............ )
الحل
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن = ( 40 / 2 ) [ 2×4 + ( 40 – 1) ×3 ]
ﺣ ن = 20[ 8 + 117 ] = 2500
مثال (3)
أوجد مجموع متتابعة حسابية مكونة من 20 حدا ً ، حدها الرابع = 11 ، حدها السابع عشر = 76 ؟
الحل
ح4 =11 أ + 3 ء = 11 (1)
ح17 =76 أ + 16 ء = 76 (2)
13 ء = 65
ء = 5 بالتعويض
أ + 3 × 5 = 11 أ = ــ 4
المتتابعة هى ( ــ 4 ، 1 ، 6 ، ................. )
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن = ( 20 / 2 )[ 2× ــ4 + ( 20 – 1) ×5 ]
ﺣ ن = 10[ ــ 8 + 95 ] = 870
مثال (4)
أوجد عدد الحدود التى يجب أخذها من المتتابعة الحسابية ( 9 ، 12 ، 15 ، ............ ) ابتداء من حدها الأول ليكون المجموع 306 ؟
الحل
ﺣ ن =( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
306 = ( ن / 2 )[ 2× 9 + ( ن – 1) ×3 ]
612 = ن[18 + 3 ن – 3 ]
612 = 3 ن2 + 15 ن (÷3)
ن2 + 5 ن – 204 = 0
( ن – 12 )( ن + 17) =0
ن = 12 ن = ــ 17 مرفوض

مثال (5)
فى المتتابعة ( 36 ، 32 ، 28 ، 0000000 )
• أوجد مجموع العشرة حدود الأولى
• أوجد مجموع العشرة حدود التالية
• كم حدا ً يلزم أخذها ابتداء ً من الحد الأول ليكون المجموع 176 ( فسر الجواب )
الحل
المتتابعة هى ( 36 ، 32 ، 28 ، 0000 )
مجموع العشرة حدود الأولى
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن =( 10 / 2 )[ 2× 36 + ( 10 – 1) ×ــ 4 ]
ﺣ ن = 5[ 72 – 36 ] = 5 × 36 = 180
ح11 = أ + 10 ء = 36 + 10 × ــ 4 = 36 – 40 = – 4
مجموع العشرة حدود التالية
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2ح11 + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن = ( 10 / 2 ) [ 2× – 4 + ( 10 – 1) × – 4]
ﺣ ن = 5[ ــ 8 – 36 ] = ــ 220
ليكون المجموع 176
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
176=( ن / 2 )[ 2× 36 + ( ن – 1) ×ــ 4 ]
352= ن[72 – 4 ن + 4 ]
352 = ــ 4 ن2 + 76 ن
4 ن2 – 76 ن + 352 = 0 (÷4)
ن2 – 19ن + 88 = 0
( ن – 8 )( ن – 11 ) = 0
ن = 8 ن = 11
التفسير هو : ح9 + ح10 + ح11 = صفر
مثال (6)
أوجد متتابعة حسابية مكونة من 21 حدا ً ، مجموع الأحد عشر حدا ًالأولى منها 91 ، مجموع الأحد عشر حدا ً الأخيرة = 385
• أوجد المتتابعة
• أوجد مجموع الثلاثة حدود الوسطى منها ؟
الحل

الأحد عشر حدا ًالأولى :
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
91=( 11 / 2 )[ 2 أ+ ( 11 – 1) ء ]
182 = 11[ 2أ +10 ء ]
91 = 11أ + 55 ء
11 أ + 55 ء = 91 (1)
الأحد عشر حدا ًالأخيرة :
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
385=( 11 / 2 ) [ 2 ح11 + ( 11 – 1) ء ]
385 = 11[ ( أ + 10 ء ) + 5 ء ]
35 = أ + 10 ء +5ء
35= أ + 15 ء (÷2)
أ + 15 ء = 35 (2)
11 أ + 55 ء = 91 (1)
14 ء = = 42 (÷ 14)
ء = 3
بالتعويض فى (1) نجد أن
أ + 3 × 3 = 13
أ + 9 = 13
أ = 4
المتتابعة هى ( 4 ، 7 ، 10 ، 00000 )

رتبة الحد الأوسط = ن + 1 / 2 = 21 + 1 / 2 = 22 / 2 = 11

الحدود الثلاث الوسطى هى ( ح 10 ، ح11 ، ح 12 )
ح 10 + ح11 + ح 12 = أ + 9 ء + أ + 10 ء + أ + 11 ء
= 3 أ + 30 ء
= 3 × 4 + 30 × 3 = 102
مثال (7)
أوجد عدد الحدود التى يجب أخذها من المتتابعة الحسابية ( 18 ، 15 ، 12 ، 0000 ) ابتداء من حدها الأول لتكون النسبة بين مجموع الثلث الأول منها : مجموع باقى الحدود كنسبة 3 : - 2
الحل
نفرض أن عدد الحدود هو 3ن
الثلث الأول
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 1=( ن / 2 ) [ 2 × 18+ ( ن – 1) × – 3]
جـ 1 =( ن / 2 )[ 36 – 3ن + 3 ]

جـ 1 = ( ن / 2 ) ( 39 – 3ن ) (1)

باقى الحدود
ﺣ 2ن = ( ن / 2 )[ 2ح ن + 1 + ( 2ن – 1) ء ]
جـ 2ن = ( ن / 2 ) [ 2 ( 18 – 3ن)+ ( 2ن – 1)× - 3]
جـ 2 = ن[ 36 – 6ن – 6ن + 3 ]
جـ 2 = ن[ 39 – 12 ن ] (2)

جـ 1 / جـ 2 = 3 / - 2

من (1) ، (2) نجد أن
جـ 1 ......( ن / 2 ) ( 39 – 3ن ) ...............3
ــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ
جـ 2 ن .....[ 39 – 12 ن ] ــ 2................. 39 – 3ن 3



– 39 + 3ن = 117 – 36 ن
3 ن + 36 ن = 117 + 39
39 ن = 156 (÷ 39)
ن = 4
عدد حدود المتتابعة = 3 ن = 3 × 4 = 12

وظة :
•لإيجاد أكبر مجموع للمتتابعة الحسابية نوجد مجموع حدودها الموجبة أى نضع ح ن > صفر
•لإيجاد أصغر مجموع للمتتابعة الحسابية نوجد مجموع حدودها السالبة أى نضع ح ن < صفر
•لإيجاد أقل عدد من الحدود يلزم أخذه من المتتابعة ليكون المجموع سالبا ً نضع ﺟ ن < صفر
•لإيجاد أقل عدد من الحدود يلزم أخذه من المتتابعة ليكون المجموع موجبا ً نضع ﺟ ن > صفر

مثال (http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gif
فى المتتابعة ( 16 ، 14 ، 12 ، 000000 )
• أوجد أكبر مجموع ممكن لها ؟
• كم حدا ً يلزم أخذها ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع موجبا ً ؟
الحل
نضع ح ن > صفر
أ + ( ن – 1 ) × ء > صفر
16 + ( ن – 1 ) × ــ 2 > صفر
16– 2 ن + 2 > صفر
18 – 2 ن > صفر
18 > 2 ن (÷2)
9 > ن
ن = 8
ليكون المجموع موجبا ً نضع ﺟ ن > صفر
( ن / 2 ) [ 2 أ + ( ن – 1 ) ء ] > صفر
2 أ + ( ن – 1 ) ء > صفر
2 × 16 + ( ن – 1 ) × ــ 2 > صفر
32 – 2ن + 2 > صفر
34 – 2ن > صفر
34 ن > 2ن (÷2)
17 > ن
ن = 16
مثال (9)
أوجد أقل عدد من حدود المتتابعة الحسابية
( 45 ، 42 ، 39 ، 0000000000 ) ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع سالب وأوجد هذا المجموع ؟
الحل
ﺟ ن < صفر
( ن / 2 )[ 2 أ + ( ن – 1 ) ء ] < صفر
2 أ + ( ن – 1 ) ء < صفر
2 × 45 + ( ن – 1 ) × ــ 3 < صفر
90 – 3 ن + 3 < صفر
93 – 3ن < صفر
93 ن < 3 ن (÷2)
31 < ن
ن = 32
ﺣ ن =( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 32= ( ن / 2 ) [ 2 × 45+ ( 32 – 1) × – 3]
جـ 32 =16 [ 90 – 31 × 3 ]
جـ 32 = 16 × [ 90 – 93 ] = 16 × – 3 = – 48

مثال (10)
أوجد مجموع 17 حدا ً الأولى من المتتابعة
3ن + 1 ، ن ≤ 4
حن = 2ن + 5 ، ن < 4
الحل
ﺟ 17 = ﺟ 4 + ﺟ 13
عند ن < 4
ح1 = 3 × 1 + 1 = 4 ح2 = 3 × 2 + 1 = 7
ح3 = 3 × 3 + 1 = 10 ح4 = 3 × 4 + 1 = 13
جـ 4 = ح1 + ح2 + ح3 + ح4 = 4 + 7 + 10 + 13 = 34
عند ن > 4
ح5 = 2 × 5 + 5 = 15 ح6 = 2× 6 + 5 = 17
ح7 = 2 × 7 + 5 = 19 ح8 = 2 × 8 + 5 = 21
( 15 ، 17 ، 19 ، 000000 )
ﺣ ن =( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 13= ( 13 / 2 ) [ 2 × 15+ ( 13 – 1) × 2]
جـ 13 = ( 13 / 2 )[ 30 + 12 × 2 ]

