درس عن المتتابعات الحسابية( الحد العام واساس المتتابعة )

[محمد فواز بكر]

المتتــــــــــابعة الحســــــــــابية

تعريف
تسمى المتتابعة ( ح ن ) متتابعة حسابية إذا كــــــــــــان
ح ن - 1 - ح ن = مقــــــــدار ثابت لكل ن ص+

ويسمى المقـــــــــــدار الثابت بأســــــــاس المتتــــــــــابعة ويرمز له بالرمز د أى أن

نظرية
المتتابعة ( ح ن ) تكون متتابعة حسابية إذا وفقط إذا كان ح ن
مقدار من الدرجة الأولى فى ن ويكون معامل ن هو أساس المتتابعة

الحد العام للمتتابعة الحسابية
إذا رمزنا للحد الأول فى المتتابعة الحسابية بالرمز أ وللأساس بالرمز د
فإن حن ( أى الحد الذى رتبته ن ) يسمى الحد العام للمتتابعة الحسابية
حيث : حن = أ + ( ن - 1 ) د
وإذا كان عدد حدود المتتابعة الحسابية ن فإن حدهــــــــــا الأخير حن يرمز له بالرمز ل
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image001.gif[/IMG]








وإذا كان ن = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 000000 والتعويض فى الحد العام نحصل على الصورة العامة

للمتتابعة الحسابية وهى ( أ , أ + د , أ + 2 د , أ + 3 د , أ + 4د , 000000 )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــ

ملاحظـــــــــــــات هامة جــــــــــــــــــــــــدا

( 1 ) لاحظ الفرق بين ( حن ) , حن حيث ( حن ) ترمز للمتتابعة الحسابية بينما حن ترمز للحد

النونى للمتتابعـــــــــــــــــة .
( 2 ) إذا كان أســــــــــــاس المتتابعــــــــــة ( د ) > 0 كانت المتتابعة الحسابية تزايديــــــة .

( 3 ) إذا كان أســــــــــــاس المتتابعــــــــــة ( د ) < 0 كانت المتتابعة الحسابية تناقصيــــــة .

( 4 ) لإيجــــــــــا دعــــــــدد الحـــــــــدود نوجـــــــــــد رتبـــــــــة الحد الأخيـــــــــــر .

( 5 ) لإيجــــــــــــاد رتبة أول حــــــــــد سالب فى المتتــــــــــابعة نجعـــــل حن < 0 ونوجد ن .

( 6 ) لإيجــــــــــــاد رتبة أول حــــــــــد موجب فى المتتــــــــــابعة نجعـــــل حن > 0 ونوجد ن .

( 7 ) لإيجـــــــاد رتبة أول حد تكون قيمته أكــــــــــبر من قيمة معينـــــــــة ولتكن س نجعل

حن > س .

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مثـــــــــــــــــــال1 محـــــــــــلول

أى المتتابعات الآتية تكون متتابعة حســــــــــابية وإذا كانت متتابعة حسابية فأوجد أساسها مبينا ما

إذا كانت تزايدية أو تناقصية .

( 1 ) ( ح ن ) = 2 – 3 ن ( 2 ) ( ح ن ) = 2 ن + 1

( 3 ) ( ح ن ) = ن2 - 2 ن

الحــــــــــــــــــــــــــــل

( 1 ) [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif[/IMG] ح ن + 1 - ح ن = ] 2 - 3 ( ن + 1 ) [ - ] 2 - 3 ن [

[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image003.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image003.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif[/IMG] = 2 - 3 ن - 3 - 2 + 3 ن = - 3 = مقدار ثابت

[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif[/IMG] ( ح ن ) = 2 – 3 ن متتابعة حسابية وأساسها د = - 3 وهى تناقصية

( 2 ) [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif[/IMG] ح ن + 1 - ح ن = ] 2( ن + 1 ) + 1 [ - ] 2 ن + 1 [

[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image003.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image003.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image003.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image003.gif[/IMG] = 2 ن + 2 + 1 - 2 ن - 1 = 2 = مقدار ثابت
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif[/IMG] ( ح ن ) = 2 ن + 1 متتابعة حسابية وأساسها د = 2 وهى تزايديــــــــة .

