اسأل في الجبر ونحن نجاوب

[احمد عبدالعال محمد]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة zaxaa

اذا كان مجموع ثلاثه حدود من متتابعه هندسيه14 ومجموع مربعدتها84 . اثبت انه توجد متتابعتان وانه يمكن ايجاد احدهما الا مالا نهايه واوجد هذا المجموع

أ ( 1 + ر + ر^2 ) = 14 ......(1)
أ^2 ( 1 + ر^2 + ر^4 ) = 84 .......(2)
بتربيع (1) والقسمة على (2) ينتج
( 1 + ر + ر^2 ) ^2 ـــــــ 196 ــــــــــ 7
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــ = ــــــــــ
( 1 + ر^2 + ر^4 ) ــــــــــ 84 ــــــــــ 3

======================================
ر^3 - 1 = ( ر -1 ) ( ر^2 + ر + 1 ) ،

إذن ( ر^2 + ر + 1 ) =( ر^3 - 1 ) / ( ر -1 )

ر^6 - 1 = ( ر^2 - 1 ) ( ر^4 + ر^2 + 1 )
( ر^4 + ر^2 + 1 ) = ( ر^6 - 1 ) / ( ر^2 - 1 )

=================================

[ ( ر^3 - 1 ) / ( ر -1 ) ] ^2 ــــــــ 7
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــ
( ر^6 - 1 ) / ( ر^2 - 1 ) ـــــــــــــ 3

( ر^3 - 1 ) ^2 ( ر^2 - 1 ) ــــــــــ 7
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــ = ـــــــــ
( ر -1 )^2 ( ر^6 - 1 ) ـــــــــــــــــــ 3

( ر^3 - 1 ) ^2 ( ر - 1 ) ( ر +1 ) ــــــــــ 7
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــ = ـــــــــ
( ر -1 )^2 ( ر^3 +1 ) ( ر^3 - 1 ) ـــــــ 3

( ر^3 - 1 ) ( ر +1 ) ــــــــــ 7
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــ
( ر -1 )( ر^3 +1 ) ـــــــــــــ 3

( ر^2 + ر +1 ) ــــــــــــ 7
ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــ
( ر^2 - ر +1 ) ــــــــــــــ 3

بضرب الطرفين × الوسطين والتصفية ، نحصل على
2ر^2 - 5ر + 2 = صفر
( 2ر -1 ) ( ر - 2 ) = صفر
إذن إما ر = 0.5 أو ر = 2 وبالتعويض فى (1)
أ = 8 أو أ = 2
عندما ر = 0.5 إذن المتتابعة تكون لا نهائية ومجموعها = 16

احمد عبد العال