جـ 13 = (13 / 2 )[ 30 + 24 ] = ( 13 / 2 ) × 54= 351

ﺟ 17 = ﺟ 4 + ﺟ 13
جـ 17 = 34 + 351 = 385
مثال (11)
أوجد مجموع 20 حدا ً الأولى من المتتابعة
3ن + 1 ، ن فردية
حن =
2ن + 5 ، ن زوجية
الحل
عند ن فردية
ح1 = 3 × 1 + 1 = 4 ح3 = 3 × 3 + 1 = 10
ح5 = 3 × 5 + 1 = 16 ح7 = 3 × 7 + 1 = 22
( 4 ، 10 ، 16 ، 000000 )
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 1= ( 10 / 2 )[ 2 × 4+ ( 10 – 1) × 6]
جـ 1 = 5 × [ 8 + 9 × 6 ] = 310
عند ن زوجية
ح2 = 2 × 2 + 5 = 9 ح4 = 2× 4 + 5 = 13
ح6 = 2 × 6 + 5 = 17 ح8 = 2 × 8 + 5 = 21
( 9 ، 13 ، 17 ، 000000 )
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 2= (10 / 2 ) [ 2 × 9+ ( 10 – 1) × 4]
جـ 2 = 5 [ 18 + 36 ] = 270
ﺟ 20 = ﺟ 1 + ﺟ 2
جـ 17 = 310 + 270 = 580
مثال (12)
اثبت أن ح ن = لـــو س ص^ ن ــ 1 متتابعة حسابية حيث س ، ص Э ح+ وإذا كانت س= 160 ,ص = 1 / 2 أوجد مجموع الحدود التسعة الأولى بدون الآلة الحاسبة ؟
الحل
ح ن = لـــو س ص ^ن + 1 = لـــــــو س + لـــــــو ص^ ن ــ 1
ح ن = لــــو س + (ن ــ 1) لـــــو ص
ح ن = لــــو س + ن لــــــو ص ــ لـــــو ص
ح ن = لــــو س ــ لـــــو ص + ن لــــــو ص دالة من الدرجة الأولى فى ن
ح ن = لـــو س ص^ ن ــ 1 متتابعة حـــــســابية أساسها ء = لــــو ص (نظرية )
ح1 = لـــو 160 × ( 1 / 2)^ 1 ــ 1 = لــــــو 160 × 1 = لـــــو 160

ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 2= ( 9 / 2 )[ 2 لــــو 160+ ( 9 – 1) لــــو 1 / 2]
جـ 2 = ( 9 / 2 ) [ 2 لـــــو 160 + 8 لـــــو 1 / 2]
جـ 2 = ( 9 / 2)× 2 [ لـــــو 160 + 4 لـــــو 1 / 2]
جـ 2 = 9 [ لـــــو 160 + لـــــو 1 / 16]
جـ 2 = 9 [ لـــــو 160 × 1 / 16 ] = 9 × لـــــــــو 10 = 9 × 1 = 9
مثال (13)
أوجد مجموعة الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 ، 101 والتى تقبل القسمة ÷ 3 ؟
الحل
الأعداد الطبيعية التى تقبل القسمة ÷ 3 هى ( 3 ، 6 ، 9 ، 0000000000 ، 99 )
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
99 = 3 + ( ن – 1 ) × 3
99 = 3 + 3ن – 3
99 = 3 ن
ن = 33
ﺣ ن =( ن / 2 ) [ أ + ل ] = ( 33 / 2 ) [ 3 + 99 ] = ( 33 / 2 )× 102 = 1683

مثال (14)
(ح ن) متتابعة حسابية فيها ح 4= 20
ﺤ ن الأولى........... 3ن – 1
------------------ = -----------
ﺤ 2ن الأولى........... 12ن – 2

أوجد مجموع العشرة حدود الأولى منها ؟
الحل
نضع ن = 1 فى الطرفين
ﺤ 1 الأولى.............. 3 × 1– 1 ..........2 .............1
-----------------= -------------------= -------------= ------------
ﺤ 2 × 1 الأولى......... 12 × 1 – 2......... 10 ...........5

5 جـ1 = جـ 2
5 ح1 = ح1 + ح2
5 أ = أ + أ + ء
5أ = 2أ + ء
ء = 3أ (1)
ح 4= 20
أ + 3ء = 20 (2)
بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن
أ + 3 × 3أ = 20
10 أ = 20 أ = 2
ء = 3 × 2 = 6
جـ 10 = 5 ( 2 × 2 + ( 10 – 1 ) × 6 ) =290

المتتابعه الحسابية
شرطها : - ح ن+ 1 - ح ن = مقدار ثابت ( أساس المتابعة الحسابية ) ورمزه هو ( ء )
عند ء > صفر متتابعة متزايدة
عند ء < صفر متتابعة متناقصة
حيث ح ن مقدار من الدرجة الأولى في ن
المتتابعة الحسابية = ( أ ، أ + ء ، أ + 2 ء ، ...............)
الحد العام ح ن = أ + ( ن – 1 ) ء
مجموع المتتابعة الحسابية :
جـ ن = ن 2 [ 2 أ + ( ن - ) ء ] حيث أ هو الحد إلى نبدأ منه الجمع
جـ ن = ن 2 [ أ + ل ] حيث ل هو الحد الأخير
الوسط الحسابى لعددين
اذا كان ع هو الوسط الحسابي بين العددين أ ، ب فإن
ع = أ + ب/ 2
الوسط الحسابي للعددين = مجموع العددين ÷ 2
تذكر أن
( 1 ) الحد النوني ح ن = أ + ( ن – 1 ) ء
الوسط النوني و ن = أ + ن ء
( 2 ) لايجاد
أول حد موجب ح ن > صفر
أول حد سالب ح ن < صفر
المجموع موجبا جـ ن > صفر
المجموع سالبا جـ ن < صفر
المجموع أكبر ما يمكن جـ ن = ن / 2 [ أ + ل ] حيث أ أول حد موجب ، ل آخر حد موجب
المجموع اصغر ما يمكن جـ ن = ن / 2 [ أ + ل ] حيث أ أول حد سالب ، ل آخر حد سالب

المتتابعة الهندسية

شرطها : - ح ن + 1/ ح ن = ثابت ( ر ) حيث ر ≠ ± 1

المتتابعة الهندسية = ( أ ، أ ر ، أ ر2 ، ..........................)
الحد العام هو ح ن = أ^ رن – 1
مجموع ن حدا من حدود المتتابعة الهندسية : -
جـ ن = أ [ ر ن - 1 ] / ر - 1
جـ ن = ل ر – أ / ر - 1


مجموع عدد لانهائي من حدود المتتابعة الهندسية:-

جـ ∞ =أ / 1 - ر
حيث | ر | < 1 وهو شرط الجمع إلى مالا نهاية

الوسط الهندسي لعددين :-
إذا كان هـ وسط هندسي بين العددين س ، ص فإن هـ = ± جذر ( س × ص )
أي أن الوسط الهندسي لعددين = ± الجزر التربيعى لحاصل ضرب العددين
الوسط الهندسي النوني و ن = أ^ رن
الكسر العشري الدائري :-
أكتب العدد التالي على صورة عدد نسبى
0.3 ( دائري ) = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ............... نوجد المجموع إلى مالا نهاية
= 0.3/ 1 - 1و0 = 0.3 /0.9 = 1 /3

