|
رياضه المرحله الثانيه منقول
2) متتابعة حسابية مجموع حدودها بداية من حدها الثاني = - 36 ، مجموع حدودها ماعدا حدها الأخير = صفرا والفرق بين حدها العاشر وحدها السادس = -16 أوجد المتتابعة . نفرض عدد حدود المتتابعه = ن+ 1 مجموعها ابتداء من ح2 = - 36 عدد الحدود = ن جـ ن = ن / 2 [ 2 ( أ + د ) + ( ن - 1 ) د ] = - 36 .............. ( 1 ) مجموع حدودها ما عدا الاخير = 0 عدد الحدود ايضا = ن جـ ن = ن / 2 [ 2 أ + ( ن - 1 ) د ] = 0 ...............................( 2 ) بالتعويض من ( 2 ) فى ( 1 ) صفـــــــر + ن / 2 [ 2 د ] = - 36 ن د = - 36 .......................................... ( 3 ) ح 10 - ح6 = -16 أ + 9 د - أ - 5 د = - 16 د = - 4 بالتعويض فى ( 3 ) ن = 9 عدد الحدود المتتابعه = 9 + 1 = 10 جـ ن ما عدا الاخير = 0 ن / 2 [ 2 أ + ( ن - 1 ) د ] = 0 9 / 2 [ 2 أ + 8 × - 4 ] = 0 أ = 16 المتتابعه هى ( 16 ، 12، 8 ، .............. ، -20 ) |
) متتابعة حسابية عدد حدودها ن ، حدها الأول = س ، حدها الأخير = ص ومجموع حدودها = ( س + ص )^2 أوجد المتتابعة .
. الحل حـ ن = ن ( أ + ل ) / 2 (س + ص ) ^ 2 = ن ( س + ص ) / 2 بالقسمه على ( س + ص ) ن = 2 (س + ص ) عدد الحدود باستخدام الحد الاخير ل = أ + (ن ـ 1 ) د ص = س + [ 2 (س + ص ) ــ 1] د منها د = (ص ــ س ) / [ 2 ( س+ ص ) ــ 1 ] المتتابعه الان حدها الاول س واساسها (ص ــ س ) / [ 2 ( س+ ص ) ــ 1 ] وعدد حدودها ن = 2 (س + ص ) |
3) متتابعة حسابية عدد حدودها ن ، حدها الأول = س ، حدها الأخير = ص ومجموع حدودها = ( س + ص )^2 أوجد المتتابعة . . الحل حـ ن = ن ( أ + ل ) / 2 (س + ص ) ^ 2 = ن ( س + ص ) / 2 بالقسمه على ( س + ص ) ن = 2 (س + ص ) عدد الحدود باستخدام الحد الاخير ل = أ + (ن ـ 1 ) د ص = س + [ 2 (س + ص ) ــ 1] د منها د = (ص ــ س ) / [ 2 ( س+ ص ) ــ 1 ] المتتابعه الان حدها الاول س واساسها (ص ــ س ) / [ 2 ( س+ ص ) ــ 1 ] وعدد حدودها ن = 2 (س + ص ) |
النسبة بين مجموعي حدود عددها ن من متتابعتين حسابيتين مختلفتين ابتداء من الحد الأول كنسبة 3 ن : ( ن + 2 ) فبرهن أن الحد الثالث من الأولي يساوي الحد السابع من الثانية ، النسبة بين الحد الخامس في الأولي الي الحد العاشر من الثانية كنسبة 9 : 7 . الحل: من المعلوم ان جـ(ن) للمتتابعه الحسابيه = مقدار من الدرجه الثانيه فى ن وبما ان جـ (ن) / جـّ(ن) = 3ن / (ن+2) بالضرب × ن جـ (ن)/ جّ (ن) = 3ن^2 / (ن^2 +2 ن) اذا جـ (ن) = 3ن^2 م جـّ (ن) = (ن^2+2ن) م [ حيث م ثابت التناسب] ح1 = جـ1 = 3م حّ 1 = جـّ1 = 3م ح2 = جـ2-جـ1= 12م-3م= 9م حّ2 =جـّ2-جـّ1 = 8م-3م=5م ح3 =جـ3 -جـ2 = 27م-12م=15م حّ3 =جـّ3-جـّ2 = 15م-8م=7م اذا المتتابعه ( 3م، 9م، 15م،.................) اذا المتتابعه =( 3م ، 5م، 7م،...............) ح3= 15 م ح7ّ = 3م+ 6 ×2م = 15 م اذا ح3 = حّ 7 المطلوب الاول ح5 / حّ10 = ( 3م+4× 6م) /( 3م+9×2م) = 27م/ 21م = 9 / 7 وهوالمطلوب الثانى |
المتتابعة الحسابية * هى متتابعة فيها ح ن+1 – ح ن = مقدار ثابت * يسمى المقدار الثابت أساس المتتابعة الحسابية * نرمز له بالرمز ء مثال (1) بين أى من المتتابعات الآتية حسابيه 1) ح ن = 3ن + 5 2) ح ن = 11 – 2ن 3) ح ن = ن2 + 3 4) ح ن = لو ص ن + 1 الحل 1) ح ن = 3ن + 5 ح ن+1 = 3( ن + 1) + 5 = 3 ن + 3 + 5 = 3ن + 8 ح ن+1 –ح ن = 3 ن + 8 – ( 3ن + 5 ) = 3 ن + 8 – 3ن – 5 = 3 ح ن+1 –ح ن = 3 مقدار ثابت (متتابعة حسابية ) (2) ح ن = 11 – 2ن ح ن+1 = 11 – 2 ( ن + 1 ) = 11 – 