[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif[/IMG] ح ن + 1 - ح ن = ] ( ن + 1 )2 - 2 ( ن + 1 ) [ - ] ن2 - 2 ن [

[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image003.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image003.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image003.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image003.gif[/IMG] = ن2 + 2 ن + 1 - 2 ن - 2 - ن2 + 2 ن = 2 ن - 1 ≠ مقدار ثابت
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif[/IMG] ( ح ن ) = ن2 - 2 ن ليست متتابعة حسابية

مثـــــــــــــال2 محـــــــــــــــلول

إذا كان الحـــــــد 105 أحد حدود المتتابعة الحسابية ( 5 , 10 , 15 , 00000 ) فما رتبته .

الحـــــــــــــل
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif[/IMG] أ = 5 , د = 10 - 5 = 5

[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif[/IMG] حن = 105 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] 105 = 5 + ( ن - 1 ) × 5 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] 105 = 5 + 5 ن - 5

[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] 105 = 5 ن [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] ن = 21 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] الحـــــــد هو ح21

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــ

مثــــــــــــــال3 محـــــــــــــــلول ( مصر 2000 ) :

أوجد ح*12 ثم أوجد رتبة أول حد سالب فى المتتابعة الحسابية ( 98 , 94 , 90 , 0000 )

أ = 98
د = - 4

الحـــــــــــــــــــــــــل
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif[/IMG]
( [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif[/IMG] ح12 = أ + 11 د [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] ح12 = 98 + 11 × - 4 = 98 - 44

ح12 = 54 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif[/IMG] حن < 0 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] أ + ( ن - 1 ) × د < 0

[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] 98 + ( ن - 1 ) × - 4 < 0 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] 98 - 4 ن + 4 < 0

102 < 4 ن [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] ن > 25.5 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] ن = 26 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] الحد هو ح26

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــ

مثـــــــــــــــــــال4محــــــــــــــــلول

مصر 2001 : متتابعة حسابية حدها الثانى = 4 وحدها التاسع = - 17 أوجد المتتابعة ثم أوجد

الحد العشرين منهــــــــــــــا
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif[/IMG] ح2 = 4 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] أ + د = 4 ( 1 )

[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif[/IMG] ح9 = - 17 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] أ + 8 د = -17 ( 2 )

بطرح ( 1 ) من ( 2 ) [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] أ + 8 د = - 17
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif[/IMG] - أ - د = - 4
7 د = - 21
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] د = - 3 وبالتعويض فى ( 1 ) عن قيمة د

أ - 3 = 4 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] أ = 7 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] المتتابعة هى 7 , 4 , 1 , 000000

[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif[/IMG] ح20 = أ + 19 د [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] ح20 = 7 + 19 × - 3 = - 50

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مثـــــــــــــــــــال5محــــــــــــــــلول

إذا كان مجموع الثلاث حدود الأولى من متتابعة حسابية هو 33 وحاصل ضربهما 792 أوجد

الحد التاسع من هذه المتتابعة .

الحـــــــــــــــــــــــل
نفرض أن هذه الحدود هى ( أ - د , أ , أ + د )

[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] أ - د + أ + أ + د = 33 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] 3 أ = 33 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] أ = 11

[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif[/IMG] ( أ - د ) × أ × ( أ + د ) = 792 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] ( 11 – د ) × 11× ( 11+ د ) = 792
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG]
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] 11 ( 121 - د2 ) = 792 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] 121 - د2 = 72 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] د2 = 49

د = ± 7 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] ح9 = أ + 8 د = 11 + 8 × 7 = 67

أ, ح9 = أ + 8 د = 11 + 8 × - 7 = - 45

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــ

مثـــــــــــــــــــال6محــــــــــــــــلول

فى المتتابعة الحسابية ( 5 س + 1 , 3 س + 12 , 0000 , 35 س - 14 , 30 س + 6 )

أوجــــــــــد قيمة : س ثم أوجد حدود المتتابعة

الحـــــــــــــــــــــــــل
أساس المتتابعة = ( 3 س + 12 ) - ( 5 س + 1 )

3 س - 5 س + 12 - 1 = - 2 س + 11

= ( 30 س + 6 ) - ( 35 س - 14 ) = - 5 س + 20
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] - 2 س + 11 = - 5 س + 20 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] 3 س = 9 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] س = 3
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] المتتابعة هى 16 , 21 , 26 , 31 , 00000
لإيجاد حدود المتتابعة نوجد رتبة الحد الأخير ( ل ) = أ + ( ن - 1 ) × د
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif[/IMG] ل = 30 × 3 + 6 = 96 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] 96 = 16 + ( ن - 1 ) × 5
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] 96 = 16 + 5ن - 5 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] 96 = 11 + 5 ن [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] 5 ن = 85
ن = 17 [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Admin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG] عدد الحــــــــدود هو 17