علي المتتابعات
1 ) متتابعة حسابية فيها ح 6 = 16 ، ح 20 = - 26 أوجد المتتابعة ومجموع العشرين حدا الأولى منها ، ثم أوجد أول حد سالب فيها ؟
( 31 ، 28 ، 25 ، 00000 ) ، جـ 20 = 50 أول حد سالب هو ح 12 = - 2
2) متتابعة هندسية فيها ح 2 = 240 ، ح 5 = 30 أوجد المتتابعة وأوجد مجموع عدد لانهائي من حدودها ؟
( 480 ، 240 ، 120 ، 00000 ) ، جـ ∞ = 960
3) متتابعة حسابية فيها ح 2 = 8 ، ح 7 + ح 10 = 55 أوجد المتتابعة ومجموع العشرة حدود الأولى منها ؟
( 5 ، 8 ، 11 ، 00000 ) ، جـ 10 = 185
4) متتابعة حسابية فيها ح 3 = 10 ، ح 7 - ح 4 = 6 أوجد المتتابعة وأوجد مجموع الخمسة عشر حدا الأولى منها مبتدأ من الحد الخامس ؟
( 6 ، 8 ، 10 ، 00000 ) ، جـ 15 = 420
5) متتابعة هندسية فيها ح 2 + ح 5 = 36 ، ح 3 + ح 6 = 18 أوجد المتتابعة وأوجد مجموع عدد غير منتهى من حدودها وأوجد مجموع الخمسة عشر حدا الأولى منها ؟
( 64 ، 32 ، 16 ، 00000 ) ، جـ 15 = 124
6)متتابعة هندسية حدها الأول يساوى 480 وحدها الرابع يساوى 60 أوجد المتتابعة ثم أوجد رتبه الحد الذى قيمته تساوى 15 8 فى هذه المتتابعة ثم أوجد رتبه الحد الذي قيمته أصغر من ( 1 ) وما هى قيمته ؟
( 480 ، 240 ، 120 ، 00000 ) ، ن = 9 ، ح 10 = 15 16
7)أوجد مجموع العشرين حدا الأولى من المتتابعة ( ح ن ) = ( 3 ن + 5 ) ؟ [ جـ 20 = 730 ]
http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gifاذا كان مجموع ن حدا الأولى من متتابعة ما يعطى بالعلاقة حـ ن = 2 ن ( ن + 3 ) أثبت أن المتتابعة حسابية وأوجد حدها العشرين ؟
( 8 ، 12 ، 16 ، 000000 ) ، ح20 = 84
9)كم حدا يلزم أخذها من المتتابعة الحسابية ( 30 ، 25 ، 20 ، 000000 ) ابتدأمن حدها الأولليكون المجموع مساويا 100 ثم فسر معنى الجوابين ؟
[ 5 أو 8 ]
10)كم حدا يلزم أخذها من المتتابعة الهندسية ( 1 ، 2 ، 4 ، 00000 ) ابتدأ من حدها الأول ليكون المجموع مساويا 1023 ؟ [ عدد الحدود = 10 ]
11)متتابعة حسابية مجموع الخمسة عشر حدا الأولى منها يساوى 45 وحدودها الأول والثاني والرابع فى تتابع هندسي أوجد المتتابعة الحسابية ؟ ( 3 ، 6 ، 9 ، 000000 )
12)متتابعة هندسية جميع حدودها موجبة اذا كان مجموع الحدود الأربعة الأولى منها يساوى 120 والوسط الحسابي لحديها الثالث والخامس يساوى 5 فأوجد المتتابعة ثم أوجد مجموع عدد غير منته من حدودها ؟ ( 81 ، 27 ، 9، 000000 ) ، جـ ∞ = 121.5
13)متتابعة هندسية مجموع العشرة حدود الأولى منها 120 ومجموع العشرة حدود التالية لها مباشرة 320 فما هى المتتابعة ؟ ( 3 ، 5 ، 7 ، 000000 )
14)متتابعة هندسية الوسط الحسابي للحدين الثاني والخامس يساوى 9 والوسط الحسابي للحدين الثاني والثالث = 12
أوجد المتتابعة ومجموعها الى مالا نهاية ؟ ( 32 ، 16 ، 8 ، 0000 ) ، جـ ∞ = 64
15)متتابعة حسابية عدد حدودها 25 حدا وحدها الأوسط = 38 ومجموع الثلاثة حدود الأخيرة منها = 213 أوجد المتتابعة ومجموعها ؟
( 2 ، 5 ،8 ، 0000 ، 74 ) ، المجموع = 950
16)متتابعة هندسية متزايدة جميع حدودها موجبة اذا كان الوسط الهندسي لحديها الثاني والرابع 68 والوسط الهندسي الموجب لهما = 32 أوجد المتتابعة . [ 2 ، 8 ، 32 ، .................]
17)متتابعة هندسية حدودها موجبة فيها
ح1 + ح 3 = 10 ، ح 3 + ح 5 = 10 ( ح 2 )2 أوجد المتتابعة ؟
( 1 ، 3، 9 ، 00000 )
1http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gifمتتابعة حسابية حدها الأول يساوى 17 وحدها الأخير - 21 ومجموعها - 40 أوجد المتتابعة ؟
( 17 ، 15 ، 13 ، 00000 )
19)متتابعة هندسية حدها الأول يساوى 3 وحدها الأخير يساوى 1536 ومجموعها 3069 أوجد المتتابعة وعدد حدودها ؟ ( عدد الحدود = 10 )
20)ح ن متتابعة حسابية حدها الثاني يساوى 13 ومجموع العشرة حدود الأولى منها 235 أوجد المتتابعة ؟
( 10 ، 13 ، 16 ، 00000 )
21)متتابعة هندسية حدودها موجبة وحدها الثاني 6 وحدها الثالث يزيد عن حدها الأول بمقدار 9 أوجد مجموع 12 حدا الأولى منها ؟
( 3 ، 6 ، 12 ، 00000 ) ، جـ 12 = 12285
22)أدخل 5 أوسط حسابية بين 27 ، 3
23)أدخل 5 أوساط هندسية بين 192 ، 3
24)إذا أدخلنا بين 3 ، 21 عدة أوساط حسابية بحيث كانت النسبة بين مجموع الوسطين الأولين الى مجموع الوسطين الآخرين 1 : 3 فأوجد المتتابعة وما عدد تلك الأوساط ؟
( 3 ، 5 ، 7 ، 00000 ، 21 ) ، ن = 8
25)إذا أدخلت عدة أوساط هندسية بين 3 ، 384 وكانت النسبة بين مجموع الوسطين الأولين الى مجموع الوسطين الآخرين 1 : 16 فما عدد تلك الأوساط ؟
[ العدد = 6 ]
26)متتابعة حسابية حدها الأول 11 ومجموع الربعة حدود الأولى منها 56 ومجموع الحدود الأربعة الأخيرة منها 112 أوجد عدد حدود المتتابعة ومجموعها ؟
( 11 ، 13 ، 15 ، 000000) عدد الحدود = 11 ، المجموع = 231
27)متتابعة حسابية عدد حدودها 30 حدا فإذا كان حدها العاشر = 21 ،مجموع الحدود العشرة الأخيرة منها = 675 أوجد مجموع العشرة حدود الأولى منها ؟
[ المجموع = 75 ]
2http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gifمتتابعة هندسية مجموع عدد غير منته من حدودها يساوى 4وحدها الثاني = - 3 أوجد المتابعة ؟
( 6 ، - 3 ، 1.5 ، 00000 )
29)متتابعة حسابية حدودها موجبة ومجموع الثلاثة حدود الأولى منها 15 وحاصل ضرب حيها الأول والثالث 21 فما هي المتتابعة ؟ ( 3 ، 5 ، 7 ، 0000000)
30)متتابعة هندسية لانهائية أساسها موجب ومجموع حدودها إلى مالا نهاية يساوى 25 والفرق بين حديها الثاني والأول يساوى ( 1 ) أوجد المتتابعة ؟
( 5 ، 4، 3.2 ، 00000000 )
31)متتابعة هندسية لانهائية حدها الأول يساوى ضعف مجموع الحدود التالية له إلى مالا نهاية وحدها الثاني = 1 3 أوجد المتتابعة ؟ ( 1 ، 1 3 ، 1 9 ، 000000 )
32)ثلاثة إعداد تكون متتابعة حسابية ومجموعها 15 واذا نقص الحد الأوسط بمقدار 2 نحصل على متتابعة هندسية أوجد المتتابعة الهندسية ؟
( 1 ، 3 ، 9 ، 0000 ) أو ( 9 ، 3 ، 1 ، 0000 )
33)ثلاثة إعداد تكون متتابعة هندسية مجموعها 13 وإذا أضيف للعدد الثاني 2 نحصل على متتابعة حسابية أوجد المتتابعة الهندسية وأوجد مجموعها إلى مالا نهاية ؟
(9 ، 3، 1 ، 000000 ) ، جـ ∞ = 13.5
34)أوجد أصغر عدد من الحدود يمكن أخذه من المتتابعة الحسابية ( 32 ، 29 ، 26 ، .......) ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع سالبا . [ 23 حدا ]
35)أوجد أكب عدد من الحدود يمكن أخذه من المتتابعة الحسابية( 25 ، 21 ، 17 ، .......) ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع موجبا . [ 13 حدا ]
36)أوجد رتبه وقيمة أول حد سالب فى المتتابعة الحسابية ( 53 ، 49 ، 45 ، .......) وأوجد عدد الحدود التى تؤخذ اعتبارا من الحد الأول لتعطى أكبر مجموع ممكن وما هو هذا المجموع .
[ ح 15 = - 3 ، 378 ]
37)اذا كانت أ ، 2 ب ، 3 جـ ، 4 ء كميات موجبة فى تتابع هندسىأثبت أن
( أ + 3 جـ ) ( ب + 2 ء ) > 12 ب جـ
3http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gifاذا كان ( ص ، 1 ، ص + 3 10 ، .......) متتابعة هندسية أثبت أنه توجد قيمتان للعدد ص أوجد المتتابعة ؟ [ص = 2 أو – 5 ] ، ( 2 ، 1 ، 1 2 ، ..........) ، ( - 5 ، 1 ، - 1 5 )
39)اذا كان أ ، ب ، جـ فى تتابع حسابي أثبت أن أ + ب ، أ + جـ ، ب + جـ فى تتابع حسابي أيضا .
40)فى المتتابعة الحسابية اذا كان ح1 ، ح 4 ، ح 13 فى تتابع هندسي فبرهن أن
ح 2 ، ح 7 ، ح 22 فى تتابع هندسى أيضا .
41)س ، ص عددان موجبان ، س < ص فإذا كان الوسط الحسابى لهما هو 15 والوسط الهندسى الموجب لهما يساوى 9 أوجد قيمة س ، ص ثم أوجد مجموع عدد غير منته من حدود المتتابعة ( س ، 9 ، ص ، .....) .
[ س = 3 ، ص = 27 أو س = 27 ، ص = 3 ، جـ ∞ = 40.5 ]
42)اذا كان الوسط الهندسي الموجب بين أ ، ب هو 6 والوسط الحسابي بين 1/ أ ، 1 / ب هو 5 / 18 أوجد كلا من أ ، ب ثم أوجد الحد النونى للمتتابعة المتزايدة ( أ ، 6 ، ب ، .......) .
[ ( 2 ، 6 ، 18 ، ......) ، ح ن = 2 × ( 3 ) ن – 1 ]
43)اذا كان أ ، ب هما الوسطان الهندسي والحسابي بين م ، ن على الترتيب ، ك 2 هو الوسط الحسابي بين م 2 ، ن 2
أثبت أن ب2 هو الوسط الحسابي بين أ 2 ، ك 2
44)موظف بدأ عملا بمرتب سنوى 1000 جنيه وعلاوة سنوية قدرها 2 % من مرتب السنة السابقة أوجد جملة دخله خلال 20 سنه . [ 24300 جنيه تقريبا ]
45)بدأ رجل عمله فى شركة براتب سنوى 1200 جنيه وكان يأخذ علاوة سنوية قدرها 20 جنيه فكم يصبح راتبه السنوى بعد 10 سنوات وما هو مجموع ما يكون ما تقاضاه من مرتب طوال هذه المدة .
[ 1380 جنيه ، 12900 جنيه ]
46)متتابعتان أحدهما هندسية والأخرى حسابية فاذا كان الحد الأول من كل منهما يساوى 3 وكان الحد الثاني من المتتابعة الهندسية يساوى الحد الرابع من المتتابعة الحسابية وكان الحد الثالث من الهندسية يساوى الحد العاشر من الحسابية . فأوجد كلا من المتتابعتان .
[ ( 3 ، 6 ، 12 ، ........) ، ( 3 ، 4 ، 5 ، ...........) ]
47)ضع العدد 0.142 ( 2, 4 دائري ) على صورة جـ/ ء حيث جـ ، ء عددان صحيحان ، ء لاتساوي صفر [ 142 / 999 ]
4http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gifإذا كان مجموع الثلاثة حدود الأولى من متتابعة هندسية = 13 ومجموع مربعاتها = 91 بين أن هناك متتابعتان أنه يمكن جمع إحداهما الى مالا نهاية وأوجد هذا المجموع .