2ن – 2 = 9 – 2 ن ح ن+1 – حن = 9 – 2 ن – ( 11 – 2 ن ) = 9 – 2ن – 11 + 2 ن = – 2 ح ن+1 – ح ن = – 2 مقدار ثابت حن متتابعة حسابية (3) ح ن = ن2 + 3 ح ن+1 = ( ن + 1)2 + 3= ن2 + 2ن + 1 + 3 = ن2 + 2ن + 4 ح ن+1 –حن = ن2 + 2ن + 4 – ( ن2 + 3) ح ن+1 –ح ن = ن2 + 2ن + 4 – ن2 – 3 ح ن+1 –ح ن = 2 ن + 1 ( مقدار غير ثابت ) حن ليست متتابعة حسابية ح ن = لـــــــو ص ن + 1 ح ن+1 = لـــــو ص ن + 1 + 1 = لـــــو ص ن + 2 ح ن+1 –ح ن = لـــــو ص ن + 2 ÷ لـــــو ص ن + 1 |
نظرية إذا كانت ح ن دالة من الدرجة الأولى فى ن فإنها تكون متتابعة حسابية مثال (2) بين أى من المتتابعات الآتية حسابيه (1) ح ن = 3ن + 5 ( 2) ح ن = 11 – 2ن (3) ح ن = ن2 + 3 (4) ح ن = لو ص ن + 1 الحل (1) ح ن = 3ن + 5 دالة من الدرجة الأولى فهى متتابعة حسابية (2) ح ن = 11 – 2ن دالة من الدرجة الأولى فهى متتابعة حسابية (3) ح ن = ن2 + 3 دالة من الدرجة الثانية لبست متتابعة حسابية (4) ح ن = لــــــو ص ن + 1 = (ن + 1) لــــــــو ص ح ن = ن لو ص + لــو ص دالة من الدرجة الأولى فى ن فهى متتابعة حسابية |
لحد العام للمتتابعة الحسابية
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء * أ هو أول حد نبداء به المتتابعة (إذا لم يشترط بداية أحرى ) * ء هو أساس المتتابعة * ن هى رتبة الحد * ح ن قيمة الحد مثال (3) فى المتتابعة ( 3 ، 7 ، 11 ، 000000 ، 487 ) • أوجد الحد السابع ؟ • أوجد رتبة الحد الذى قيمته 67 ؟ • أوجد عدد حدود المتتابعة ؟ الحل * ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء ح7 =3 + ( 7 – 1 ) × 4= 27 ++++++++++++* ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء 67= 3 + ( ن – 1 ) × 4 67 = 3 + 4ن – 4 67 = 4ن – 1 68 = 4ن ن = 17 # ++++++++++++* ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء 487= 3 + ( ن – 1 ) × 4 487 = 3 + 4ن – 4 487 = 4ن – 1 487 = 4ن ن = 122 # ملاحظة : - • عدد حدود المتتابعة يساوى رتبة الحد الأخير • ن Э ص+ دائما ً • الأساس من النهاية هو المعكوس الجمعى للأساس من البداية • أخر حد من البداية هو أول حد من النهاية مثال ( 4) اوجد الحد السابع من النهاية فى المتتابعة ( 3 ، 7 ، 11 ، 0000000 ، 487 ) الحل • الأساس من النهاية هو المعكوس الجمعى للأساس من البداية • أخر حد من البداية هو أول حد من النهاية * ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء ح7 =487 + ( 7 – 1)× -4 = 511 الحد السابع من النهاية = 511 مثال (5) أي من القيمتين 151 أ، 173 ينتمى للمتتابعة الحسابية ( 13 ، 17 ، 21 ، 0000 ) الحل ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء 151 = 13 + ( ن – 1 ) × 4 151 = 13 + 4 ن – 4 151 = 4ن + 9 4ن = 151 – 9 = 142 4 ن = 142 ن = 35.5 Э ص + 151 Э للمتتابعة الحسابية ( 13 ، 17 ، 21 ، 0000 ) ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء 173 = 13 + ( ن – 1 ) × 4 173 = 13 + 4 ن – 4 173 = 4ن + 9 4ن = 173 – 9 = 164 4ن = 164 ن = 41 Э ص + 173 Э للمتتابعة الحسابية ( 13 ، 17 ، 21 ، 0000 ) |
* للحصول على رتبة أول حد سالب نضع حن < صفر
