مشروع .. سلسلة تمارين أولمبياد 001

[شحات جامع]

حل الثانية
من نظرية ديموافر
(جتا(ه ط/2ن+1 )+ت جاه ط/2ن+1 )^2ن+1 =جتاه ط+ت جا ه ط =(-1)^ه
حيث ه=0 او1 او او2ن بقسمة الطرفين على (جتاه ط/2ن+1)^2ن+1
(1+ت ظاه ط/2ن+1 )^2ن+1 =(-1)^ه (قاه ط/2ن+1)^2ن+1
بالفك بنظرية ذات الحدين ومساواة الجزء التخيلى للطرفين نحصل على
وللسهولة نفرض ا=ه ط/2ن+1
(2ن+1)ظا ا -(2ن+1ق3)ظا^3 ا +(2ن+1ق5)ظا^5 ا-............+(-1)^ن ظا(2ن+1)ا=0 والقسمة على ظا ا

(2ن+1)-(2ن+1ق1)ظا^2ا+...........+(-1)^ن ظا^ (2ن) ا=0
وهى معادلة جذورها ظاا ،ظا2ا،ظا3ا،.....،ظان ا،....،ظا2ن ا
اذن حاصل ضرب هذه الجذور=(2ن+1)/(-1)^ن =(-1)^ن (2ن+1)

ظاط/2ن+1 ظا2ط/2ن+1 ....ظا2نط/2ن+1=(-1)^ن (2ن+1)