مع تمنياتي بالتوفيق للجميع

الآتية زوجية أو فردية :
1 ) د(س) = جا س
2) د(س) = قتا س
3) د(س) = ظا س
4) د (س) = س2+ س ـ 1
5) د(س) = س+ 2
6) د(س) = س2
7) د(س) = س3 + س
http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gif د(س) = س3 + س – 1
9) د(س) = س | س|
10 ) د(س) = (2س – 1)3
11) د(س)= س2 +1
12) د (س) = جذر ( س2 – 1 )
13) د (س) = س3 + س2
14) د (س) = س جتا س 0

أبحث إطـراد الدالة
1) د(س) = 5 – 2س لكل س
2) د(س) = س3 – 3 لكل س
3) د(س) = س2 + 5
4) د(س) = س | س| لكل س ح

عريف كل من
د(س) = | س – 2| ،
د(س) = | س2 – 4| ،
د(س) = | س – 3| + | س + 3| + 2

(2 ) أوجد مجال د(س) = جذر ( 4 – س2 )

(3) ابحث من حيث الزوجية والفردية
أ ) د(س) = س + 2
ب) د(س) = س2
جـ) د(س) = س3 + س
د ) د(س) = س3 + س – 1
هـ) د(س) = س | س|
ز) د(س) = (2س – 1)3

(9) أبحث تزايد وتناقص كل من
د(س) = 3 س + 2 ،
د(س) = س2 + 5 ،
د(س) = |س| ،
د(س) = | س – 3|

الدالة اللوغاريتميه

إذا كان أ ينتمي إلي إلي ح+ – {1} فإن س = لـــــوأ ص يؤدي الي ص = (أ) ^س
• لـــــوأ ص تقرأ لوغاريتم ص لأساس أ
• الدالة اللوغاريتميه هى الدالة العكسية للدالة الآسية
• س ينتمي إلي إلي ح
• ص ينتمي إلي إلي ح+
مثال (1)
إذا كانت س = لــــــــــــو5 125 اوجد قيمة س ؟
الحل
5 س = 125
5 س = 5^3
س = 3
مثال (2)
اوجد قيمة س إذا كان
1) لــــــــو2 س = ــ 4
2 ) لـــــــــو س 8 = 6
3 ) لــــــــو9 81 3 = س
3 ) لـــــــــو س 7س = 2
الحل
1) س = (2)^-4 = 1/16
2) لــــــــو س 8 = 6
س6 = 8 = (2) 3 = ( جذر 2 )6
س = جذر 2
3 ) لـــــــــوس 7س = 2
س 2 = 7 س
س2 – 7س = 0
س ( س – 7 ) = 0
س = 0 & س = 7
4) لــــــــــو9 81 جذر 3 = س
يؤدي 9^س = 81 جذر 3
(3)4 × جذر 3 = 9 ^س
( جذر 3 ) 9 = ( جذر3 )4س
4 س = 9
س =9/4

مثال (3)
اوجد قيمة كل من
1) لــــــــــــو 2 64
2) لـــــــــــو3 243
3) لـــــــــو 5 125
4) لـــــــــــــــو7 7
الحل
1) نفرض أن س = لـــــــــــو2 64
2س = 64 = 2 6
س = 6
لـــــــــــو2 64 = 6
2) نفرض أن س = لـــــــــــو3 243
3س = 243 = 3 5
س = 5
لـــــــــــو3 243 = 5
3) نفرض أن س = لـــــــــــو5 125
5س = 125 = 5 3
س = 3
لـــــــــــو5 125 = 3
4) نفرض أن س = لـــــــــــو7 7
7س = 7 = 7 1
س = 1
لـــــــــــو7 7 = 1

نين اللوغاريتمات

• لــــــــــــو م س + لــــــــــو م ص = لـــــــــــــو م س × ص
• لــــــــــــو م س – لـــــــــــو م ص = لـــــــــــــو م س/ص
• لــــــــــــو م س ^ن = ن لــــــــــــو م س
• لــــــــــــو س س = 1
• لــــــــــــو م 1 = صفر
مثال (1)
بدون استخدام الآلة اثبت أن 2 لــــــــو 2 14 – 4 لــــــو 2 5 + 2 لــــــو 2 25/7= 2
الحل
الأيمن = 2 لــــــــو 2 14 – 4 لــــــو 2 5 + 2 لــــــو 2 25/7
= لــــــــو 2( 14)^ 2 – لـــــــو 2( 5)^ 4 + لــــــــو2 (25/7)^2
= لــــــــو 2 196 – لـــــــو 2 625 + لــــــــو 2 25/7
= لـــــــــو 2 (196×625) /( 625 × 49 ) = لــــــــو2 4 = لــــــو2 (2)2 = 2 لـــــو2 2 = 2
مثال (2)
بدون استخدام الآلة اثبت أن :
2 لـــــو3 15 + لـــــو3 7/3 – لــــو3 5 – لــــو3 35 = 2 لــــــــو5 جذر 5
الحل
الأيمن = 2 لــــــــو3 15 + لــــــو3 7/3 – لــــــو3 5 – لــــــــو3 35
= لــــــــو3( 15)^2+ لــــــــو3 7/3 – لـــــــو3 5 – لـــــــو3 35
= لــــــــو3 225 + لــــــــو3 7/3 – لـــــــو3 5 – لـــــــــو3 35
= لـــــــــو3(225×7)/( 5× 3×35) = لــــــــو3 3 = 1
الأيسر = 2 لـــــــــو5 جذر 5 = لـــــــــــو5 ( جذر 5 )^ 2 = لـــــــو5 5 = 1 = الأيمن
مثال (3)
إذا كان : 3 لـــــــو س + 4 لــو ص – لــــــو س ص^ 2 = 2 ( لـــــو 2 + لـــــو 3 )
اثبت أن : س ص = 6
الحل
3 لـــــــو س + 4 لــو ص – لــــــو س ص^ 2 = 2 لـــــو 2 + 2 لـــــو 3
لـــــــو س^3 + لــو ص^4 – لــــــو س ص^ 2 = لـــــو( 2)^2 + لـــــو( 3 )^2
لــــــــو (س^3 × ص^4 ) / س ص^ 2 = لــــــــو 4 + لــــــــــو 9 = لــــــــو 4 × 9
لــــــــــــــــــــــو س2 ص2 = لــــــــــو 36
س2 ص2 = 36 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين
س ص = 6

تذكر أن
لـــــوأ ص =س
ص = (أ)^ س
مثال (4)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لــــــــــو س ( س + 6 ) = 2
الحل
لــــــــــو س ( س + 6 ) = 2
س + 6 = س^2
س2 – س – 6 = 0
( س – 3 ) ( س + 2 ) = 0
س = 3 & س = – 2 مرفوض
مجموعة حل المعادلة = { 3 }
مثال (5)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لــــــــــو ( س2 + 9 س ) = 1
الحل
لــــــــــو ( س2 + 9 ) = 1
س2 + 9 س = (10)^1
س2 + 9س – 10 = 0
( س – 1 ) ( س + 10 ) = 0
س = 1 تحقق المعادلة س = – 10 تحقق المعادلة
مجموعة حل المعادلة = { 1 ، – 10}
مثال (6)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لـــــــو4 س + لـــــــو4 ( س + 12 ) = 3
الحل
لــــــــــــــــو 4 س ( س + 12 ) = 3
لــــــــــــــو 4 ( س2 + 12 س) = 3
س2 + 12 س = 4 3 = 64
س2 + 12س – 64 = 0
( س – 4 ) ( س + 16 ) = 0
س = 4 & س = ــ 16 مرفوض
مثال (7)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لــــــــــو 4 لــــــــو 2 لـــــــــو 3 س^8 = 1
الحل
لــــــــــو 4 لــــــــو 2 لـــــــــو 3 س^8 = 1
لــــــــو 2 لـــــــــو 3 س8 = 4 ^1 = 4
لـــــــــو 3 س8 = (4)^2 = 16
س8 = (3)^ 16
س8 = (3)^(2 ×8 )= ( (3)^2 )^8
س8 = ( (3)^2 )^8
س = (3)^ 2 = 9
مجموعة الحل = { 9 }

تذكر أن
لـــــــو م س = لــــــوم ص
س = ص

مثال (6)
اوجد مجموعة حل المعادلة :
لــــــــــو 3 ( س – 1 ) + لــــــــو 3 ( س + 1 ) = 3 لــــــــو 3 2
الحل
لــــــــــو 3 ( س – 1 ) + لــــــــو 3 ( س + 1 ) = لــــــــو 3 (2)3
لــــــــــو 3 ( س – 1 )( س + 1 ) = لــــــــو 3 8
لــــــــــو 3 ( س2 – 1 ) = لــــــــو 3 8
س2 – 1 = 8
س2 – 9 = 0
( س – 3 ) ( س + 3 ) = 0
س = 3 س = – 3 مرفوض
م . ح = { 3 }

مثال (7)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لـــو( س – 1 )^ 3 – 3 لـــو( س – 3 ) = لـــو 8
الحل
لــــــــــو ( س – 1 )^3 – لــــــــو ( س – 1 )^3 = لــــــــو 8

لــــو( س – 1 )^3 / ( س – 3 )^3 = لـــــــــو 8

( س – 1 )^3 / ( س – 3 )^3 = 8 بأخذ الجذر التكيعبيي للطرفين

( س – 1 ) / ( س – 3 ) = 2

س – 1 = 2س – 6
س = 5
م.ح = { 5 }

مثال (7)
اوجد مجموعة حل المعادلة :
لــــــــــو ( س – 2 ) + لــــــــو ( س – 3 ) = 1 – لــــــــو 5
الحل
لــــــــــو ( س – 2 ) + لــــــــو ( س – 3) = لــــــــو 10 – لــــــــو 5
لــــــــــو ( س – 2 )( س – 3) = لــــــــو10/5 = لــــــــــــو 2
لــــــــــو ( س^2 – 5 س + 6 ) = لــــــــو 2
س^2 – 5 س + 6 = 2
س^2 – 5 س + 4 = 0
( س – 4 ) ( س – 1 ) = 0
س = 4 أ، س = 1 مرفوض
م . ح = { 4 }

ر أن

( 1 )لـــــــــــــوم س^ ن / لـــــــــــــوم س^ ك = ن لـــــــــــوم س / ك لـــــــــــوم س = ن / ك


( 2 ) لـــــــــــــوم125 / لـــــــــــــوم5 لا يساوي 125 / 5


مثال (http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gif
إذا كان لـــــــو س / لو 5 = لو 36 / لو 6 = لو 64 / لو ص فاوجد قيمة س ، ص ؟
الحل
لـــــــو س / لو 5 = لو 36 / لو 6
لـــــــو س / لو 5 = لو 6^2 / لو 6
لـــــــو س / لو 5 = 2لو6/ لو6 = 2
لـــــــو س / لو 5 = 2
لــــــــــــــو س = 2 لــــــــــــو 5
لــــــــــــــــــو س = لـــــــــــــو (5)^2 = لـــــو 25
س = 25
لو 64 / لو ص = 2
2 لـــــــــو ص = لــــــــــو 64
لـــــــــــــو ص^2 = لــــــــــــــــو 64
ص^2 = 64
ص = 8
مثال (9)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لـــــــــــو2 س =( 2 لو 9 × لو 8 ) / (لو 3 × 3 لو 2 )
الحل
لـــــــــــو2 س = ( 2لـــــو 3^2× لــــــو 2^3 ) / (لو 3 × 3 لو 2 )=
لـــــــــــو2 س =( 4لـــــو 3 ×3 لــــــو 2 ) / (لو 3 × 3 لو 2 )=
لــــــــــــو2 س = 4
س = (2)^4
س = 16
مثال (10)
اوجد قيمة : لـــــــو7 لـــــــو3 81 / لـــــــو7 32
الحل
لـــــــو7 لـــــــو3 81 / لـــــــو7 32 = لـــــــو7 لـــــــو3 (3)^4 / لـــــــــو 7 32
= لـــــــو7 4× لـــــــو3 3 / لـــــــو 7 32 = لـــــــو7 4 × 1 / لـــــــو7 32 =
2 لـــــــــو7 2 / 5 لـــــــــو7 2 = 2/5