* للحصول على رتبة أول حد موجب نضع حن > صفر مثال (6) اوجد رتبة أول حد سالب فى المتتابعة الحسابية ( 95 ، 92 ، 89 ، 0000000 ) الحل نضع حن < صفر أ + ( ن – 1 ) × ء < صفر 95 + ( ن – 1 ) × - 3 < صفر 95 – 3ن + 3< 0 98< 3ن ( ÷ 3) 32.6666 < ن ن = 33 رتبة أول حد سالب هو 33 مثال (7) اوجد رتبة أول حد موجب فى المتتابعة الحسابية (- 135 ، - 133 ، - 131 ، 000 ) الحل نضع ح ن > صفر أ + ( ن – 1 ) × ء > صفر ــ 135 + ( ن – 1 ) × 2 > 0 ــ 135 + 2ن – 2 > 0 ــ 137 + 2ن > 0 2ن > 137 ( ÷2) ن > 68.5 ن = 69 مثال (http://www.elostaz.com/forums2/image.../icon_cool.gif اوجد رتبة أول حد أكبر من 200 فى المتتابعة الحسابية ( 10 ، 21 ، 32 ، 000 ) الحل نضع ح ن > 200 أ + ( ن – 1 ) × ء > 200 10 + ( ن – 1 ) × 11 > 200 10 + 11ن – 11 > 200 ــ 1 + 11ن > 200 11ن > 201 ( ÷11) ن > 18.272727 ن = 19 مثال (9) إذا كانت ( 75 ، 3 س ، 00000 ، 2س ، 45 ) متتابعة حسابية اوجد قيمة س اوجد عدد حدود المتتابعة ؟ الحل 3س – 75 = 45 – س 3س + 2س = 45 + 75 5س = 120 ( ÷5) س = 24 ( 75 ، 72 ، 00000، 48 ، 45 ) ح ن = 2 أ + ( ن – 1 ) ء 45 = 2 × 75 + ( ن – 1 ) × ( ــ 3) 45 = 150 – 3 ن + 3 45 = 153 – 3ن 3ن = 153 – 45 = 108 ن = 36 |
تعين المتتابعة معناه إيجاد قيمة كل من أ ، ء ( أ ، أ + ء ، أ + 2ء ، أ + 3 ء ، 0000000 ) * ح1 = أ * ح2 = أ + ء * ح3 = أ + 2ء * ح4 = أ + 3ء * ح23 = أ + 22 ء * ح45 = أ + 44 ء * ح96 = أ + 95 ء * ح96 = أ + 95 ء مثال (1) اوجد متتابعة حسابية مجموع حديها الثانى والثالث 12 ومجموع حدودها الثالث الخامس و السادس يساوى 31 ؟ الحل ح2 + ح3 = 12 أ + ء + أ + 2ء = 12 2 أ + 3ء = 12 (1) × 3 ح3 + ح5 +ح6 = 31 أ + 2ء + أ + 4ء + أ + 5ء = 31 3 أ + 11ء = 31 (2) × ــ 2 6 أ + 9ء = 36 ــ 6 أ ــ 22ء = ــ 62 ــ 13 ء = ــ 26 ء = 2 أ = 3 المتتابعة هى ( 3 ، 5 ، 7 ، 0000000000 ) مثال (2) متتابعة حسابية حدها السابع يزيد عن مجموع حديها الثالث والرابع بمقدار الوحدة ، حدها الثانى ينقص عن حدها الخامس بمقدار 12 أوجد المتتابعة ؟ الحل ح7 – ( ح3 + ح4 ) = 1 أ + 6 ء – ( أ + 2ء + أ + 3 ء ) = 1 أ + 6 ء – 2أ – 5 ء = 1 ء – أ = 1 (1) ح5 – ح2 = 12 أ + 4 ء – ( أ + ء ) = 12 أ + 4 ء – أ – ء = 12 3 ء = 12 ( ÷ 3) ء = 4 بالتعويض في (1) نجد أن 4 – أ = 1 أ = 3 المتتابعة هى ( 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، 0000 ) مثال (3) متتابعة حسابية مجموع حديها الثانى والثالث – 7 ومجموع مربعيهما 29 أوجد المتتابعة الحل ح2 + ح3 = – 7 أ + ء + أ + 2ء = – 7 2 أ + 3ء = – 7 2 أ = – 7 – 3ء أ = ( - 7 - 3 د ) / 2 00000000 (1) ( ح2 )2+( ح3 )2= 29 ( أ + ء )2+( أ + 2ء )2 = 29 (2) بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن [ (( - 7 - 3 د ) / 2) + ء ]^2 + [( ( - 7 - 3 د ) / 2)+ 2ء ]^2= 29 ( – 7 – 3ء + 2ء / 2 )^2 + ( – 7 – 3ء + 4ء / 2 )^2 = 29 ( - 7 - د / 2)2 + (- 7 + د / 2 )2 = 29 49 + 14 ء + ء2 / 4 +49 – 14 ء + ء2 / 4 = 29 98 + 2ء2 / 4 = 29 98 + 2ء2 = 116 2ء2 = 18 ء2 = 9 ء = 3 بالتعويض في (1) أ = ــ 8 المتابعة هي ( ــ 8 ، ــ 5 ، ــ 2 ، 000 ) ء = ــ 3 بالتعويض في (1) أ = 1 المتتابعة هي ( 1 ، ــ 2 ، ــ 5 ، 0000 ) مثال (4) متتابعة حسابية تناقصية النسبة بين حديها الثالث والثامن هى 2 : 5 ، حدها الخامس يساوى مكعب حدها الأول أوجد المتتابعة ؟ الحل ح3 : ح8 = 2 : 5 أ + 2ء : أ + 7 ء = 2 : 5 أ + 2 ء / أ + 7ء = 2/5 5 أ + 10 ء = 2أ + 14 ء 5 أ – 2أ = 14ء – 10 ء 3 أ = 4 ء (1) ح5 = ح1 3 أ + 4 ء = أ3 (2) بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن : أ + 3أ = أ3 أ3 – 4 أ = 0 أ ( أ2 – 4 ) = 0 أ ( أ – 2 ) ( أ +2) = 0 أ = 0 مرفوض أ = 2مرفوض أ = ــ 2 بالتعويض فى (1) نجد أن 3 × ــ 2 = 4 ء ء = - 3 / 2 المتتابعة هى : ( ــ 2 ، - 7 / 2، ــ 5 ، 00000 ) |