تذكر أن
• ( لـــــــــــــوم س)^2 = لـــــــــــوم س × لـــــــوم س

• لـــــــــــــوم س^2 = 2 لـــــــــــوم س

• ( لـــــــــــــوم س)^2 ≠ لـــــــــــوم س^2


مثال (11)
اوجد مجموعة حل المعادلة : ( لـــــــــــو س )^ 2 ــ لــــــــــــو س^3 = 4
الحل
( لـــــــــــو س )^ 2 ــ لــــــــــــو س^3 = 4
( لـــــــــــو س )^ 2 ــ 3لــــــــــــو س – 4 = 0
( لــــــــــو س – 4 ) ( لـــــــــو س + 1 ) = 0
لــــــــــــو س = 4
لـــــــــــــو س = ــ 1
س = 10^4= 10000
س = 10 ^- 1 = 0.1
مجموعة حل المعادلة = { 10000 ، 0.1 }
مثال (12)
اوجد مجموعة حل المعادلة : ( لـــــــــــو س + 1 ) لــــــــــــو س/ 10 = 3
الحل
( لـــــــــــو س + 1 ) لــــــــــــو( س / 10 )= 3
( لـــــــــو س + 1 ) ( لــــــــــو س – لــــــــو 10 ) = 3
( لـــــــــو س + 1 ) ( لــــــــــو س – 1 ) = 3
( لـــــــــو س ) ^2 – 1 = 3
( لـــــــــو س )^ 2 – 4 = 0
( لــــــــــو س – 2 ) ( لــــــــو س + 2 ) = 0
لــــــــــــو س = 2
لــــــــــو س = – 2
س = (10)^2 = 100
س = (10)^ ــ 2 = 0.01
م. ح = { 100 ، 0.01 }
مثال (13)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لـــــــــــو س = [( لـــــــو 5 )^2 ــ لـــــــو 125] / لـــــــو 0.005
الحل
لـــــــــــو س = [( لـــــــو 5 )^2 ــ لـــــــو 5^3] / [لـــــــو 5 ــ لـــــــو 1000 ]

لــــــــــــو س = [( لـــــــو 5 )^2 ــ 3 لـــــــو 5] / لـــــــو 5 ــ 3

لـــــــــو س =لـــــــو 5 ( لـــــــو 5 ــ 3 ) / (لـــــــو 5 ــ 3) = لـــــــــــــو 5

لـــــــــو س = لـــــــو 5
س = 5

مثال (14)
إذا كان لــــــــو س 5 = 0.5 فاثبت أن :
[ لــــــــو5 س^2 – لـــــــــو 4س ] / [لــــــــو3 ( 3س + 6 ) ] = 1/2

الحل
لــــــــو س 5 = 0.5
س^ 0.5 = 5
س = 25
لــــــــو5 س^2 – لـــــــــو 4س / لــــــــو3 ( 3س + 6 ) =
[لــــــــو5 (25)2 – لـــــــــو 4× 25] / لــــــــو3 ( 3× 25 + 6 )
[ لــــــــو5 (5)4 – لـــــــــو 100 ]/ لــــــــو3 81
[4 لــــــــو5 5 – 2لـــــــــو 10 ] / 4 لــــــــو3 3
(4 - 2 ) / 4 = 2 / 4 = 1 / 2
مثال (15)
اوجد مجموعة حل المعادلة : (http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gif^ س+ 1 = (9)^ س – 2
الحل
بأخذ اللوغاريتم للطرفين نجد أن
لـــــــــــو (http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gif^ س+ 1 = لــــــــــــو (9)^ س – 2
( س + 1 ) لــــــــــــو 8 = ( س – 2 ) لـــــــــو 9
س لــــــــــو 8 + لــــــــــو 8 = س لــــــــــو 9 – 2لـــــــــو 9
س لــــــــــو 8 – س لــــــــــو 9 = ــ لــــــــــو 8 – 2لـــــــــو 9
س ( لــــــــــو 8 – لــــــــــو 9 ) = ــ لــــــــــو 8 – 2لـــــــــو 9
س = ( لــــــــــو 8 – لــــــــــو 9 ) / (ــ لــــــــــو 8 – 2لـــــــــو 9)
باستخدام الآلة الحاسبة
س = 54.9645
مثال (16)
إذا كان : 2 ×5 ^ص = 5 × 2 ^ص + 2 فاوجد قيمة ص لأقرب رقم عشرى
الحل
لــــــــــو ( 2 ×5 ^ص ) = لـــــــــو ( 5 × 2 ^ص + 2 )
لـــــــــو 2 + لــــــــــو 5 ^ص = لـــــــــــو 5 + لـــــــــو 2 ^ص + 2
لــــــــو 2 + ص لـــــــــو 5 = لـــــــــو 5 + ( ص + 2 ) لــــــــو 2
لــــــــو 2 + ص لــــــــو 5 = لــــــــو 5 + ص لــــــــو 2 + 2لــــــــو 2
ص لــــــــو 5 ــ ص لــــــــو 2 = لــــــــو 5 + 2لــــــــو 2 ــ لــــــــو 2
ص ( لــــــــو 5 ــ لــــــــو 2 ) = لــــــــو 5 + لــــــــو 2
ص = ( لــــــــو 5 + لــــــــو 2 ) / ( لــــــــو 5 ــ لــــــــو 2 )
ص = 2.5
مثال (17)
إذا كان : 3 ^(7 + 2 س) = 18.1 فاوجد قيمة س لأقرب رقمين عشرين
الحل
لــــــــــو [3 ^(2س + 7 ) ] = لـــــــــو 18.1
( 2س + 7 ) لو 3 = لــــــــــــــو 18.1
2س لــــــــــــو 3 + 7 لـــــــــو 3 = لــــــــــــو 18.1
2س لــــــــو 3 = لــــــــــو 18.1 – 7 لــــــــــــو 3
س = ( لــــــــــو 18.1 – 7 لــــــــــــو 3 ) / 2 لو 3
س= ــ 2.18

مثال(1http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gif
إذا كان : لـــــوب س + لـــــوب ص – 2لــــــــوب ( س + ص ) / 2 = صفر

أثبت أن س – ص = 0
الحل
لـــــوب س + لـــــوب ص – 2لــــــــوب ( س + ص ) / 2 = صفر

لـــــوب س + لـــــوب ص – لــــــــوب [ ( س + ص ) / 2 ]^2= صفر

لـــــوب س + لـــــوب ص – لــــــــوب [ ( س2 + 2س ص + ص2 ) / 4 ] = صفر

لـــــوب ( س × ص × 4 ) / ( س2 + 2س ص + ص2 ) = 0

( س × ص × 4 ) / ( س2 + 2س ص + ص2 ) = 1

س2 + 2س ص + ص2 = 4 س ص
س2 + 2س ص + ص2 – 4 س ص = 0
س2 – 2س ص + ص2 = 0
( س – ص )( س – ص ) =0
س – ص = 0 #
مثال(19)
إذا كان ص = أ^ لــــــــوأ س 0000000فاثبت أن ص = س ومن ذلك أوجد قيمة 2^ لـــــــو2 5
الحل
ص = أ^لـــــــوأ س
بوضع لــــــــوأ س = ع

ص =أ^ع
لــــــــــو أ ص = ع
لــــــــــو أ ص = لــــــــوأ س
ص = س

2^لـــــــو2 5 = 5

مثال(21)
أثبت أن : لـــــــــوس ص = لــــــــــوب ص × لــــــوس ب
ومن ذلك حل المعادلة : لـــــــــــــــو9 هـ = لــــــــــو3 4
الحل
بوضع : لـــــــــوس ص = ع
ص = س^ع (1)
بوضع : لــــــــــوب ص = ن
ص = ب^ن (2)
بوضع : لــــــــــوس ب = ك
ب =س^ك (3)
من (1) & (3) & (2) نجد أن
س^ع = (س^ك)^ن
الأساس = الأساس
إذن الأس = الأس
ع = ك × ن
لـــــــــوس ص = لــــــــــوب ص × لــــــوس ب
لـــــــــــــــو9 هـ = لــــــــــو3 4
لـــــــــو9 هـ = لــــــــــو9 4 × لــــــو3 9
لـــــــــو9 هـ = لــــــــــو9 4 × لــــــو3 23
لـــــــــو9 هـ = لــــــــــو9 4 × 2 لــــــو3 3
لـــــــــو9 هـ = ( لــــــــــو9 4 )× 2 = 2 لــــــــــو9 4 = لــــــو9 24 = لــــــو9 16
لـــــــــو9 هـ = لــــــــــو9 16
هـ = 16
مثال (22)
حل المعادلة : لـــــــــــــــو9 هـ = لــــــــــو3 4
الحل
لـــــــــــــــو9 هـ = لــــــــــو3 4 = ك
لــــــــــو3 4 = ك
3^ك = 4 0000000000000000(1)
لـــــــــــو9 هـ = ك
9^ك= هـ
( 3^2)^ك = هـ
(3ك)^2 = هـ 00000000000000(2)
من (1) فى (2)
هـ = (4)^2
هـ = 16
مثال(23)
إذا كانت س = لــــو 5 ÷ لـــــــو 3 فاوجد قيمة المقدار 9^س – 3 ^ ( س + 1 )+ 2
الحل
س = لو 5/ لو 3
س لــــــــو 3 = لــــــــو 5

لـــــــــو 3^س = لــــــــو 5
3^س= 5
قيمة المقدار : 9^س – 3 ^(س + 1 )+ 2 = (3^2)^س – 3 ^س × 3 + 2
= (3^س)2 – 3 ^س × 3 + 2= (5)2 – 5 × 3 + 2
= 25 – 15 + 2 = 12

--------------------------------------------------------------------------------

حساب المثـلثـات

المثلث مكون من 6 عناصر 3 زوايا ، 3 أضلاع وأن إجراء العمليات على هذه العناصر الست قادنا للقول "علم حساب المثلثات" أو حساب المثلثات وكافة القوانين المذكورة هنا للمثلث الذي مجموع زواياه 180 درجة حيث يوجد مثلث كروي فيه مجموع الزوايا أكبر أو أقل من 180ه.