•ملحوظة : إذا كان عدد حدود المتتابعة فردى وأقل من عشرة بشرط أن يكون مجموعهم معلوم نفرض المتتابعة على الصورة : • 000 ، أ – ء ، أ ، أ + ء ، 0000 مثال (5) أوجد ثلاثة أعداد فى تتابع حسابى مجموعهم 15 ومجموع مربعتها 83 ؟ الحل الأعداد هى : أ – ء ، أ ، أ + ء أ – ء + أ + أ + ء = 15 3أ = 15 أ = 5 ( أ – ء )2+ أ2 +( أ + ء )2 = 83 ( 5 – ء )2+ 5 2 + ( 5 + ء )2 = 83 25– 10ء + ء2+ 25 + 25 + 10 ء + ء2 = 83 75 + 2ء2 = 83 2ء2 = 83 – 75 = 8 2ء2 = 8 (÷2) ء2 = 4 ء = 2 ، ء = -2 الأعداد هى : الأعداد هى : ( 3 ، 5 ، 7 ) ، ( 7 ، 5 ، 3 ) مثال (6) مثلث قياسات زواياه الثلاث فى تتابع حسابى ، الفرق بين قياسى الزاويتين الكبرى والصغرى يساوى 80 ْ أوجد قياس كل زاوية من زوايا المثلث ؟ الحل قياسات الزوايا هى : أ – ء ، أ ، أ + ء أ – ء + أ + أ + ء = 180 3أ = 180 (÷3) أ =60 أ + ء – ( أ – ء ) = 80 ْ أ + ء – أ + ء = 80 2 ء = 80 (÷2) ء = 40 قياسات الزوايا هى 20 ، 60 ، 100 •ملحوظة إذا كان عدد حدود المتتابعة زوجى و أقل من عشرة بشرط أن يكون مجموعهم معلوم نفرض المتتابعة على الصورة : • 000، أ – 3ء ، أ – ء ، أ + ء ، أ + 3ء ، 000 مثال (7) أوجد أربعة أعداد فى تتابع حسابى مجموعهم 32 وحاصل ضرب حديها الثانى و الثالث يساوى 60 ؟ الحل نفرض أن الأعداد هى : أ – 3ء ، أ – ء ، أ + ء ، أ + 3ء أ – 3ء + أ – ء + أ+ ء + أ+ 3ء =32 4 أ = 32 أ = 8 ( أ – ء ) ( أ + ء ) = 60 ( 8 – ء ) ( 8 + ء ) = 60 64 – ء2 = 60 ء2 = 4 ء = 2 ء = - 2 (مرفوض) الأعداد هى : 00000000000000000000000الأعداد هى : ( 2 ، 6 ، 10 ، 14 ) 0000000000000000000000( 14 ، 10 ، 6 ، 2 ) مثال (http://www.elostaz.com/forums2/image.../icon_cool.gif س ص ع ل شكل رباعى زواياه فى تتابع حسابي فإذا كان س أصغر الزوايا ، ل أكبر الزوايا وكان جـــــا س + جــــا ل = ظـــــا 60 أوجد قياسات زوايا الشكل الرباعى ؟ الحل نفرض أن الزوايا هى : أ – 3ء ، أ – ء ، أ + ء ، أ + 3ء أ – 3ء + أ – ء + أ+ ء + أ+ 3ء =360 4 أ = 360 أ =90 جـــــا س + جــــا ل = ظـــــا 60 جـــــا ( أ – 3ء ) + جــــا ( أ + 3 ء ) = ظـــــا 60 جـــــا (90 – 3ء ) + جــــا ( 90 + 3 ء ) = ظـــــا 60 جـــتــا ( 3ء ) + جــتــا ( 3 ء ) = جذر 3 2جــتــا ( 3 ء ) = جذر 3 جــــتــــا 3ء = جذر 3 / 2 3 ء = 30 ء = 10 س = 90 – 3 × 10 = 60 ص = 90 – 10 = 80 ع = 90 + 10 = 100 ل = 90 + 3× 10 = 120 |
الوسط الحسابى إذا كان أ ، ب ، ﺟ فى تتابع حسابي فإن ب تسمى وسط حسابى بين أ ، ﺟ 2 ب = أ + ﺟ مثال (1) إذا كان ( 3س – 11 ، 4س + 9 ، 2س + 5 ) فى تتابع حسابي فاوجد قيمة س ؟ الحل 2 ب = أ + ﺟ 2( 4س + 9) = 3س – 11 + 2س+ 5 8س + 18 = 5س – 6 8س – 5س = – 6 – 18 3س = – 24 س = – 8 مثال (2) إذا كان (س ، 24 ، ص ، 32 ، ع ) فى تتابع حسابي فاوجد قيمة س ، ص ، ع ؟ الحل ص وسط حسابي بين 24 ، 32 2 ص = 24 + 32 2ص = 56 ( ÷2 ) ص = 28 2 × 24 = س + ص س + 28 = 48 س = 48 – 28 = 20 ع + ص = 2 × 32 ع + 28 = 64 ع = 36 ملحوظة : * عدد الحدود = عدد الأوساط + 2 مثال (3) أدخل 15 وسطا ً حسابيا ً بين 45 ، - 19 الحل 45 ، * ، * ، * ، 00000 ، * ، * ،* ، - 19 * عدد الحدود = عدد الأوساط + 2 * عدد الحدود = 15 + 2 = 17 * ح17 = - 19 * أ = 45 * ء = ؟؟ ح17 = أ + 16ء = - 19 45 + 16ء = - 19 16 ء = - 19 – 45 16 ء = - 64 ( ÷ 16 ) ء = - 4 الأوساط هى : ( 41،37،33 ، 000، - 15 ) ملحوظة : - • رتبة الحد = رتبة الوسط + 1 • ح5 = و4 • ح81 = و80 مثال (4) أوجد متتابعة حسابية مجموع الحد الخامس ووسطها الحادى عشر – 40 ، ضعف وسطها الرابع عشر يزيد عن حدها الثالث بمقدار 54 ؟ الحل ح5 + و11 = - 40 ح5 + ح12 = ــ 40 أ + 4ء + أ + 11ء = ــ 40 2أ + 15ء = ــ 40 (1) × ــ 1 2و14 – ح3 = 54 2ح15 – ح3 = 54 2 ( أ + 14ء ) – ( أ + 2ء ) = 54 2 أ + 28 ء – أ – 2ء = 54 أ + 26 ء = 54 (2) × 2 2أ + 52 ء = 108 ــ 2أ – 15 ء = 40 37 ء = 148 (÷ 37) ء = 4 بالتعويض في (1) نجد أن أ = ــ 50 المتتابعة هى ( ــ 50 ، ــ 46 ، ــ 42 ، 00000 ) مثال (5) إذا أدخلنا عدة أوساط حسابية بين 3 ، 53 وكانت النسبة بين مجموع الوسطين الأولين إلى مجموع الوسطين الأخيرين هى 3 : 13 فما عدد الأوساط ؟ الحل نفرض أن المتابعة هى : ( 3 ، 3 + ء ، 3 + 2ء ، 00000 ، 53 – 2ء ، 53 – ء ، 53 ) الوسطين الأولين الوسطين الأخيرين ( 3 + ء + 3 + 2ء) / ( 53 – 2ء + 53- د ) = 3 / 13 ( 6 + 3ء ) / ( 106 – 3ء ) = 3/013 39 ء + 78 = 318 – 9 ء 39 ء + 9 ء = 318 – 78 48 ء = 240 (÷ 4http://www.elostaz.com/forums2/image.../icon_cool.gif ء = 5 المتتابعة هى ( 3 ، 8 ، 13 ، 0000 ، 53 ) ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء 53 = 3 + ( ن – 1 ) × 5 53 = 3 + 5 ن – 5 53 = 5 ن – 2 5ن = 53 + 2 = 55 5 ن = 55 (÷5) ن = 11 مثال (6) إذا كان س ، ص وسطين حسابيين بين أ ، ب أثبت أن : أ – ب = 3( س – ص ) الحل ( أ ، س ، ص ، ب ) فى تتابع حسابى ( أ ، أ + ء ، أ + 2ء ، أ + 3ء ) ألأيمن = أ – ب = أ – ( أ + 3ء ) = أ – أ – 3ء = - 3ء الأيسر = 3 (س – ص ) = 3 ( أ + ء – [ أ + 2ء ] ) = 3 ( أ + ء – أ – 2ء ) = - 3ء = الطرف الأيمن مثال(7) إذا كانت ب وسط حسابى بين أ ، ﺟ فاثبت أن: ﺟ ( أ + 2ب - ﺟ ) = أ( 2ب + ﺟ - أ ) الحل ب وسط حسابى بين أ ، ﺟ ( أ ، ب ، جـ ) فى تتابع حسابي ( أ ، أ + ء ، أ + 2 ء ) ب = أ + ء جـ = أ + 2 ء الطرف الأيمن = ﺟ ( أ + 2ب - ﺟ ) = ( أ + 2 ء ) ( أ + 2 ( أ + ء ) – ( أ + 2 ء ) ) = ( أ + 2ء ) ( أ + 2أ + 2ء – أ – 2ء ) = ( أ + 2ء ) (2أ ) = 2أ2 + 4أء الطرف الأيسر = أ ( 2ب + جـ ــ أ ) = أ ( 2 ( أ + ء ) + أ + 2ء – أ ) = أ ( 2أ + 2ء + أ + 2ء – أ ) = أ ( أ + 4ء ) = أ2 + 4أء = الأيمن |
جموع ن حدا ً من المتتابعة الحسابية
حـن = ( ن / 2 ) ( أ + ل ) مثال (1) أوجد مجموع العشرين حدا ً الأولى من المتتابعة الحسابية التى حدها الأول 60 وحدها العشرين 10 ؟ الحل حـن = ( ن / 2 )( أ + ل ) =10( 60 + 10 ) = 700 ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ] مثال (2) أوجد مجموع الأربعين حدا ً الأولى من المتتابعة الحسابية ( 4 ، 7 ، 10 ،............ ) الحل ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ] ﺣ ن = ( 40 / 2 ) [ 2×4 + ( 40 – 1) ×3 ] ﺣ ن = 20[ 8 + 117 ] = 2500 مثال (3) أوجد مجموع متتابعة حسابية مكونة من 20 حدا ً ، حدها الرابع = 11 ، حدها السابع عشر = 76 ؟ الحل ح4 =11 أ + 3 ء = 11 (1) ح17 =76 أ + 16 ء = 76 (2) 13 ء = 65 ء = 5 بالتعويض أ + 3 × 5 = 11 أ = ــ 4 المتتابعة هى ( ــ 4 ، 1 ، 6 ، ................. ) ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ] ﺣ ن = ( 20 / 2 )[ 2× ــ4 + ( 20 – 1) ×5 ] ﺣ ن = 10[ ــ 8 + 95 ] = 870 مثال (4) أوجد عدد الحدود التى يجب أخذها من المتتابعة الحسابية ( 9 ، 12 ، 15 ، ............ ) ابتداء من حدها الأول ليكون المجموع 306 ؟ الحل ﺣ ن =( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ] 306 = ( ن / 2 )[ 2× 9 + ( ن – 1) ×3 ] 612 = ن[18 + 3 ن – 3 ] 612 = 3 ن2 + 15 ن (÷3) ن2 + 5 ن – 204 = 0 ( ن – 12 )( ن + 17) =0 ن = 12 ن = ــ 17 مرفوض مثال (5) فى المتتابعة ( 36 ، 32 ، 28 ، 0000000 ) • أوجد مجموع العشرة حدود الأولى • أوجد مجموع العشرة حدود التالية • كم حدا ً يلزم أخذها ابتداء ً من الحد الأول ليكون المجموع 176 ( فسر الجواب ) الحل المتتابعة هى ( 36 ، 32 ، 28 ، 0000 ) مجموع العشرة حدود الأولى ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ] ﺣ ن =( 10 / 2 )[ 2× 36 + ( 10 – 1) ×ــ 4 ] ﺣ ن = 5[ 72 – 36 ] = 5 × 36 = 180 ح11 = أ + 10 ء = 36 + 10 × ــ 4 = 36 – 40 = – 4 مجموع العشرة حدود التالية ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2ح11 + ( ن – 1) ء ] ﺣ ن = ( 10 / 2 ) [ 2× – 4 + ( 10 – 1) × – 4] ﺣ ن = 5[ ــ 8 – 36 ] = ــ 220 ليكون المجموع 176 ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ] 176=( ن / 2 )[ 2× 36 + ( ن – 1) ×ــ 4 ] 352= ن[72 – 4 ن + 4 ] 352 = ــ 4 ن2 + 76 ن 4 ن2 – 76 ن + 352 = 0 (÷4) ن2 – 19ن + 88 = 0 ( ن – 8 )( ن – 11 ) = 0 ن = 8 ن = 11 التفسير هو : ح9 + ح10 + ح11 = صفر مثال (6) أوجد متتابعة حسابية مكونة من 21 حدا ً ، مجموع الأحد عشر حدا ًالأولى منها 91 ، مجموع الأحد عشر حدا ً الأخيرة = 385 • أوجد المتتابعة • أوجد مجموع الثلاثة حدود الوسطى منها ؟ الحل الأحد عشر حدا ًالأولى : ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ] 91=( 11 / 2 )[ 2 أ+ ( 11 – 1) ء ] 182 = 11[ 2أ +10 ء ] 91 = 11أ + 55 ء 11 أ + 55 ء = 91 (1) الأحد عشر حدا ًالأخيرة : ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ] 385=( 11 / 2 ) [ 2 ح11 + ( 11 – 1) ء ] 385 = 11[ ( أ + 10 ء ) + 5 ء ] 35 = أ + 10 ء +5ء 35= أ + 15 ء (÷2) أ + 15 ء = 35 (2) 11 أ + 55 ء = 91 (1) 14 ء = = 42 (÷ 14) ء = 3 بالتعويض فى (1) نجد أن أ + 3 × 3 = 13 أ + 9 = 13 أ = 4 المتتابعة هى ( 4 ، 7 ، 10 ، 00000 ) رتبة الحد الأوسط = ن + 1 / 2 = 21 + 1 / 2 = 22 / 2 = 11 الحدود الثلاث الوسطى هى ( ح 10 ، ح11 ، ح 12 ) ح 10 + ح11 + ح 12 = أ + 9 ء + أ + 10 ء + أ + 11 ء = 3 أ + 30 ء = 3 × 4 + 30 × 3 = 102 مثال (7) أوجد عدد الحدود التى يجب أخذها من المتتابعة الحسابية ( 18 ، 15 ، 12 ، 0000 ) ابتداء من حدها الأول لتكون النسبة بين مجموع الثلث الأول منها : مجموع باقى الحدود كنسبة 3 : - 2 الحل نفرض أن عدد الحدود هو 3ن الثلث الأول ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ] جـ 1=( ن / 2 ) [ 2 × 18+ ( ن – 1) × – 3] جـ 1 =( ن / 2 )[ 36 – 3ن + 3 ] جـ 1 = ( ن / 2 ) ( 39 – 3ن ) (1) باقى الحدود ﺣ 2ن = ( ن / 2 )[ 2ح ن + 1 + ( 2ن – 1) ء ] جـ 2ن = ( ن / 2 ) [ 2 ( 18 – 3ن)+ ( 2ن – 1)× - 3] جـ 2 = ن[ 36 – 6ن – 6ن + 3 ] جـ 2 = ن[ 39 – 12 ن ] (2) جـ 1 / جـ 2 = 3 / - 2 من (1) ، (2) نجد أن جـ 1 ......( ن / 2 ) ( 39 – 3ن ) ...............3 ــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ جـ 2 ن .....[ 39 – 12 ن ] ــ 2................. 39 – 3ن 3 – 39 + 3ن = 117 – 36 ن 3 ن + 36 ن = 117 + 39 39 ن = 156 (÷ 39) ن = 4 عدد حدود المتتابعة = 3 ن = 3 × 4 = 12 |
وظة :