والمثلث المبين بالرسم أ ب حـ أضلاعه الثلاثة أ¯ ، ب¯ ، حـ¯ التي تقابل الزوايا أ ، ب ، حـ على الترتيب. والزاوية تقاس بالتقدير الستيني (الدرجات) والوارد من تقسيم الدرجة إلى 60 دقيقة (60َ ) والدقيقة 60 ثانية (60 ً ) على أساس الزاوية القائمة 90ه بتقسيمها لأقسام متساوية كل منها يسمى درجة ستينية (1ه) في حين التقدير الدائري للزاوية هو النسبة بين طول قوس دائري مركزه رأس الزاوية ومحصور بين ضلعيها وبين نصف القطر وعناصر الزاوية الأساسية ثلاثة هي وضعها الأصلي ووضعها النهائي واتجاه الحركة على أساس دوران مستقيم في مستو حول نقطة من نقاطه وسنتعامل مع الزاوية ذات القياس الرئيسي أي أقل من 360ه والتي تكبرها نطرح منها 360ه أو مضاعفاتها وحال الزاوية سالبة نضيف 360ه أو مضاعفاتها ويفضل إسناد الزوايا إلى 180ه عند حساب النسب المثلثية لها مع مراعاة الإشارة والعلاقات والقوانين التالية صحيحة:

ظل الزاوية ب: طاب = المقابل / المجاور

جيب الزاوية ب: حاب = المقابل / الوبر

جيب تمام الزاوية ب: حتاب= المجاور / الوتر

أ + ب + حـ = 5180
ظل تمام الزاوية ب: طتاب = المجاور / المقابل

أ ، ب زاويتان متتامتان ↔ أ + ب = 590

قاطع تمام الزاوية ب: قتاب = الوتر / المقابل

إذا كان: أ + ب = 590

فــــــإن: حاأ = حتاب ، طاأ= طتاب ، قاأ = قتاب

قاطع الزاوية ب: قاب = الوتر / المجاور

للتحويل من التقدير الدائري للستيني والعكس نستخدم

النسبة × مقلوبها = 1 أي:

طاب × طتاب =1، حاب× قتاب = 1، حتاب× قاب =1

قيم النسب الستة موجبة في الربع الأول لأي زاوية هـ
حاهـ ، مقلوبها موجبة في الربع الثاني والباقية سالبة
طاهـ ، مقلوبها موجبة في الربع الثالث والباقية سالبة
حتاهـ ، مقلوبها موجبة في الربع الرابع والباقية سالبة
حا – هـ = – حاهـ ، حتا – هـ = حتاهـ ، طا – هـ = – طاهـ
قتا – هـ = – قتاهـ ، قا– هـ = قاهـ ، طتا – هـ = – طتاهـ
حا(590 – هـ) = حتاهـ ، حتا(590 – هـ) = حاهـ طا(590 – هـ) = طتاهـ ، طتا(590 – هـ) = طاهـ
قا(590 – هـ) = قتاهـ ، قتا(590 – هـ) = قاهـ حا(590 + هـ) = حتاهـ ، حتا(590 + هـ) = – حاهـ
طا(590 + هـ) = – طتاهـ ، طتا(590+ هـ) = – طاهـ قا(590 + هـ) = – قتاهـ ، قتا(590+ هـ) = قاهـ
حا(5180 – هـ) = حاهـ ، حتا(5180 – هـ) = – حتاهـ طا(5180 – هـ)= – طاهـ ، طتا(5180– هـ)= – طتاهـ
قا(5180 – هـ) = – قاهـ ، قتا(5180 – هـ) = قتاهـ حا(5180+ هـ)= – حاهـ ، حتا(5180+ هـ)= – حتاهـ
طا(5180+ هـ) = طاهـ ، طتا(5180 + هـ) = طتاهـ قا(5180 + هـ) = – قاهـ ، قتا(5180 + هـ) = – قتاهـ
بنفس الطريقة للزاويتين (5270 ± هـ) وأن قيم نسب 5360 هي نفس قيم نسب 0ه ومن حيث في أي مثلث:

أ + ب + حـ = 5180 أي أ + ب = 5180 – حـ فإن حتا(أ+ب)= حتا(5180– حـ)= – حتاحـ ويمكن استنتاج الباقي

وعلى العموم تكتب إشارة النسبة حسب الربع الواقعة فيه الزاوية بعد وضعها على الصورة (م×90± هـ)، م موجبة، هـ حادة ونكتب نفس النسبة (حا) إذا كانت م عدداً زوجياً والنسبة المتممة إذا كانت م عدداً فردياً (حتا).
حا^2 هـ + حتا^2هـ = 1
1 + طا^2هـ = قا^2هـ
1 + طتا^2هـ = قتا^2هـ
حا(أ ± ب) = حاأ حتاب ± حتاأ حاب
حتا(أ + ب) = حتاأ حتاب – حاأ حاب
حتا(أ – ب) = حتاأ حتاب + حاأ حاب



طا( أ + ب) = ( طاأ + طاب) / ( 1 – طاأ طاب )

طا( أ – ب) = ( طاأ - طاب) / ( 1 + طاأ طاب )


حتا(ب – حـ) × حتا(ب + حـ) = حتا^2 ب + حتا^2 حـ – 1
حا(ب + حـ) × حا(ب – حـ) = حا^2ب – حا^2حـ
حا2حـ = 2حاحـ حتاحـ
حتا2حـ= حتا^2 حـ – حا^2 حـ= 2حتا^2 حـ – 1=1–2حا^2 حـ


طا2حـ = ( 2طاحـ ) / ( 1 – طا^2 حـ )


طا3حـ =( طاحـ – طا^3 حـ ) / ( 1 –3طا^2 حـ )
حتا3حـ = 4حتا^3 حـ – 3حتاحـ
حا3حـ = 3حاحـ – 4حا^3 حـ

2حتا^2 حـ = 1 + حتا2حـ (هامة للتكامل)
2حا^2 حـ = 1 – حتا2حـ (هامة للتكامل)


حاب + حا د = 2حا ( ب + د ) / 2 حتا ( ب - د ) / 2
حاب – حا د = 2حتا ( ب + د ) / 2 حا ( ب – د ) / 2

حتاب + حتا د = 2حتا ( ب + د ) / 2 حتا ( ب - د ) / 2

حتاب – حتا د = –2حا( ب + د ) / 2 حا( ب – د ) / 2


2حاب حتا د = حا( ب + د) + حا( ب – د)
2حتاب حا د = حا( ب + د) – حا( ب – د)
2حتاب حتا د = حتا( ب + د) + حتا( ب – د)
2حاب حا د = حتا( ب – د) – حتا( ب + د)

في ∆ أ ب حـ ( أ¯ / حا أ ) = ( ب¯ /حاب ) =( حـ¯ / جا جـ ) = 2 نق

نق نصف قطر الدائرة الخارجة للمثلث (المارة برؤوسه)
أ¯ = ب¯حتاحـ + حـ¯حتاب

ب¯ = حـ¯حتاأ + أ¯حتاحـ

حـ¯ = أ¯حتاب + ب¯حتاأ

( أ¯ )^2= ( ب¯ )^2 + ( حـ¯ )^2 – 2 ب¯حـ¯ حتاأ

حتاأ = [ ( ب¯ )2+ (حـ¯ )2– ( أ¯ )2 ] / 2 ب¯حـ¯


( ب¯ )2= ( حـ¯ )2 + ( أ¯ )2 – 2 حـ¯ أ¯ حتاب


حتاب= [ (حـ¯ )2+ ( أ¯ )2– ( ب¯ )2 ] / 2 حـ¯ أ¯


( حـ¯ )2= ( أ¯ )2 + ( ب¯ )2 – 2 أ¯ ب¯ حتاحـ

حتاحـ= [ ( أ¯ )2+ (ب¯ )2– ( حـ¯ )2 ] / 2 أ¯ ب¯


المثلث أ ب حـ ، بوضع أ¯ + ب¯ + حـ¯ = 2ح، نق نصف قطر الدائرة الداخلة، ∆ رمز لمساحة المثلث أ ب حـ



∆ = جذر [ ح( ح – أ¯ )(ح – ب¯ )(ح – حـ¯ ) ]

حل المثلث في حالاته

الحالة الأولى: إذا علمت أضلاع المثلث الثلاث

نستخدم قانون ظل نصف الزاوية كأفضل القوانين وأدقها ويفضل التقريب لنصف دقيقة وفي حالة استخدام قانون جيب التمام للأعداد البسيطة تحدد الإشارة في الناتج كون الزاوية حادة(+) أو منفرجة(–) ومع كون الضلع الأكبر يقابل الزاوية الكبرى والضلع الأصغر يقابل الزاوية الصغرى.


الحالة الثانية: إذا علم من المثلث زاويتان وضلع

نوجد الزاوية الثالثة من أ + ب + حـ = 180ه ونوجد الضلعين الآخرين من قانون الجيب
( أ¯ / حا أ ) = ( ب¯ /حاب ) =( حـ¯ / جا جـ )

الحالة الثالثة: إذا علم من المثلث ضلعان والزاوية المحصورة بينهما


ليكن الضلعان المعلومان هما ب¯ ، حـ¯ ، ب¯> حـ¯ ونوجد ( ب – حـ / 2 ) من القانون

طا ( ب – حـ / 2 ) =( ب¯ – حـ¯ / ب¯ + حـ¯ ) طتا ( أ / 2 )











آخر مواضيع abo_rami9 موسوعة أسئلة أكمل في الهندسة لجميع صفوف المرحلة الاعدادية (http://www.elostaz.com/forums2/showthread.php?t=1088) http://img191.imageshack.us/img191/8409/last10.gif المفاهيم الرياضية (http://www.elostaz.com/forums2/showthread.php?t=1012) http://img191.imageshack.us/img191/8409/last10.gif مشكلة التأخر الدراسي (http://www.elostaz.com/forums2/showthread.php?t=1010) http://img191.imageshack.us/img191/8409/last10.gif خطوات حل المسائل الرياضية (http://www.elostaz.com/forums2/showthread.php?t=1009) http://img191.imageshack.us/img191/8409/last10.gif شرح حساب المثلثات للمرحلة الثانوية (http://www.elostaz.com/forums2/showthread.php?t=974) http://img191.imageshack.us/img191/8409/last10.gif