•لإيجاد أكبر مجموع للمتتابعة الحسابية نوجد مجموع حدودها الموجبة أى نضع ح ن > صفر •لإيجاد أصغر مجموع للمتتابعة الحسابية نوجد مجموع حدودها السالبة أى نضع ح ن < صفر •لإيجاد أقل عدد من الحدود يلزم أخذه من المتتابعة ليكون المجموع سالبا ً نضع ﺟ ن < صفر •لإيجاد أقل عدد من الحدود يلزم أخذه من المتتابعة ليكون المجموع موجبا ً نضع ﺟ ن > صفر مثال (http://www.elostaz.com/forums2/image.../icon_cool.gif فى المتتابعة ( 16 ، 14 ، 12 ، 000000 ) • أوجد أكبر مجموع ممكن لها ؟ • كم حدا ً يلزم أخذها ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع موجبا ً ؟ الحل نضع ح ن > صفر أ + ( ن – 1 ) × ء > صفر 16 + ( ن – 1 ) × ــ 2 > صفر 16– 2 ن + 2 > صفر 18 – 2 ن > صفر 18 > 2 ن (÷2) 9 > ن ن = 8 ليكون المجموع موجبا ً نضع ﺟ ن > صفر ( ن / 2 ) [ 2 أ + ( ن – 1 ) ء ] > صفر 2 أ + ( ن – 1 ) ء > صفر 2 × 16 + ( ن – 1 ) × ــ 2 > صفر 32 – 2ن + 2 > صفر 34 – 2ن > صفر 34 ن > 2ن (÷2) 17 > ن ن = 16 مثال (9) أوجد أقل عدد من حدود المتتابعة الحسابية ( 45 ، 42 ، 39 ، 0000000000 ) ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع سالب وأوجد هذا المجموع ؟ الحل ﺟ ن < صفر ( ن / 2 )[ 2 أ + ( ن – 1 ) ء ] < صفر 2 أ + ( ن – 1 ) ء < صفر 2 × 45 + ( ن – 1 ) × ــ 3 < صفر 90 – 3 ن + 3 < صفر 93 – 3ن < صفر 93 ن < 3 ن (÷2) 31 < ن ن = 32 ﺣ ن =( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ] جـ 32= ( ن / 2 ) [ 2 × 45+ ( 32 – 1) × – 3] جـ 32 =16 [ 90 – 31 × 3 ] جـ 32 = 16 × [ 90 – 93 ] = 16 × – 3 = – 48 مثال (10) أوجد مجموع 17 حدا ً الأولى من المتتابعة 3ن + 1 ، ن ≤ 4 حن = 2ن + 5 ، ن < 4 الحل ﺟ 17 = ﺟ 4 + ﺟ 13 عند ن < 4 ح1 = 3 × 1 + 1 = 4 ح2 = 3 × 2 + 1 = 7 ح3 = 3 × 3 + 1 = 10 ح4 = 3 × 4 + 1 = 13 جـ 4 = ح1 + ح2 + ح3 + ح4 = 4 + 7 + 10 + 13 = 34 عند ن > 4 ح5 = 2 × 5 + 5 = 15 ح6 = 2× 6 + 5 = 17 ح7 = 2 × 7 + 5 = 19 ح8 = 2 × 8 + 5 = 21 ( 15 ، 17 ، 19 ، 000000 ) ﺣ ن =( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ] جـ 13= ( 13 / 2 ) [ 2 × 15+ ( 13 – 1) × 2] جـ 13 = ( 13 / 2 )[ 30 + 12 × 2 ] جـ 13 = (13 / 2 )[ 30 + 24 ] = ( 13 / 2 ) × 54= 351 ﺟ 17 = ﺟ 4 + ﺟ 13 جـ 17 = 34 + 351 = 385 مثال (11) أوجد مجموع 20 حدا ً الأولى من المتتابعة 3ن + 1 ، ن فردية حن = 2ن + 5 ، ن زوجية الحل عند ن فردية ح1 = 3 × 1 + 1 = 4 ح3 = 3 × 3 + 1 = 10 ح5 = 3 × 5 + 1 = 16 ح7 = 3 × 7 + 1 = 22 ( 4 ، 10 ، 16 ، 000000 ) ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ] جـ 1= ( 10 / 2 )[ 2 × 4+ ( 10 – 1) × 6] جـ 1 = 5 × [ 8 + 9 × 6 ] = 310 عند ن زوجية ح2 = 2 × 2 + 5 = 9 ح4 = 2× 4 + 5 = 13 ح6 = 2 × 6 + 5 = 17 ح8 = 2 × 8 + 5 = 21 ( 9 ، 13 ، 17 ، 000000 ) ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ] جـ 2= (10 / 2 ) [ 2 × 9+ ( 10 – 1) × 4] جـ 2 = 5 [ 18 + 36 ] = 270 ﺟ 20 = ﺟ 1 + ﺟ 2 جـ 17 = 310 + 270 = 580 مثال (12) اثبت أن ح ن = لـــو س ص^ ن ــ 1 متتابعة حسابية حيث س ، ص Э ح+ وإذا كانت س= 160 ,ص = 1 / 2 أوجد مجموع الحدود التسعة الأولى بدون الآلة الحاسبة ؟ الحل ح ن = لـــو س ص ^ن + 1 = لـــــــو س + لـــــــو ص^ ن ــ 1 ح ن = لــــو س + (ن ــ 1) لـــــو ص ح ن = لــــو س + ن لــــــو ص ــ لـــــو ص ح ن = لــــو س ــ لـــــو ص + ن لــــــو ص دالة من الدرجة الأولى فى ن ح ن = لـــو س ص^ ن ــ 1 متتابعة حـــــســابية أساسها ء = لــــو ص (نظرية ) ح1 = لـــو 160 × ( 1 / 2)^ 1 ــ 1 = لــــــو 160 × 1 = لـــــو 160 ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ] جـ 2= ( 9 / 2 )[ 2 لــــو 160+ ( 9 – 1) لــــو 1 / 2] جـ 2 = ( 9 / 2 ) [ 2 لـــــو 160 + 8 لـــــو 1 / 2] جـ 2 = ( 9 / 2)× 2 [ لـــــو 160 + 4 لـــــو 1 / 2] جـ 2 = 9 [ لـــــو 160 + لـــــو 1 / 16] جـ 2 = 9 [ لـــــو 160 × 1 / 16 ] = 9 × لـــــــــو 10 = 9 × 1 = 9 مثال (13) أوجد مجموعة الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 ، 101 والتى تقبل القسمة ÷ 3 ؟ الحل الأعداد الطبيعية التى تقبل القسمة ÷ 3 هى ( 3 ، 6 ، 9 ، 0000000000 ، 99 ) ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء 99 = 3 + ( ن – 1 ) × 3 99 = 3 + 3ن – 3 99 = 3 ن ن = 33 ﺣ ن =( ن / 2 ) [ أ + ل ] = ( 33 / 2 ) [ 3 + 99 ] = ( 33 / 2 )× 102 = 1683 مثال (14) (ح ن) متتابعة حسابية فيها ح 4= 20 ﺤ ن الأولى........... 3ن – 1 ------------------ = ----------- ﺤ 2ن الأولى........... 12ن – 2 أوجد مجموع العشرة حدود الأولى منها ؟ الحل نضع ن = 1 فى الطرفين ﺤ 1 الأولى.............. 3 × 1– 1 ..........2 .............1 -----------------= -------------------= -------------= ------------ ﺤ 2 × 1 الأولى......... 12 × 1 – 2......... 10 ...........5 5 جـ1 = جـ 2 5 ح1 = ح1 + ح2 5 أ = أ + أ + ء 5أ = 2أ + ء ء = 3أ (1) ح 4= 20 أ + 3ء = 20 (2) بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن أ + 3 × 3أ = 20 10 أ = 20 أ = 2 ء = 3 × 2 = 6 جـ 10 = 5 ( 2 × 2 + ( 10 – 1 ) × 6 ) =290 |
المتتابعه الحسابية
شرطها : - ح ن+ 1 - ح ن = مقدار ثابت ( أساس المتابعة الحسابية ) ورمزه هو ( ء ) عند ء > صفر متتابعة متزايدة عند ء < صفر متتابعة متناقصة حيث ح ن مقدار من الدرجة الأولى في ن المتتابعة الحسابية = ( أ ، أ + ء ، أ + 2 ء ، ...............) الحد العام ح ن = أ + ( ن – 1 ) ء مجموع المتتابعة الحسابية : جـ ن = ن 2 [ 2 أ + ( ن - ) ء ] حيث أ هو الحد إلى نبدأ منه الجمع جـ ن = ن 2 [ أ + ل ] حيث ل هو الحد الأخير الوسط الحسابى لعددين اذا كان ع هو الوسط الحسابي بين العددين أ ، ب فإن ع = أ + ب/ 2 الوسط الحسابي للعددين = مجموع العددين ÷ 2 تذكر أن ( 1 ) الحد النوني ح ن = أ + ( ن – 1 ) ء الوسط النوني و ن = أ + ن ء ( 2 ) لايجاد أول حد موجب ح ن > صفر أول حد سالب ح ن < صفر المجموع موجبا جـ ن > صفر المجموع سالبا جـ ن < صفر المجموع أكبر ما يمكن جـ ن = ن / 2 [ أ + ل ] حيث أ أول حد موجب ، ل آخر حد موجب المجموع اصغر ما يمكن جـ ن = ن / 2 [ أ + ل ] حيث أ أول حد سالب ، ل آخر حد سالب |
المتتابعة الهندسية شرطها : - ح ن + 1/ ح ن = ثابت ( ر ) حيث ر ≠ ± 1 المتتابعة الهندسية = ( أ ، أ ر ، أ ر2 ، ..........................) الحد العام هو ح ن = أ^ رن – 1 مجموع ن حدا من حدود المتتابعة الهندسية : - جـ ن = أ [ ر ن - 1 ] / ر - 1 جـ ن = ل ر – أ / ر - 1 مجموع عدد لانهائي من حدود المتتابعة الهندسية:- جـ ∞ =أ / 1 - ر حيث | ر | < 1 وهو شرط الجمع إلى مالا نهاية الوسط الهندسي لعددين :- إذا كان هـ وسط هندسي بين العددين س ، ص فإن هـ = ± جذر ( س × ص ) أي أن الوسط الهندسي لعددين = ± الجزر التربيعى لحاصل ضرب العددين الوسط الهندسي النوني و ن = أ^ رن الكسر العشري الدائري :- أكتب العدد التالي على صورة عدد نسبى 0.3 ( دائري ) = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ............... نوجد المجموع إلى مالا نهاية = 0.3/ 1 - 1و0 = 0.3 /0.9 = 1 /3 |
| جميع الأوقات بتوقيت GMT +2. الساعة الآن 12:27 AM. |
Powered by vBulletin® Version 3.8.11
Copyright ©2000 - 2025, Jelsoft Enterprises Ltd.