شرح موضوع الاتصال بالكامل للصف الثالث الثانوي

--------------------------------------------------------------------------------

ماذا نقصد بقولنا أن الدالة متصلة، بالطبع نعني منحنى الدالة أو الخط البياني للدالة مستمر دون انقطاع في الفترة المحددة له بالنص وهذا يعني أن كل قيمة من قيم الفترة معرفة على الدالة أو بمعنى أكثر دقة أن الدالة معرفة لجميع قيم الفترة المعطاة لهذه الدالة، فمنحى الدالة د(س) = 2 س + 3 متصل في ح في حين منحنى الدالة د(س) = 2 ÷ (س ـ 1) غير متصل عند س = 1 لأن الدالة غير معرفة عند س = 1 كما نعلم ، وبالطبع دوال كثيرات الحدود أو دوال المقياس(القيمة المطلقة) لا تسبب لنا مشكلة في اتصالها ولكن تظهر المشكلة للدوال النسبية التي يجب أن لا يكون مقامها مساوياً الصفر وإلا فالأمر يحتاج لدراسة أو الدوال المعرفة بقاعدتين مختلفتين عند نقطة فمشكلتنا عند تلك النقطة وليس ما قبلها أو ما بعدها ولذا نحتال للتعرف على اتصالها ببحث غايتها اليمنى واليسرى عند تلك النقطة فان كانا لهما نفس الناتج فمرحباً بها وإلا ... والحال لباقي الدوال الآسية واللوغاريتمية والمثلثية والاتصال في الفترات مفتوحة ومغلقة و ... ولكن تركيزنا سيكون على منهاج المرحلة الثانوية للوصول للهدف المنشود وهو التفاضل والتكامل


الاتصال عند نقطة لدالة

بكل بساطة نقول ان الدالة د(س) متصلة عند النقطة س = ل (ل ، د(ل)) إذا تحقق الآتي
1) د(ل) موجودة أي د(ل) Э ح وبمعنى أصح أن الدالة معرفة عند النقطة (ل ، د(ل))
2) نهاية الدالة عندما س تؤول إلى ل = ك Э ح أن أن النهاية للدالة عند النقطة موجودة
3) تساوي الناتجان في (1) ، (2) أي أن نهاية الدالة عند ل = د(ل) وقد يكتفي البعض بهذا لكونه يشمل 1) ، 2) أو حذف الشرط 2) ـ
فمثلاً
1) الدالة د(س) = س ÷ (س ـ 1) متصلة في ح/{2} ويمكن القول بأن الدالة غير متصلة عند س = 1 لأن د(1) غير موجودة وتساوي مالانهاية لا تنتمي إلى ح
2) الدالة ق(س) = س2 + 5 متصلة عن س = 2 لأن نهايتها عند 2 تساوي د(2) تساوي 9

--------------------------------- س2 + 2 ، س > 1
3) الدالة : د(س) = {
---------------------------------- 4 س ـ 3 ، س <= 1

د(س) غير متصلة عند س = 1 لأن د(1) = 1 والنهاية غير موجودة فالنهاية اليمنى 1 والنهاية اليسرى 3 ولكننا نقول أن الدالة متصلة من اليمين

-------------------------------- س2 + 2س ـ 5 -----------، س > 2
4) الدالة : ق(س) = {
--------------------------------- 2 س ـ 1-----------------، س <= 2

ق(س) متصلة عند 2 لأن ق(2) = 3 والنهاية اليمنى واليسرى 3 أي النهاية موجودة وتساوي ق(2)

وعلى العموم لمعرفة اتصال دالة عند نقطة ل مثلاً فيجب التأكد أن التعويض المباشر في الدالة يعطي قيمة حقيقية ومن ثم نبحث غاية الدالة ويجب أن تكون موجودة ومساوية للقيمة الحقيقية السابقة وإلا فالدالة غير متصلة

قد يطلب بحث الاتصال من يمين النقطة فيكفي بحث النهاية اليمنى فقط بعد التأكد من وجود قيمة للدالة عند النقطة
في الدالة المعرفة بقاعدتين بعد معرفة قيمة الدالة من إحدى القاعدتين نبحث النهاية عند النقطة للقاعدة الثانية أولاً
تمارين
ابحث اتصال الدالة د(س) عند س = ل في كل مما يأتي
1) د(س) = | س ـ 1 | ، ل = 1
2) د(س) = (س + 1) ÷ ( س ـ 2) ، ل = 3
3) د(س) = (س + 1) ÷ ( س ـ 2) ، ل = 2

--------------------------------------- س2 + 2س ـ 5 ، س > 2
4) الدالة : د(س) = {-------------------------------------------------------- ، ل = 2
-----------------------------------------2 س + 3 ، س <= 2

5) أوجد قيمة ل التي تجعل الدالة الآتية متصلة عند س = 2

------------------------------------------س2 + 2س ـ ل ، س <> 2
ق(س) = {
---------------------------------------------------- 3 ------------، س = 2

6) ابحث اتصال الدالة الآتية عند س = 1

----------------------------------- [جذر(س + http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gif ـ 3] ÷ (س ـ 1) ، س لاتساوي 1
ق(س) = {
----------------------------------------------- 1 ÷ 6------------------------، س = 1

إعادة تعريف دالة لتكون متصلة عند س = ل

تعرفنا علي كيفية بحث اتصال دالة عند نقطة فكنا نعوض مباشرة في الدالة فإن كان الناتج غير معرف انتهينا إلى أن الدالة غير متصلة وهو موضوعنا معالجة هذه الحالة فقولنا يختص بالتعويض أي د(ل) غير معرفة حيث س تقترب من ل، نوجد نهاية الدالة عندما س تؤول إلى ل فإن وجدت ك تنتمي إلى ح كان بالإمكان إعادة تعريف الدالة لتكون متصلة عند ل وإلا فلا يمكن إعادة تعريف الدالة لتكون متصلة، وبصورة بسيطة للدوال غير المتصلة عند نقطة نوجد نهايتها عند تلك النقطة والناتج يعطى لقيمة الدالة عند هذه النقطة والأمثلة التالية توضح ذلك
(1) أعد تعريف الدالة الآتية (إن أمكن) لتكون متصلة عند س = 3
د(س) = (س2 ـ 5 س + 6) ÷ (س ـ 3)
الحــــل
د(3) = 0 ÷ 0 كمية غير معرفة
نبحث النهاية عندما س تؤول إلى 3 حيث
نضع د(س) في أبسط صورة بتحليل المقدار الثلاثي س2 ـ 5 س + 6 إلى (س ـ 3)(س ـ 2) وبحذف س ـ 3 يكون
د(س) = س ـ 2
نهاية د(س) عندما س تؤول إلى 3 تساوي 3 ـ 2 = 1عدد حقيقي
الآن يمكن كتابة الدالة بصورة جديدة وتكون متصلة عند س = 3 بالشكل الآتي
---------------------------- س2 ـ 5 س + 6 ، س <> 3
د(س) =
------------------------------------ 1 ، س = 3

(2) أعد تعريف الدالة الآتية (إن أمكن) لتكون متصلة عند س = 4
د(س) = ( س + 6) ÷ (س ـ 4)
الحــــل
د(4) = 10 ÷ 0 = ∞ كمية لا تنتمي إلى ح
د(س) بسطها لا يحوي س ـ 4 حتى يتم حذفه مع المقام ولذا يكون
نهاية د(س) غير معروفة عند س = 4
فلا يمكن إعادة تعريف الدالة لتكون متصلة عند س = 4

لاحـظ : الدالة د(س) متصلة في ح ـ {4}

(3) أعد تعريف الدالة الآتية (إن أمكن) لتكون متصلة عند س = 3
د(س) = |س ـ 3| ÷ (س ـ 3)
الحــــل
يجب إعادة تعريف المقياس حول العدد 3 الذي يجعل قيمته تساوي الصفر
س >= 3 يكون |س ـ 3| = س ـ 3 -----> د(س) = (س ـ 3) ÷ ( س ـ 3) = 1
س < 3 يكون |س ـ 3| = ـ(س ـ 3) ---> د(س) = ـ(س ـ 3) ÷ (س ـ 3) = ـ1
أ
-------------------------- 1 ، س > 3
د(س) =
-------------------------- ـ1 ، س < 3

نهاية الدالة من اليسار عندما س تؤول إلى 3 تساوي ـ1
نهاية الدالة من اليمين عندما س تؤول إلى 3 تساوي 1
أي أن النهاية غير موجودة
لا يمكن إعادة تعريف الدالة لتكون متصلة عند س = 3

تمارين
أعد تعريف كل من الدوال الآتية بحيث تكون متصلة(إن أمكن) عند س = ل
أ) د(س) = 2 ÷ (س ـ 5) ، ل = 5
ب) د(س) = (س2 + 5 س ـ 14) ÷ ( س ـ 2) ، ل = 2
ج) د(س) = (س + 1) ÷ [( جذر(س + 5) ـ 2] ، ل = ـ1
د) د(س) = |س ـ 2| ÷ (س –2) + 3 ، ل = 2
ه) د(س) = (س8 ـ 1) ÷ (س3 ـ 1) ، ل =

-------------------------------- س3 ـ 1 ، س > 3
و) د(س) =--------------------------------------------------- ، ل = 3
-------------------------------- س + 23 ، س < 3

ملاحظة : مجموعة الأعداد الحقيقية هي الفترة [ـ ما لانهاية ، ما لانهاية ]

الاتصال في فترة

نعلم أن الفترة هي مجموعة من الأعداد التي تنتمي إلى ح مجموعة الأعداد الحقيقة ونختلف في الانتماء لطرفيها فهناك الفترة المغلقة والمفتوحة ونصف المغلقة أو نصف المفتوحة ونصف المستقيم فنكتب الفترة المغلقة بالصورة [أ ، ب] والمفتوحة بالصورة ]أ ، ب[ ونصف المغلقة أو نصف المفتوحة بالصورة [أ ، ب[ أو ]أ ، ب] ونصف المستقيم [أ ، ما لانهاية [ أو ] ـ ما لانهاية ، أ[ .
أولاً :ـ
الاتصال في الفترة المفتوحة ]أ ، ب[ لدالة ما يوجب اتصالها عند كل نقاط الفترة مع ملاحظ أن أ ، ب لا تنتميان للفترة ]أ ، ب[
الاتصال في الفترة [أ ، ب] لدالة ما يوجب تحقق
1) اتصالها في ]أ ، ب[
2) اتصالها عن يمين أ
3) اتصالها عن يسار ب
ضرورة بحث الاتصال عند النقط التي يتغير بجوارها تعريف الدالة والتي تنتمي للفترة ]أ ، ب[ من اليمين واليسار
ثانياً :ـ
توجد دوال عموماً تكون متصلة في مجالها ومنها
1) الدالة الثابتة د(س) = ك حيث ك ثابت
2) الدالة د(س) = س ، س تنتمي إلى ح
3) دالة المقياس د(س) = |س|
4) دوال كثيرات الحدود
5) الدالة الجذرية مع مراعاة دليل الجذر كونه فردياً(لجميع قيم ح) أو زوجياً(ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة لعدم قبولنا بالجذر السالب هنا)
ثالثا:ـ
بفرض أن د(س) ، ق(س) دوال متصلة في فترتين تقاطعهما الفترة ف فإن
1) (د + ق)(س) متصلة في ف وتعمم لأكثر من دالتين
2) (د ـ ق)(س) متصلة في ف وتعمم لأكثر من دالتين
3) (د . ق)( س) متصلة في ف وتعمم لأكثر من دالتين
4) (د ÷ ق)(س) متصلة في ف ـ { مجموعة أصفار المقام } ، الدالة النسبية متصلة لجميع قيم س عدا تلك التي تجعل المقام = صفر
أمثلة مباشرة :ـ
1) الدالة د(س) = 7 متصلة في ح لأنها دالة ثابتة
2) الدالة د(س) = س3 + 3 س2 ـ 7 متصلة في ح لكونها كثيرة حدود
3) د(س) = |س ـ 3| متصلة في ح لكل س تنتمي إلى ح
4) ق(س) = جذر(س ـ 2) متصلة في [2 ، مالانهاية[
5) ق(س) =( س + 5) ÷ ( س ـ 2) متصلة في ح ـ {2}
6) ق(س) = 5 ÷ جذر(س ـ 3) متصلة في ]3 ، مالانهاية[ لاحظ 3 لا تنتمي للفترة والدالة ليست معرفة عندها
7) د(س) = جذر(س ـ 5) ، ق(س) = جذر(7 ـ س) فالدالة د(س) متصلة في [5 ،مالانهاية[ والدالة ق(س) متصلة في ] ـ مالانهاية 7] فإن
أ) مجموع الدالتين والفرق بينهما وحاصل ضربهما كل منها متصل في فترة تقاطعهما [5 ، 7]
ب) قسمة الدالتين (د ÷ ق)(س) متصلة في [5 ، 7[ لاحظ س = 7 تجعل الدالة غير معرفة
ت) قسمة الدالتين (ق ÷ د)(س) متصلة في ]5 ، 7] لاحظ س = 5 تجعل الدالة غير معرفة
http://www.elostaz.com/forums2/images/smilies/icon_cool.gif د(س) = (س2 ـ 2س + 3) ÷ (س2 ـ 1) متصلة في ح ـ [ ـ1 ، 1] ، البسط والمقام كثير حدود ، ـ1 ، 1 أصفار المقام

مثال : أبحث اتصال الدالة الآتية في الفترة [ ـ3 ، 7 ]
--------------------------- س2 + 2 ، س > 2
د(س) = {
----------------------------- 5 س ـ 4 ، س # 2
الحــل
لاحظ العدد 2 ينتمي للفترة[ـ3 ، 7] فلذا نبحث الاتصال في [ـ3 ، 2[ ، ]2 ، 7] ، وعند س = 2
في الفترة [ـ3 ، 2[ : د(س) = س2 + 2 الدالة متصلة لأنها كثيرة حدود
في الفترة ]2 ، 7] : د(س) = 5 س ـ 2 الدالة متصلة لأنها كثيرة حدود
عند س = 2
د(2) = 5 × 2 ـ 4 = 10 ـ 4 = 6
عندما س تقترب من يسار 2 تكون د(س) = س2 + 2 فالنهاية اليسرى للدالة = 4 + 2 = 6
عندما س تقترب من يمين 2 تكون د(س) = 5 س ـ 4 فالنهاية اليمنى للدالة = 5 × 2 ـ 4 = 10 ـ 4 = 6
نهاية د(س) عندما س تؤول إلى 2 تساوي د(2)
الدالة متصلة عند س = 2
الدالة متصلة في الفترة [ـ3 ، 7]
مثال : أبحث اتصال الدالة الآتية في ح
---------------------- 3---------------- ، س < ـ2
د(س) = {--------- س2 ـ 2 ------------، ـ2 < س < 4
------------------- 3 س + 2-------------- ، س > 4
نبحث الاتصال في كل من : ]- مالانهاية, ـ2[ ، ]ـ2 ، 4[ ، ]4 ، مالانهاية [ ، س = ـ2 ، س = 4
في الفترة ]ـ مالانهاية، ـ2[ الدالة ثابتة فهي متصلة
في الفترة ]ـ2 ، 4[ الدالة كثيرة حدود فهي متصلة
في الفترة ]4 ، مالانهاية [ الدالة كثيرة حدود فهي متصلة
عند س = ـ2
د(ـ2) = 3
نهاية الدالة عندما س تؤول إلى ـ2 من اليمين = 4 ـ 2 = 2 ¹عند س = 4
د(4) = 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14
نهاية الدالة عندما س تؤول إلى 4 من اليسار = 16 ـ 2 = 14 متصلة من اليسار
نهاية الدالة عندما س تؤول إلى 4 من اليمين = 12 + 2 = 14 متصلة من اليمين
النهاية اليمنى = الغاية اليسرى
نهاية الدالة عند س = 4 موجودة وتساوي 12 = د(4)
الدالة متصلة عند س = 4
الدالة متصلة في ح ـ { ـ2 }

يقات حساب التفاضل



النقط الحرجة :

وتعتبر النقط الحرجة من الأساسيات في هذا الباب ، حيث تعتمد عليها جميع الموضوعات .

تعريفها : هي النقط التي تكون عندها المشتقة تساوي صفرا ، أو تكون غير معرفة .




الدوال المطردة :

هي عملية تحديد فترات التزايد والتناقص للدالة على مجالها .

الطريقة :

* نوجد مجال الدالة
++++ نوجد مشتقة الدالة ثم نوجد أصفارها ومواضع عدم تعريفها .

++++* نحدد اشارة مشتقة الدالة دَ(س) على خط الأعداد ثم نقرر مايلي :

إذا كانت الإشارة موجبة + فإنها متزايدة وإذا كانت سالبة - فإنها متناقصة .

تمرين : ابحث اطراد الدالة : د(س) = س2 - 6س + 4 على مجالها ؟ .

الحل : الدالة متزايدة في ]- ∞ ، 3] ، وتزايدية في [3 ، ∞[ .




القيم العظمى والصغرى المحلية :

نظرية هامة : كل قيمة قصوى محلية هي نقطة حرجة والعكس غير صحيح .

نوجد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة عن طريق تصنيف النقط الحرجة بطريقتين :

1- اختبار المشتقة الأولى : وذلك بتقسيم خط الأعداد بالنقط الحرجة ، ثم ندرس تغير اشارة دَ(س)

ثم نلاحظ التغير :

- إذا كان من تزايد ( + ) إلى تناقص ( - ) فيكون عند هذه النقطة الحرجة قيمة عظمى محلية للدالة .

- وإذا كان من تناقص إلى تزايد فعندها يكون للدالة قيمة صغرى محلية .

- وإذا كانت اشارة دَ لم تتغير على خط الأعداد حول النقطة الحرجة (من + إلى + ، أو من - إلى - ) فإنها ليست قصوى محلية .

2- اختبار المشتقة الثانية :

لتكن جـ نقطة حرجة للدالة د :

- إذا كانت دً(ج) موجبة فإنها قيمة صغرى محلية للدالة.

- إذا كانت دً(ج) سالبة فإنها قيمة عظمى محلية للدالة .

- إذا كانت دً(ج) = 0 أو غير معرفة فإن اختبار دً فاشل ، وعندها نستخدم اختبار المشتقة الأولى .

تمرين : أوجد القيم القصوى المحلية للدالة : د(س) = 12 + 2س2 - س4 .



التقعر ونقط الانقلاب :


متى نقول عن دالة د بأنها مقعرة لأعلى أو لأسفل ؟

* نقول أنها مقعرة لأعلى في الفترة ]أ ، ب[ إذا كان المنحنى واقعا فوق مماساته في الفترة .

* نقول أنها مقعرة لأسفل في ]أ ، ب[ إذا كان المنحنى واقعا تحت مماساته في الفترة .

ماهي نقط الانقلاب (الانعطاف) ؟ .

هي نقطة من مجال الدالة يتغير حولها التقعر .

كيف تبحث التقعر ونقط الانقلاب ؟ .

1- نوجد المجال .

2- نوجد المشتقة الثانية دً(س) ، ومنها نوجد أصفارها ونقط عدم وجودها .

3- نبحث اشارة دً على خط الاعداد ونقرر ما يلي :

* إذا كانت موجبة (+) فإن المنحنى مقعر لأعلى ، وإذا كانت سالبة فإنه مقعر لأسفل .

4- عندما يحدث تغير في التقعر من أعلى لأسفل أو العكس فإنها نقطة انقلاب .

تمرين :حدد تقعر منحنى الدالة د(س) = س3 - 6س2 + 2س -3 ، ثم أوجد نقط الانقلاب ؟ .

الحل : المنحنى مقعر لأعلى في [2 ، ∞[ ، ومقعر لأسفل في ]- ∞ ، 2] ، ونقطة الانقلاب هي (2 ، -15) . عليك تفصيل خطوات الحل في خط الاعداد .




رسم المنحنيات (كثيرات الحدود) :

عزيزي الطالب اجعل رسم المنحنيات أمرا سهلا ولا تصعب عليك الأمور وهي سهلة ، هناك خطوات أساسية تضمن لك رسم المنحنى بدقة وجميعها تعتمد على المواضيع السابقة .

خطوات رسم المنحنى لدالة :

1- دراسة الدالة من حيث :

* تحديد المجال .

++++ التناظر : إذا كانت د(-س) = د(س) فإن الدالة زوجية إذن المنحنى متماثل حول محورص .

إذا كانت د(-س) = - د(س) فإن الدالة فردية ، إذن المنحنى متماثل حول نقطة الأصل .

++++* التقاطع : مع محور ص ← نضع س = 0 ثم نعوض بالدالة ، أي (د(0) ، 0) .

مع محور س ← نضع ص = 0 ثم نحل المعادلة ونوجد قيم س ونعوض بالدالة .

2- دراسة مشتقة الدالة دَ من حيث : الاطراد والقيم القصوى المحلية (تصنيف النقط الحرجة) .

3- دراسة المشتقة الثانية للدالة دً من حيث التقعر ونقط الانقلاب .

4- يمكن أن تحتاج لنقط مساعدة لإكمال رسم المنحنى .

تمرين : ارسم منحنى الدالة التالية مع التفصيل : د(س) = 6س2 - س4 - 5

هل انت من محبى الرياضيات كيف يمكن لى ان احبها

وهل هى وراثه ام لا